Localizare (algebră comutativă) - Localization (commutative algebra)

În algebra comutativă și geometria algebrică , localizarea este o modalitate formală de a introduce „numitorii” într-un anumit inel sau modul . Adică, se introduce un nou inel / modul dintr - un inel / modul existent R , astfel încât este format din fracțiuni astfel încât numitorul s aparține unui anumit subset S a R . Dacă S este mulțimea nenuli elementele unui domeniu integral , atunci localizarea este domeniul fracțiilor : acest caz generalizează construcția inelului de numere raționale din inelul de numere întregi . ${\ displaystyle {\ frac {m} {s}},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Tehnica a devenit fundamentală, în special în geometria algebrică , deoarece oferă o legătură naturală cu teoria snopului . De fapt, termenul de localizare își are originea în geometria algebrică : dacă R este un inel de funcții definite pe un obiect geometric ( varietate algebrică ) V și se dorește studierea acestui soi „local” în apropierea unui punct p , atunci se ia în considerare mulțimea S a tuturor funcțiilor care nu este zero sunt la p și localizes R în raport cu S . Inelul rezultat conține informații despre comportamentul lui V lângă p și exclude informații care nu sunt „locale”, cum ar fi zerourile funcțiilor care se află în afara lui V (vezi exemplul dat la inelul local ). ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Localizarea unui inel

Localizarea unui inel comutativ R printr - un set multiplicativ închis S este un inel nou ale cărui elemente sunt fracțiuni cu numărătorii în R și numărătorii în S . ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Dacă inelul este un domeniu integral , construcția generalizează și urmărește îndeaproape cel al câmpului fracțiilor și, în special, cel al numerelor raționale ca câmp al fracțiilor numerelor întregi. Pentru inelele care au zero divizoare , construcția este similară, dar necesită mai multă grijă.

Set multiplicativ

Localizarea se face în mod obișnuit cu privire la o mulțime multiplicativă S (numită și o mulțime multiplicativă sau un sistem multiplicativ ) de elemente ale unui inel R , adică un subset al lui R care este închis sub multiplicare și conține 1 .

Cerința ca S trebuie să fie un set de multiplicativ este natural, deoarece aceasta implică faptul că toate numitori introdusă de localizare aparțin S . Localizarea printr - un set de U , care nu este închisă multiplicativ poate fi definit, luând ca posibile numitori toate produsele de elemente de U . Cu toate acestea, aceeași localizare se obține prin utilizarea set multiplicativ închis S a tuturor produselor de elemente de U . Deoarece acest lucru simplifică adesea raționamentul și notația, este o practică standard să se ia în considerare doar localizările prin seturi multiplicative.

De exemplu, localizarea cu un singur element s introduce fracții de formă, dar și produse de astfel de fracții, cum ar fi Deci, numitorii vor aparține setului multiplicativ al puterilor lui s . Prin urmare, se vorbește în general despre „localizarea prin puterea unui element” mai degrabă decât despre „localizarea de către un element”. ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}},}$${\ displaystyle {\ tfrac {ab} {s ^ {2}}}.}$${\ displaystyle \ {1, s, s ^ ​​{2}, s ^ ​​{3}, \ ldots \}}$

Localizarea unui inel R printr-o mulțime multiplicativă S este în general notată, dar alte notații sunt utilizate în mod obișnuit în unele cazuri speciale: dacă este alcătuită din puterile unui singur element, este adesea notată dacă este complementul unui ideal prim , atunci este notată${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$${\ displaystyle S = \ {1, t, t ^ {2}, \ ldots \}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R_ {t};}$${\ displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$

În restul acestui articol, sunt luate în considerare numai localizările printr-un set multiplicativ.

Domenii integrale

Când inelul R este un domeniu integral și S nu conține 0 , inelul este un subinel al câmpului fracțiilor de R . ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Mai precis, este subringul câmpului fracțiilor lui R , care constă din fracțiuni astfel încât acesta este un subring din moment ce suma și produsul a două elemente ale sunt în Acest rezultat din proprietatea definitorie a unui set multiplicativ, care implică, de asemenea, că În acest caz, R este un subinel al Se arată mai jos că acest lucru nu mai este adevărat în general, de obicei când S conține divizori zero . ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}}}$${\ displaystyle s \ in S.}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}} + {\ tfrac {b} {t}} = {\ tfrac {at + bs} {st}},}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}} \, {\ tfrac {b} {t}} = {\ tfrac {ab} {st}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R.}$${\ displaystyle 1 = {\ tfrac {1} {1}} \ în S ^ {- 1} R.}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R.}$

De exemplu, fracțiile zecimale sunt localizarea inelului numerelor întregi prin setul multiplicativ al puterilor lui zece. În acest caz, constă din numerele raționale care pot fi scrise ca unde n este un număr întreg și k este un număr întreg negativ. ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle {\ tfrac {n} {10 ^ {k}}},}$

Construcție generală

În cazul general, apare o problemă cu zero divizoare . Să S fie un set multiplicativ într - un inel comutativ R . Dacă este imaginea în din și dacă ca = 0 cu atunci trebuie să existe și astfel unele elemente diferite de zero ale lui R trebuie să fie zero în Construcția care urmează este concepută pentru a lua în considerare acest lucru. ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {1}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle a \ în R,}$${\ displaystyle s \ în S,}$${\ displaystyle {\ tfrac {0} {s}} = {\ tfrac {as} {s}} = {\ tfrac {a} {1}},}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R.}$

Având în vedere R și S ca mai sus, se consideră relația de echivalență pe care este definită de dacă există o astfel încât${\ displaystyle R \ times S}$${\ displaystyle (r_ {1}, s_ {1}) \ sim (r_ {2}, s_ {2})}$${\ displaystyle t \ in S}$${\ displaystyle t (s_ {1} r_ {2} -s_ {2} r_ {1}) = 0.}$

Localizarea este definită ca ansamblul claselor de echivalență pentru această relație. Clasa lui ( r , s ) este notată ca sau Deci, se are dacă și numai dacă există un astfel încât${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle {\ frac {r} {s}},}$ ${\ displaystyle r / s,}$${\ displaystyle s ^ {- 1} r.}$${\ displaystyle {\ tfrac {r_ {1}} {s_ {1}}} = {\ tfrac {r_ {2}} {s_ {2}}}}$${\ displaystyle t \ in S}$${\ displaystyle t (s_ {1} r_ {2} -s_ {2} r_ {1}) = 0.}$

Localizarea este un inel comutativ cu adaos ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

${\ displaystyle {\ frac {r_ {1}} {s_ {1}}} + {\ frac {r_ {2}} {s_ {2}}} = {\ frac {r_ {1} s_ {2} + r_ {2} s_ {1}} {s_ {1} s_ {2}}},}$

multiplicare

${\ displaystyle {\ frac {r_ {1}} {s_ {1}}} \, {\ frac {r_ {2}} {s_ {2}}} = {\ frac {r_ {1} r_ {2} } {s_ {1} s_ {2}}},}$

identitate aditivă și identitate multiplicativă${\ displaystyle {\ tfrac {0} {1}},}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1}}.}$

funcţia

${\ displaystyle r \ mapsto {\ frac {r} {1}}}$

definește un homomorfism inel din în care este injectivă dacă și numai dacă S nu conține nici un zero de divizori. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$

Dacă atunci este inelul zero care are 0 ca element unic. ${\ displaystyle 0 \ în S,}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Dacă S este mulțimea tuturor elementelor obișnuite ale R (adică elementele care nu sunt zero , divizori), este numit inelul total de fracțiuni de R . ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Proprietate universală

Homomorfismul (definit mai sus) inelar satisface o proprietate universală care este descrisă mai jos. Aceasta caracterizează până la un izomorfism. Deci, toate proprietățile localizărilor pot fi deduse din proprietatea universală, independent de modul în care au fost construite. Mai mult, multe proprietăți importante de localizare sunt ușor deduse din proprietățile generale ale proprietăților universale, în timp ce dovada lor directă poate fi împreună tehnică, simplă și plictisitoare. ${\ displaystyle j \ colon R \ to S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Proprietatea universală satisfăcută de este următoarea: dacă este un homomorfism inelar care mapează fiecare element al lui S la o unitate (element inversabil) în T , există un homomorfism unic inelar astfel încât${\ displaystyle j \ colon R \ to S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle f \ colon R \ to T}$${\ displaystyle g \ colon S ^ {- 1} R \ to T}$${\ displaystyle f = g \ circ j.}$

Folosind teoria categoriilor , acest lucru poate fi exprimat spunând că localizarea este un functor care este lăsat adjunct unui functor uitat . Mai precis, să fie și să fie categoriile ale căror obiecte sunt perechi de inel comutativ și un submonoid de, respectiv, semigrup multiplicativ sau grupul unităților inelului. Cele Morfismele acestor categorii sunt morfisme inel care a cartografia submonoid primului obiect în submonoid al doilea. În cele din urmă, să fie funcția uitată care uită că elementele celui de-al doilea element al perechii sunt inversabile. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ colon {\ mathcal {D}} \ to {\ mathcal {C}}}$

Apoi factorizarea proprietății universale definește o bijecție ${\ displaystyle f = g \ circ j}$

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathcal {C}} ((R, S), {\ mathcal {F}} (T, U)) \ to \ hom _ {\ mathcal {D}} ((S ^ { -1} R, j (S)), (T, U)).}$

Acest lucru poate părea un mod destul de dificil de exprimare a proprietății universale, dar este util pentru a arăta cu ușurință multe proprietăți, prin utilizarea faptului că compoziția a doi funcționari adjoși stânga este un funcționar adjunct stâng.

Exemple

• Dacă este inelul de numere întregi , iar apoi este domeniul de numere raționale .${\ displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle S = \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \},}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Dacă R este un domeniu integral , iar apoi este domeniul fracțiilor de R . Exemplul precedent este un caz special al acestuia.${\ displaystyle S = R \ setminus \ {0 \},}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$
• Dacă R este un inel comutativ , iar dacă S este submulțimea elementelor sale care nu sunt zero , divizori , atunci este inelul total de fracțiuni de R . În acest caz, S este cel mai mare set multiplicativ, astfel încât omomorfismul să fie injectiv. Exemplul precedent este un caz special al acestuia.${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R \ to S ^ {- 1} R}$
• Dacă x este un element al unui inel comutativ R și atunci poate fi identificat (este canomic izomorf pentru) (Dovada constă în a arăta că acest inel îndeplinește proprietatea universală de mai sus.) Acest tip de localizare joacă un rol fundamental în definiția unui schema afina .${\ displaystyle S = \ {1, x, x ^ {2}, \ ldots \},}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R [x ^ {- 1}] = R [s] / (xs-1).}$
• Dacă este un ideal prim al unui inel comutativ R , complementul set al lui in R este un set multiplicativ (prin definiția unui ideal prim). Inelul este un inel local care este în general notat și numit inelul local al lui R la Acest tip de localizare este fundamental în algebra comutativă , deoarece multe proprietăți ale unui inel comutativ pot fi citite pe inelele sale locale. O astfel de proprietate este deseori numită proprietate locală . De exemplu, un inel este regulat dacă și numai dacă toate inelele sale locale sunt regulate.${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}},}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}.}$

Proprietățile inelului

Localizarea este o construcție bogată care are multe proprietăți utile. În această secțiune, sunt luate în considerare numai proprietățile relative la inele și la o singură localizare. Proprietățile privind idealurile , modulele sau mai multe seturi multiplicative sunt luate în considerare în alte secțiuni.

• ${\ displaystyle S ^ {- 1} R = 0}$ dacă și numai dacă S conține 0 .
• Omomorfismelor inel este injectivă dacă și numai dacă S nu conține nici un divizori la zero .${\ displaystyle R \ to S ^ {- 1} R}$
• Homomorfismul inelar este un epimorfism din categoria inelelor , care nu este surjectiv în general.${\ displaystyle R \ to S ^ {- 1} R}$
• Inelul este un modul R plat (a se vedea § Localizarea unui modul pentru detalii).${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$
• Dacă este complementul unui ideal prim , atunci notat este un inel local ; adică are un singur ideal maxim .${\ displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}},}$

Proprietăți care trebuie mutate într-o altă secțiune

• Localizarea face naveta cu formațiuni de sume finite, produse, intersecții și radicali; de exemplu, dacă denotăm radicalul unui I ideal în R , atunci${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {I}} \ cdot S ^ {- 1} R = {\ sqrt {I \ cdot S ^ {- 1} R}} \ ,.}$

În special, R este redus dacă și numai dacă inelul său total de fracții este redus.

• Să R să fie un domeniu integral cu domeniul fracțiilor K . Apoi , localizarea sa la un prim ideală poate fi privit ca un subinel de K . În plus,${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

${\ displaystyle R = \ bigcap _ {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}} = \ bigcap _ {\ mathfrak {m}} R _ {\ mathfrak {m}}}$

unde prima intersecție este peste toate idealurile prime și a doua peste idealurile maxime.

• Există o bijectie între setul de idealuri prime de S ^-1 R și setul de idealuri prime de R care nu se intersectează S . Această bijectie este indusă de dat omomorfismelor R → S  ^-1 R .

Saturația unui set multiplicativ

Fie un set multiplicativ. Saturația de este setul ${\ displaystyle S \ subseteq R}$ ${\ displaystyle {\ hat {S}}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle {\ hat {S}} = \ {r \ în R \ colon \ există s \ în R, rs \ în S \}.}$

Multiplicativ set S este saturat dacă este egal cu saturație, adică, în cazul în care , sau echivalent, în cazul în care implică faptul că r și s sunt în S . ${\ displaystyle {\ hat {S}} = S}$${\ displaystyle rs \ în S}$

Dacă S nu este saturat, și atunci este un invers multiplicativ al imaginii lui r în Deci, imaginile elementelor din sunt toate inversabile în și proprietatea universală implică asta și sunt canomice izomorfe , adică există un izomorfism unic între - le că stabilește imaginile elementelor R . ${\ displaystyle rs \ în S,}$${\ displaystyle {\ frac {s} {rs}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R.}$${\ displaystyle {\ hat {S}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle {\ hat {S}} {} ^ {- 1} R}$

Dacă S și T sunt două mulțimi multiplicative, atunci și sunt izomorfe dacă și numai dacă au aceeași saturație sau, echivalent, dacă s aparține unuia dintre mulțimile multiplicative, atunci există astfel încât st să aparțină celuilalt. ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle T ^ {- 1} R}$${\ displaystyle t \ in R}$

Seturile multiplicative saturate nu sunt utilizate pe scară largă în mod explicit, deoarece, pentru a verifica dacă un set este saturat, trebuie să cunoașteți toate unitățile inelului.

Terminologia explicată de context

Termenul de localizare își are originea în tendința generală a matematicii moderne de a studia local obiectele geometrice și topologice , adică în ceea ce privește comportamentul lor în apropierea fiecărui punct. Exemple ale acestei tendințe sunt conceptele fundamentale de varietăți , germeni și snopi . În geometria algebrică , un set algebric afin poate fi identificat cu un inel coeficient al unui inel polinomial în așa fel încât punctele setului algebric să corespundă idealurilor maxime ale inelului (aceasta este Nullstellensatz a lui Hilbert ). Această corespondență a fost generalizată pentru a face din setul idealurilor prime ale unui inel comutativ un spațiu topologic dotat cu topologia Zariski ; acest spațiu topologic se numește spectrul inelului .

În acest context, o localizare printr-un set multiplicativ poate fi privită ca restricție a spectrului unui inel la subspaiul idealurilor prime (privite ca puncte ) care nu intersectează setul multiplicativ.

Două clase de localizări sunt luate în considerare mai frecvent:

• Setul multiplicativ este complementul unui prim ideală a unui inel R . În acest caz, se vorbește despre „localizarea la ” sau „localizarea la un punct”. Inelul rezultat, notat este un inel local și este analogul algebric al unui inel de germeni .${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$
• Setul setului multiplicativ este format din toate puterile unui element t al unui inel R . Inelul rezultat este de obicei denotat și spectrul său este setul deschis Zariski al idealurilor prime care nu conțin t . Astfel, localizarea este analogul restricției unui spațiu topologic la vecinătatea unui punct (fiecare ideal prim are o bază de vecinătate formată din seturi deschise Zariski de această formă).${\ displaystyle R_ {t},}$

În teoria numerelor și topologie algebrică , atunci când se lucrează peste inelul de numere întregi , se referă la o proprietate în raport cu un număr întreg n ca o proprietate adevărată la n sau de departe de n , în funcție de localizarea , care este luată în considerare. „ Departe de n ” înseamnă că proprietatea este considerată după localizare de puterile lui n și, dacă p este un număr prim , „la p ” înseamnă că proprietatea este considerată după localizare la idealul prim . Această terminologie poate fi explicată prin faptul că, dacă p este prim, idealurile prime nenule ale localizării lui sunt fie mulțimea singleton {p}, fie complementul său în mulțimea numerelor prime. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Localizarea și saturația idealurilor

Fie S un set multiplicativ într-un inel comutativ R și să fie omomorfismul inelului canonic. Fiind dat un ideală I în R , lăsați mulțimea fracțiunilor în a cărei numărătorul este în I . Acesta este un ideal care este generat de j ( I ) , și a numit localizarea lui I de S . ${\ displaystyle j \ colon R \ to S ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} I}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$

Saturarea de I de S este este un ideal de R , care pot , de asemenea , definit ca setul de elemente , astfel încât există acolo cu${\ displaystyle j ^ {- 1} (S ^ {- 1} I);}$${\ displaystyle r \ în R}$${\ displaystyle s \ în S}$${\ displaystyle sr \ in I.}$

Multe proprietăți ale idealurilor sunt fie păstrate prin saturație și localizare, fie pot fi caracterizate prin proprietăți mai simple de localizare și saturație. În cele ce urmează, S este o mulțime multiplicativă într-un inel I , iar I și J sunt idealuri ale lui R ; saturația unui I ideal cu o mulțime multiplicativă S este notată sau, atunci când mulțimea multiplicativă S este clară din context,${\ displaystyle \ operatorname {sat} _ {S} (I),}$${\ displaystyle \ operatorname {sat} (I).}$

• ${\ displaystyle 1 \ in S ^ {- 1} I \ quad \ iff \ quad 1 \ in \ operatorname {sat} (I) \ quad \ iff \ quad S \ cap I \ neq \ emptyset}$
• ${\ displaystyle I \ subseteq J \ quad \ implica \ quad S ^ {- 1} I \ subseteq S ^ {- 1} J \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {sat} (I) \ subseteq \ operatorname {sat} (J)}$
  (acest lucru nu este întotdeauna adevărat pentru incluziuni stricte )
• ${\ displaystyle S ^ {- 1} (I \ cap J) = S ^ {- 1} I \ cap S ^ {- 1} J, \ qquad \ operatorname {sat} (I \ cap J) = \ operatorname { sat} (I) \ cap \ operatorname {sat} (J)}$
• ${\ displaystyle S ^ {- 1} (I + J) = S ^ {- 1} I + S ^ {- 1} J, \ qquad \ operatorname {sat} (I + J) = \ operatorname {sat} ( I) + \ operatorname {sat} (J)}$
• ${\ displaystyle S ^ {- 1} (I \ cdot J) = S ^ {- 1} I \ cdot S ^ {- 1} J, \ qquad \ operatorname {sat} (I \ cdot J) = \ operatorname { sat} (I) \ cdot \ operatorname {sat} (J)}$
• Dacă este un ideal prim astfel încât atunci este un ideal prim și ; dacă intersecția nu este goală, atunci și${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ cap S = \ emptyset,}$${\ displaystyle S ^ {- 1} {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ operatorname {sat} ({\ mathfrak {p}})}$${\ displaystyle S ^ {- 1} {\ mathfrak {p}} = S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle \ operatorname {sat} ({\ mathfrak {p}}) = R.}$

Localizarea unui modul

Fie R un inel comutativ , S un set multiplicativ în R și M un R - modul . Localizarea modulului M de S , notat S ^-1 M , este un S ^-1 R -modul care este construit exact ca localizarea R , cu excepția faptului că numărătorii fracțiunilor aparțin M . Adică, ca set, constă din clase de echivalență , notate , din perechi ( m , s ) , unde și și două perechi ( m , s ) și ( n , t ) sunt echivalente dacă există un element u în S astfel acea ${\ displaystyle {\ frac {m} {s}}}$${\ displaystyle m \ în M}$${\ displaystyle s \ în S,}$

${\ displaystyle u (sn-tm) = 0.}$

Adunarea și multiplicarea scalară sunt definite ca pentru fracțiile obișnuite (în următoarea formulă și ): ${\ displaystyle r \ în R,}$ ${\ displaystyle s, t \ in S,}$${\ displaystyle m, n \ in M}$

${\ displaystyle {\ frac {m} {s}} + {\ frac {n} {t}} = {\ frac {tm + sn} {st}},}$

${\ displaystyle {\ frac {r} {s}} {\ frac {m} {t}} = {\ frac {rm} {st}}.}$

Mai mult, S ⁻¹ M este, de asemenea, un modul R cu multiplicare scalară

${\ displaystyle r \, {\ frac {m} {s}} = {\ frac {r} {1}} {\ frac {m} {s}} = {\ frac {rm} {s}}.}$

Este simplu să verificăm dacă aceste operații sunt bine definite, adică dau același rezultat pentru alegeri diferite ale reprezentanților fracțiilor.

Localizarea unui modul poate fi definită în mod echivalent prin utilizarea produselor tensoriale :

${\ displaystyle S ^ {- 1} M = S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} M.}$

Dovada echivalenței (până la un izomorfism canonic ) se poate face arătând că cele două definiții satisfac aceeași proprietate universală.

Proprietățile modulului

Dacă M este un submodul al unui R -modul N , iar S este o mulțime multiplicativă în R , se presupune că, dacă este un omomorfism al modulului injectiv , atunci ${\ displaystyle S ^ {- 1} M \ subseteq S ^ {- 1} N.}$${\ displaystyle f \ colon M \ to N}$

${\ displaystyle S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} f: \ quad S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} M \ to S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} N }$

este, de asemenea, un omomorfism injectiv.

Deoarece produsul tensorial este un funcționor exact corect , aceasta implică faptul că localizarea de către S mapează secvențe exacte ale modulelor R la secvențe exacte ale modulelor. Cu alte cuvinte, localizarea este un functor exact și este un modul R plat . ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Această planeitate și faptul că localizarea rezolvă o proprietate universală fac ca localizarea să păstreze multe proprietăți ale modulelor și inelelor și să fie compatibilă cu soluțiile altor proprietăți universale. De exemplu, harta naturală

${\ displaystyle S ^ {- 1} (M \ otimes _ {R} N) \ to S ^ {- 1} M \ otimes _ {S ^ {- 1} R} S ^ {- 1} N}$

este un izomorfism. Dacă este un modul prezentat finit , harta naturală ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle S ^ {- 1} \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ to \ operatorname {Hom} _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M, S ^ {- 1} N)}$

este, de asemenea, un izomorfism.

Dacă un modul M este generat finit peste R , unul are

${\ displaystyle S ^ {- 1} (\ operatorname {Ann} _ {R} (M)) = \ operatorname {Ann} _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M),}$

unde denotă anihilator , acesta este idealul elementelor inelului care mapează la zero toate elementele modulului. În special, ${\ displaystyle \ operatorname {Ann}}$

${\ displaystyle S ^ {- 1} M = 0 \ quad \ iff \ quad S \ cap \ operatorname {Ann} _ {R} (M) \ neq \ emptyset,}$

adică dacă pentru unii${\ displaystyle tM = 0}$${\ displaystyle t \ in S.}$

Localizare la primii

Definiția unui ideal prim implică imediat că complementul unui ideal prim într-un inel comutativ R este un set multiplicativ. În acest caz, localizarea este de obicei denotată Inelul este un inel local , care se numește inelul local al lui R la Acest lucru înseamnă că este idealul maxim unic al inelului${\ displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \, R _ {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} \ otimes _ {R} R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$

Astfel de localizări sunt fundamentale pentru algebra comutativă și geometria algebrică din mai multe motive. Una este că inelele locale sunt adesea mai ușor de studiat decât inelele comutative generale, în special din cauza lemei Nakayama . Cu toate acestea, principalul motiv este că multe proprietăți sunt adevărate pentru un inel dacă și numai dacă sunt adevărate pentru toate inelele sale locale. De exemplu, un inel este regulat dacă și numai dacă toate inelele sale locale sunt inele locale obișnuite .

Proprietățile unui inel care poate fi caracterizat pe inelele sale locale sunt numite proprietăți locale , și sunt de multe ori omologul algebrică geometrice proprietăților locale ale soiurilor algebrice , care sunt proprietăți care pot fi studiate prin restricție la un mic cartier din fiecare punct al soiului . (Există un alt concept de proprietate locală care se referă la localizarea către seturile deschise Zariski; a se vedea § Localizarea către seturile deschise Zariski , mai jos.)

Multe proprietăți locale sunt o consecință a faptului că modulul

${\ displaystyle \ bigoplus _ {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}$

este un modul fidel plat atunci când suma directă este preluată asupra tuturor idealurilor prime (sau asupra tuturor idealurilor maxime ale lui R ). A se vedea, de asemenea , descendența fidelă .

Exemple de proprietăți locale

O proprietate P a unui R -modul M este o proprietate locală dacă următoarele condiții sunt echivalente:

• P deține pentru M .
• P este valabil pentru toate în cazul în care este un ideal prim R .${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}},}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$
• P este valabil pentru toate în cazul în care este un ideal maximal de R .${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {m}},}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Următoarele sunt proprietăți locale:

• M este zero.
• M este fără torsiune (în cazul în care R este un domeniu comutativ ).
• M este un modul plat .
• M este un modul inversabil (în cazul în care R este un domeniu comutativ, iar M este un submodul al câmpului fracțiunilor lui R ).
• ${\ displaystyle f \ colon M \ to N}$este injectiv (resp. surjectiv), unde N este un alt R -modul.

Pe de altă parte, unele proprietăți nu sunt proprietăți locale. De exemplu, un produs direct infinit de câmpuri nu este un domeniu integral și nici un inel noetherian , în timp ce toate inelele sale locale sunt câmpuri și, prin urmare, domenii integrale noetheriene.

Localizare către seturile deschise Zariski

Caz necomutativ

Localizarea inelelor necomutative este mai dificilă. Deși localizarea există pentru fiecare set S de unități potențiale, ar putea lua o formă diferită de cea descrisă mai sus. O condiție care asigură o bună comportare a localizării este condiția Minereu .

Un caz pentru inelele necomutative în care localizarea are un interes clar este pentru inelele operatorilor diferențiali. Are interpretarea, de exemplu, a unei adiacenta inverse formale D ^-1 pentru un operator de diferențiere D . Acest lucru se face în multe contexte în metode pentru ecuații diferențiale . Există acum o mare teorie matematică despre aceasta, numită microlocalizare , care se conectează cu numeroase alte ramuri. Micro- tag - ul este de a face cu conexiuni cu teoria Fourier , în special.

Vezi si

• Analiza locală
• Localizarea unei categorii
• Localizarea unui spațiu topologic

Referințe

linkuri externe

• Localizare din MathWorld .