Set închis multiplicativ - Multiplicatively closed set

În algebră abstractă , un set închis multiplicativ (sau un set multiplicativ ) este un subset S al unui inel R astfel încât următoarele două condiții să se mențină:

• 1 ∈ S .
• Pentru toate x și y în S , produsul xy este în S .

Cu alte cuvinte, S este închisă în cazul în care se iau produse finite, inclusiv produsul gol 1. În mod echivalent, un set multiplicativ este un submonoid al monoidului multiplicativ al unui inel.

Seturile multiplicative sunt importante mai ales în algebra comutativă , unde sunt folosite pentru a construi localizări ale inelelor comutative.

Un subset S al unui inel R se numește saturat dacă este închisă sub care au luat divizori : adică, de fiecare dată când un produs xy este în S , elementele x și y sunt în S prea.

Exemple

Exemple obișnuite de seturi multiplicative includ:

• complement set teoretic al unui prim ideale într - un inel comutativ;
• setul {1, x , x ² , x ³ , ...} , unde x este un element al unui inel;
• setul de unități ale unui inel;
• setul de divizori non-zero dintr-un inel;
• 1 + I   pentru un ideal I .

Proprietăți

• Un P ideal al unui inel comutativ R este prim dacă și numai dacă complementul său R ∖ P este închis multiplicativ.
• Un subset S este saturat și multiplicativ închis dacă și numai dacă S este complementul unei uniuni de idealuri prime. În special, complementul unui ideal prim este atât saturat, cât și multiplicativ închis.
• Intersecția unei familii de mulțimi multiplicative este un set multiplicativ.
• Intersecția unei familii de seturi saturate este saturată.

Vezi si

• Localizarea unui inel
• Set numitor drept

notițe

Referințe

• MF Atiyah și IG Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Addison-Wesley, 1969.
• David Eisenbud , algebră comutativă cu vederea spre geometria algebrică , Springer, 1995.
• Kaplansky, Irving (1974), Inele comutative (ediție revizuită), University of Chicago Press , MR  0345945
• Serge Lang , Algebra ediția a 3-a, Springer, 2002.