Produsul tensor al modulelor - Tensor product of modules

În matematică , produsul tensorial al modulelor este o construcție care permite efectuarea argumentelor despre hărțile biliniare (de exemplu, multiplicarea) în termeni de hărți liniare . Construcția modulului este analogă cu construcția produsului tensorial al spațiilor vectoriale , dar poate fi realizată pentru o pereche de module peste un inel comutativ rezultând un al treilea modul și, de asemenea, pentru o pereche de modul dreapta și stânga modul peste orice inel , rezultând un grup abelian . Produsele Tensor sunt importante în domenii de algebra abstractă , algebra omologică , topologie algebrică , geometrie algebrică , algebre de operator și geometria necomutativă . Proprietatea universală a produsului tensorial al spațiilor vectoriale se extinde la situații mai generale din algebra abstractă. Permite studiul operațiilor biliniare sau multiliniare prin operații liniare . Produsul tensor al algebrei și al unui modul poate fi utilizat pentru extinderea scalarilor . Pentru un inel comutativ, produsul tensorial al modulelor poate fi iterat pentru a forma algebra tensorială a unui modul, permițându-i să definim multiplicarea în modul într-un mod universal.

Produs echilibrat

Pentru un inel R , un drept R -modul M , o stânga R -modul N , și un grup abelian G , harta φ : M × N → G este declarat a fi R -balanced , R -Orientul-liniar sau R -produs echilibrat dacă pentru toți m , m ′ în M , n , n ′ în N și r în R se mențin următoarele:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi (m, n + n ') & = \ varphi (m, n) + \ varphi (m, n') && {\ text {Dl}} _ {\ varphi} \\\ varphi (m + m ', n) & = \ varphi (m, n) + \ varphi (m', n) && {\ text {Dr}} _ {\ varphi} \\\ varphi (m \ cdot r, n) & = \ varphi (m, r \ cdot n) && {\ text {A}} _ {\ varphi} \\\ end {align}}}$

Setul tuturor acestor produse echilibrate peste R de la M × N la G este notat cu L _R ( M , N ; G ) .

Dacă φ , ψ sunt produse echilibrate, atunci fiecare dintre operațiile φ + ψ și - φ definite în sens punctual este un produs echilibrat. Acest lucru transformă setul L _R ( M , N ; G ) într-un grup abelian.

Pentru M și N fixate, harta G ↦ L _R ( M , N ; G ) este un functor din categoria grupurilor abeliene în sine. Partea de morfism este dată de maparea unui omomorfism de grup g  : G → G ′ la funcția φ ↦ g ∘ φ , care merge de la L _R ( M , N ; G ) la L _R ( M , N ; G ′) .

Observații

1. Proprietățile (Dl) și (Dr) exprimă biadditivitatea lui φ , care poate fi considerată distributivitatea lui φ față de adiție.
2. Proprietatea (A) seamănă cu unele proprietăți asociative ale lui φ .
3. Fiecare inel R este un R - bimodul . Deci multiplicarea inel ( r , r ') ↦ r ⋅ r ' în R este un R produs -balanced R × R → R .

Definiție

Pentru un inel R , un modul R drept M , un modul R stânga N , produsul tensor peste R

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

este un grup abelian împreună cu un produs echilibrat (așa cum este definit mai sus)

${\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N}$

care este universal în următorul sens:

Pentru fiecare grup abelian G și fiecare produs echilibrat

${\ displaystyle f: M \ times N \ to G}$

există un omomorfism de grup unic

${\ displaystyle {\ tilde {f}}: M \ otimes _ {R} N \ to G}$

astfel încât

${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ circ \ otimes = f.}$

Ca și în cazul tuturor proprietăților universale , proprietatea de mai sus definește produsul tensoric până la un izomorfism unic: orice alt grup abelian și produs echilibrat cu aceleași proprietăți vor fi izomorfe pentru M ⊗ _R N și ⊗. Într-adevăr, cartografierea ⊗ se numește canonică , sau mai explicit: cartografierea canonică (sau produsul echilibrat) al produsului tensorial.

Definiția nu dovedește existența M ⊗ _R N ; vezi mai jos pentru o construcție.

Produsul tensorial poate fi, de asemenea, definit ca un obiect reprezentativ pentru functorul G → L _R ( M , N ; G ) ; în mod explicit, aceasta înseamnă că există un izomorfism natural :

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ operatorname {L} _ {R} (M, N; G) \\ g \ mapsto g \ circ \ otimes \ end {cases}}}$

Acesta este un mod succint de a afirma proprietatea de mapare universală dată mai sus. (dacă se dă unul a priori acesta este izomorfism natural, atunci poate fi recuperat prin luarea și apoi cartografierea hărții identității.) ${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle G = M \ otimes _ {R} N}$

În mod similar, având în vedere identificarea naturală , se poate defini și M ⊗ _R N prin formula ${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {R} (M, N; G) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (N, G) )}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (N, G)).}$

Aceasta este cunoscută sub numele de adjuncție tensor-hom ; vezi și § Proprietăți .

Pentru fiecare x în M , y în N , se scrie unul

x ⊗ y

pentru imaginea lui ( x , y ) sub harta canonică . Se numește adesea un tensor pur . Strict vorbind, notația corectă ar fi x ⊗ _R y, dar este convențional să renunțați la R aici. Apoi, imediat după definiție, există relații: ${\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N}$

x ⊗ ( y + y ′) = x ⊗ y + x ⊗ y ′	(Dl ⊗ )
( x + x ′) ⊗ y = x ⊗ y + x ′ ⊗ y	(Dr. ⊗ )
( x ⋅ r ) ⊗ y = x ⊗ ( r ⋅ y )	(A ⊗ )

Proprietatea universală a unui produs tensor are următoarea consecință importantă:

Dovada: Pentru prima declarație, să L fie subgrupul generat de elemente ale formei în cauză, și q harta câtul la Q . Avem: precum și . Prin urmare, prin partea de unicitate a proprietății universale, q = 0. A doua afirmație se datorează faptului că pentru a defini un omomorfism al modulului , este suficient să îl definiți pe grupul generator al modulului.${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle Q = (M \ otimes _ {R} N) / L}$${\ displaystyle 0 = q \ circ \ otimes}$${\ displaystyle 0 = 0 \ circ \ otimes}$${\ displaystyle \ square}$

Aplicarea proprietății universale a produselor tensoriale

Determinarea dacă un produs tensor al modulelor este zero

În practică, este uneori mai dificil să se arate că un produs tensor al modulelor R este diferit de zero decât este să se arate că este 0. Proprietatea universală oferă o modalitate convenabilă de verificare a acestui lucru. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Pentru a verifica dacă un produs tensor este diferit de zero, se poate construi o hartă R- biliniară către un grup abelian astfel încât . Acest lucru funcționează pentru că dacă , atunci . ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle f: M \ times N \ rightarrow G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f (m, n) \ neq 0}$${\ displaystyle m \ otimes n = 0}$${\ displaystyle f (m, n) = {\ bar {f}} (m \ otimes n) = {\ bar {(f)}} (0) = 0}$

De exemplu, pentru a vedea asta , este diferit de zero, ia fi și . Acest lucru spune că tensorii pur , atâta timp cât este diferit de zero . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ otimes _ {Z} \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (m, n) \ mapsto mn}$${\ displaystyle m \ otimes n \ neq 0}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$

Pentru module echivalente

Propunerea spune că se poate lucra cu elemente explicite ale produselor tensorale în loc să invoce proprietatea universală direct de fiecare dată. Acest lucru este foarte convenabil în practică. De exemplu, dacă R este comutativ și acțiunile din stânga și din dreapta ale lui R pe module sunt considerate echivalente, atunci se poate furniza în mod natural cu multiplicarea R- scalară prin extinderea ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

${\ displaystyle r \ cdot (x \ otimes y): = (r \ cdot x) \ otimes y = x \ otimes (r \ cdot y)}$

în ansamblu prin propoziția anterioară (strict vorbind, ceea ce este necesar este o structură bimodulă, nu comutativitate; a se vedea un paragraf de mai jos). Echipat cu această structură a modulului R , îndeplinește o proprietate universală similară cu cele de mai sus: pentru orice modul R- G , există un izomorfism natural: ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ {R {\ text {-bilinear maps}} M \ times N \ to G \}, \\ g \ mapsto g \ circ \ otimes \ end {cases}}}$

Dacă R nu este neapărat comutativ, dar dacă M are o acțiune la stânga a unui inel S (de exemplu, R ), atunci i se poate da structura S- modul stânga , ca mai sus, prin formula ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

${\ displaystyle s \ cdot (x \ otimes y): = (s \ cdot x) \ otimes y.}$

În mod analog, dacă N are o acțiune corectă de către un inel S , atunci devine un S -modul corect . ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Produs tensor al hărților liniare și o schimbare a inelului de bază

Având în vedere hărțile liniare ale modulelor din dreapta peste un inel R și ale modulelor din stânga, există un omomorfism de grup unic ${\ displaystyle f: M \ to M '}$${\ displaystyle g: N \ to N '}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} f \ otimes g: M \ otimes _ {R} N \ to M '\ otimes _ {R} N' \\ x \ otimes y \ mapsto f (x) \ otimes g ( y) \ end {cases}}}$

Construcția are o consecință că tensorarea este un functor: fiecare dreapta R -modul M determină functorul

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow {\ text {Ab}}}$

de la categoria modulelor din stânga la categoria grupurilor abeliene care trimite N la M ⊗ N și un omomorfism modul f la omomorfismul de grup 1 ⊗ f .

Dacă este un homomorfism inelar și dacă M este un modul S drept și N un modul S stâng , atunci există omomorfismul canonic surjectiv : ${\ displaystyle f: R \ to S}$

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ to M \ otimes _ {S} N}$

indus de

${\ displaystyle M \ times N {\ overset {\ otimes _ {S}} {\ longrightarrow}} M \ otimes _ {S} N.}$

Harta rezultată este surjectivă, deoarece tensorii puri x ⊗ y generează întregul modul. În special, luând R pentru a fi acest lucru arată fiecare produs tensor al modulelor este un coeficient al unui produs tensor al grupelor abeliene. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

A se vedea, de asemenea: Produs tensor § Produs tensor de hărți liniare .

Mai multe module

(Această secțiune trebuie actualizată. Pentru moment, consultați § Proprietăți pentru discuții mai generale.)

Este posibil să se extindă definiția la un produs tensor al oricărui număr de module pe același inel comutativ. De exemplu, proprietatea universală a

M ₁ ⊗ M ₂ ⊗ M ₃

este că fiecare hartă triliniară de pe

M ₁ × M ₂ × M ₃ → Z

corespunde unei hărți liniare unice

M ₁ ⊗ M ₂ ⊗ M ₃ → Z .

Produsul tensor binar este asociativ: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ este izomorf natural la M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). Produsul tensor al celor trei module definite de proprietatea universală a hărților triliniare este izomorf pentru ambele produse tensoriale iterate.

Proprietăți

Module peste inele generale

Să R ₁ , R ₂ , R ₃ , R fi inele, nu neapărat comutativ.

• Pentru un R ₁ - R ₂ - bimodul M ₁₂ și stânga R ₂ -modul M ₂₀ , este un stânga R ₁ -modul.${\ displaystyle M_ {12} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20}}$

• Pentru un drept R ₂ -modul M ₀₂ și un R ₂ - R ₃ - bimodul M ₂₃ , este un drept R ₃ -modul.${\ displaystyle M_ {02} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {23}}$

• (asociativitatea) Pentru un drept R ₁ -modul M ₀₁ , un R ₁ - R ₂ -bimodule M ₁₂ , și stânga R ₂ -modul M ₂₀ avem:

${\ displaystyle \ left (M_ {01} \ otimes _ {R_ {1}} M_ {12} \ right) \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} = M_ {01} \ otimes _ {R_ { 1}} \ left (M_ {12} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} \ right).}$

• Deoarece R este un R - R- modul, avem multiplicarea inelului ca produs echilibrat canonic.${\ displaystyle R \ otimes _ {R} R = R}$${\ displaystyle mn =: m \ otimes _ {R} n}$

Module peste inele comutative

Fie R un inel comutativ, iar M , N și P să fie R -module. Atunci

• (identitate) ${\ displaystyle R \ otimes _ {R} M = M.}$

• (asociativitate) Astfel este bine definit.${\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) \ otimes _ {R} P = M \ otimes _ {R} (N \ otimes _ {R} P).}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ otimes _ {R} P}$

• (simetrie) De fapt, pentru orice permutare σ a mulțimii {1, ..., n }, există un izomorfism unic:${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N = N \ otimes _ {R} M.}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} M_ {1} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ {R} M_ {n} \ longrightarrow M _ {\ sigma (1)} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ {R} M _ {\ sigma (n)} \\ x_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n} \ longmapsto x _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes x _ {\ sigma ( n)} \ end {cases}}}$

• (proprietate distributivă) De fapt,${\ displaystyle M \ otimes _ {R} (N \ oplus P) = (M \ otimes _ {R} N) \ oplus (M \ otimes _ {R} P).}$

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} \ left (\ bigoplus \ nolimits _ {i \ in I} N_ {i} \ right) = \ bigoplus \ nolimits _ {i \ in I} \ left (M \ otimes _ {R} N_ {i} \ dreapta),}$

pentru un set de indici I de cardinalitate arbitrară .

• (face naveta cu un produs finit) pentru oricare dintre ei finit ,${\ displaystyle N_ {i}}$

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} \ prod _ {i = 1} ^ {n} N_ {i} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} M \ otimes _ {R} N_ {i} .}$

• (navetează cu localizare ) pentru orice subset S închis multiplicativ al lui R ,

${\ displaystyle S ^ {- 1} (M \ otimes _ {R} N) = S ^ {- 1} M \ otimes _ {S ^ {- 1} R} S ^ {- 1} N}$

ca -modul. Deoarece este o R- algebră și , acesta este un caz special de:${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} - = S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} -}$

• (navetează cu extensie de bază) Dacă S este o R -algebră, scriind ,${\ displaystyle -_ {S} = S \ otimes _ {R} -}$

${\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) _ {S} = M_ {S} \ otimes _ {S} N_ {S};}$

cf. § Extinderea scalarilor .

• (navetează cu limită directă) pentru orice sistem direct de R- module M _i ,

${\ displaystyle (\ varinjlim M_ {i}) \ otimes _ {R} N = \ varinjlim (M_ {i} \ otimes _ {R} N).}$

• (tensionarea este corectă exactă) dacă

${\ displaystyle 0 \ to N '{\ overset {f} {\ to}} N {\ overset {g} {\ to}} N' '\ to 0}$

este o secvență exactă de R -module, atunci

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N '{\ overset {1 \ otimes f} {\ to}} M \ otimes _ {R} N {\ overset {1 \ otimes g} {\ to}} M \ alteori _ {R} N '' \ to 0}$

este o secvență exactă a modulelor R , unde aceasta este o consecință a:${\ displaystyle (1 \ otimes f) (x \ otimes y) = x \ otimes f (y).}$

• ( relație adiacentă ) .${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes _ {R} N, P) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {R} (N, P ))}$

• (relația tensor-hom) există o hartă liniară R canonică :

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ otimes P \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N \ otimes P),}$

care este un izomorfism dacă fie M, fie P este un modul proiectiv generat finit (a se vedea § Ca hărți care păstrează liniaritatea pentru cazul necomutativ); mai general, există o hartă liniară R canonică :

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ otimes \ operatorname {Hom} _ {R} (M ', N') \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (M \ otimes M ', N \ otimes N')}$

care este un izomorfism dacă oricare este sau este o pereche de module proiective generate finit.${\ displaystyle (M, N)}$${\ displaystyle (M, M ')}$

Pentru a da un exemplu practic, să presupunem că M , N sunt module libere cu baze și . Apoi , M este suma directă și același pentru N . Prin proprietatea distributivă, se are: ${\ displaystyle e_ {i}, i \ in I}$${\ displaystyle f_ {j}, j \ în J}$ ${\ displaystyle M = \ bigoplus _ {i \ in I} Re_ {i}}$

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N = \ bigoplus _ {i, j} R (e_ {i} \ otimes f_ {j})}$;

adică, sunt baza R a lui . Chiar dacă M nu este liber, o prezentare gratuită a lui M poate fi utilizată pentru a calcula produsele tensorale. ${\ displaystyle e_ {i} \ otimes f_ {j}, \, i \ in I, j \ in J}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Produsul tensor, în general, nu face naveta cu limită inversă : pe de o parte,

${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / p ^ {n} = 0}$

(cf. „exemple”). Pe de altă parte,

${\ displaystyle \ left (\ varprojlim \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ right) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Z} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Z} _ {p} \ left [p ^ {- 1} \ right] = \ mathbb {Q} _ {p}}$

unde sunt inelul numerelor întregi p-adic și câmpul numerelor p-adic . A se vedea, de asemenea, " întreg întreg " pentru un exemplu în spirit similar. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}, \ mathbb {Q} _ {p}}$

Dacă R nu este comutativ, ordinea produselor tensoriale ar putea conta în felul următor: „folosim” acțiunea corectă a lui M și acțiunea stângă a lui N pentru a forma produsul tensorial ; în special, nici măcar nu ar fi definit. Dacă M , N sunt bi-module, atunci acțiunea stângă provine din acțiunea stângă a lui M și acțiunea dreaptă vine din acțiunea dreaptă a lui N ; acțiunile respective nu trebuie să fie aceleași cu acțiunile din stânga și din dreapta . ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle N \ otimes _ {R} M}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle N \ otimes _ {R} M}$

Asociativitatea se menține mai general pentru inelele necomutative: dacă M este un modul R drept , N a ( R , S ) -modul și P un modul S stâng , atunci

${\ displaystyle (M \ otimes _ {R} N) \ otimes _ {S} P = M \ otimes _ {R} (N \ otimes _ {S} P)}$

ca grup abelian.

Forma generală a relației adiacente a produselor tensoriale spune: dacă R nu este neapărat comutativ, M este un modul R drept , N este un modul ( R , S ), P este un modul S drept , atunci ca grup abelian

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (M \ otimes _ {R} N, P) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Hom} _ {S} (N, P )), \, f \ mapsto f '}$

unde este dat de Vezi și: adjuncție tensor-hom . ${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f '(x) (y) = f (x \ otimes y).}$

Produs tensor al unui modul R- cu câmpul fracției

Să R să fie un domeniu de corp comun cu câmpul fracție K .

• Pentru orice R -modul M , ca R -modulelor, unde este torsiune submodulul de M .${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M \ cong K \ otimes _ {R} (M / M _ {\ operatorname {tor}})}$${\ displaystyle M _ {\ operatorname {tor}}}$

• Dacă M este un modul R de torsiune atunci și dacă M nu este un modul de torsiune atunci .${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M = 0}$${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M \ neq 0}$

• Dacă N este un submodul al lui M, astfel încât este un modul de torsiune, atunci ca R -module de .${\ displaystyle M / N}$${\ displaystyle K \ otimes _ {R} N \ cong K \ otimes _ {R} M}$${\ displaystyle x \ otimes n \ mapsto x \ otimes n}$

• În , dacă și numai dacă sau . În special, unde .${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M}$${\ displaystyle x \ otimes m = 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle m \ in M ​​_ {\ operatorname {tor}}}$${\ displaystyle M _ {\ operatorname {tor}} = \ operatorname {ker} (M \ to K \ otimes _ {R} M)}$${\ displaystyle m \ mapsto 1 \ otimes m}$

• ${\ displaystyle K \ otimes _ {R} M \ cong M _ {(0)}}$unde este localizarea modulului la idealul prim (adică, localizarea față de elementele nenule).${\ displaystyle M _ {(0)}}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (0)}$

Extinderea scalarilor

Relația adjunctă în forma generală are un caz special important: pentru orice R -algebră S , M un modul R drept , P un modul S drept , folosind , avem izomorfismul natural: ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (S, -) = -}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (M \ otimes _ {R} S, P) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, \ operatorname {Res} _ {R} (P)) .}$

Aceasta spune că functorul este un Adjoint stânga la functorul uituc , care restricționează un S -action la un R -action. Din acest motiv, este adesea numit extinderea scalari de la R la S . În teoria reprezentării , când R , S sunt algebre de grup, relația de mai sus devine reciprocitatea Frobenius . ${\ displaystyle - \ otimes _ {R} S}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {R}}$${\ displaystyle - \ otimes _ {R} S}$

Exemple

• ${\ displaystyle R ^ {n} \ otimes _ {R} S = S ^ {n},}$pentru orice R- algebră S (adică, un modul liber rămâne liber după extinderea scalarilor.)

• Pentru un inel comutativ și o R -algebră S comutativă , avem:${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle S \ otimes _ {R} R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = S [x_ {1}, \ dots, x_ {n}];}$

de fapt, mai general,

${\ displaystyle S \ otimes _ {R} (R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] / I) = S [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] / IS [x_ { 1}, \ dots, x_ {n}],}$

unde este un ideal.${\ displaystyle I}$

• Folosind exemplul anterior și teorema restului chinezesc , avem ca inele${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1),}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} = \ mathbb {C} [x] / (x ^ {2} +1) = \ mathbb {C} [x ] / (x + i) \ times \ mathbb {C} [x] / (xi) = \ mathbb {C} ^ {2}.}$

Acesta oferă un exemplu când un produs tensor este un produs direct .

• ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} [i] = \ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}.}$

Exemple

Structura unui produs tensor al unor module destul de obișnuite poate fi imprevizibilă.

Fie G un grup abelian în care fiecare element are ordine finită (adică G este un grup abelian de torsiune ; de exemplu G poate fi un grup abelian finit sau ). Atunci: ${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G = 0.}$

Într-adevăr, oricare este de formă ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G}$

${\ displaystyle x = \ sum _ {i} r_ {i} \ otimes g_ {i}, \ qquad r_ {i} \ in \ mathbb {Q}, g_ {i} \ in G.}$

Dacă este ordinea lui , atunci calculăm: ${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle g_ {i}}$

${\ displaystyle x = \ sum (r_ {i} / n_ {i}) n_ {i} \ otimes g_ {i} = \ sum r_ {i} / n_ {i} \ otimes n_ {i} g_ {i} = 0.}$

În mod similar, se vede

${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} = 0.}$

Iată câteva identități utile pentru calcul: Fie R un inel comutativ, I , J idealuri, M , N R -module. Atunci

1. ${\ displaystyle R / I \ otimes _ {R} M = M / IM}$. Dacă M este plat , .${\ displaystyle IM = I \ otimes _ {R} M}$
2. ${\ displaystyle M / IM \ otimes _ {R / I} N / IN = M \ otimes _ {R} N \ otimes _ {R} R / I}$ (deoarece tensorează naveta cu extensii de bază)
3. ${\ displaystyle R / I \ otimes _ {R} R / J = R / (I + J)}$.

Exemplu: În cazul în care G este un grup abelian, ; aceasta rezultă din 1. ${\ displaystyle G \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / n = G / nG}$

Exemplu :; aceasta rezultă din 3. În special, pentru numerele prime distincte p , q , ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / m = \ mathbb {Z} / {\ gcd (n, m)}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ otimes \ mathbb {Z} / q \ mathbb {Z} = 0.}$

Produsele tensorale pot fi aplicate pentru a controla ordinea elementelor grupurilor. Fie G un grup abelian. Apoi multiplii de 2 in

${\ displaystyle G \ otimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

sunt zero.

Exemplu: Fie grupul de n -rădăcini ale unității. Este un grup ciclic, iar grupurile ciclice sunt clasificate după ordine. Astfel, necanonic, și astfel, când g este mcd de n și m , ${\ displaystyle \ mu _ {n}}$${\ displaystyle \ mu _ {n} \ approx \ mathbb {Z} / n}$

${\ displaystyle \ mu _ {n} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mu _ {m} \ approx \ mu _ {g}.}$

Exemplu: Luați în considerare Deoarece se obține prin impunerea -linearității pe mijloc, avem surjecția ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}.}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q}}$

al cărui nucleu este generat de elemente de formă în care r , s , x , u sunt numere întregi și s este diferit de zero. De cand ${\ displaystyle {r \ over s} x \ otimes yx \ otimes {r \ over s} y}$

${\ displaystyle {r \ over s} x \ otimes y = {r \ over s} x \ otimes {s \ over s} y = x \ otimes {r \ over s} y,}$

nucleul dispare de fapt; prin urmare,${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} .}$

Cu toate acestea, ia în considerare și . Ca spațiu vectorial, are dimensiunea 4, dar are dimensiunea 2. ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C}}$

Astfel, și nu sunt izomorfe. ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C}}$

Exemplu: Ne propunem să comparăm și . Ca și în exemplul anterior, avem: ca grup abelian și deci ca spațiu -vector (orice hartă -liniară între spațiile -vector este -liniară). Ca spațiu vectorial, are dimensiunea (cardinalitatea unei baze) a continuumului . Prin urmare, are o bază bazată pe un produs de continuum; astfel -dimensiunea sa este continuum. Prin urmare, din motive de dimensiune, există un izomorfism non-canonic al spațiilor vectoriale: ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} \ approx \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {R}}$.

Luați în considerare modulele pentru polinoame ireductibile, astfel încât Apoi, ${\ displaystyle M = \ mathbb {C} [x, y, z] / (f), N = \ mathbb {C} [x, y, z] / (g)}$${\ displaystyle f, g \ in \ mathbb {C} [x, y, z]}$${\ displaystyle \ gcd (f, g) = 1.}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(f)}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y, z]} {\ frac {\ mathbb { C} [x, y, z]} {(g)}} \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(f, g)}}}$

O altă familie utilă de exemple vine din schimbarea scalarilor. Observa asta

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {Z} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} R \ cong {\ frac {R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}}}$

Exemple bune ale acestui fenomen de luat în considerare sunt când ${\ displaystyle R = \ mathbb {Q}, \ mathbb {C}, \ mathbb {Z} / (p ^ {k}), \ mathbb {Z} _ {p}, \ mathbb {Q} _ {p} .}$

Constructie

Construcția lui M ⊗ N ia un coeficient al unui grup abelian liber cu baza simbolurilor m ∗ n , utilizate aici pentru a desemna perechea ordonată ( m , n ) , pentru m în M și n în N de subgrupul generat de toate elementele a formei

1. - m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. - ( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n
3. ( m · r ) ∗ n - m ∗ ( r · n )

unde m , m 'în M , n , n ' în N , și r în R . Harta coeficientului care duce m ∗ n = ( m , n ) la coseta care conține m ∗ n ; acesta este,

${\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {R} N, \, (m, n) \ mapsto [m * n]}$

este echilibrat, iar subgrupul a fost ales minim, astfel încât această hartă să fie echilibrată. Proprietatea universală a lui ⊗ decurge din proprietățile universale ale unui grup abelian liber și al unui coeficient.

Mai categoric-teoretic, fie σ acțiunea corectă dată de R pe M ; adică σ ( m , r ) = m · r și τ acțiunea din stânga a R de N . Atunci produsul tensorial al lui M și N peste R poate fi definit ca coechivalent :

${\ displaystyle M \ times R \ times N {{{} \ atop {\ overset {\ sigma \ times 1} {\ to}}} \ atop {{\ underset {1 \ times \ tau} {\ to}} \ atop {}}} M \ times N {\ overset {\ otimes} {\ to}} M \ otimes _ {R} N,}$

împreună cu cerințele

${\ displaystyle m \ otimes (n + n ') = m \ otimes n + m \ otimes n',}$

${\ displaystyle (m + m ') \ otimes n = m \ otimes n + m' \ otimes n.}$

Dacă S este un subinel al unui inel R , atunci este grupul coeficient al subgrupului generat de , unde este imaginea de sub În special, orice produs tensor al modulelor R poate fi construit, dacă se dorește, ca un coeficient de un produs tensor al grupurilor abeliene prin impunerea proprietății produsului R- echilibrat. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle M \ otimes _ {S} N}$${\ displaystyle xr \ otimes _ {S} yx \ otimes _ {S} ry, \, r \ in R, x \ in M, y \ in N}$${\ displaystyle x \ otimes _ {S} y}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle \ otimes: M \ times N \ to M \ otimes _ {S} N.}$

În construcția produsului tensorial peste un inel comutativ R , structura modulului R poate fi încorporată de la început formând coeficientul unui modul R liber prin submodul generat de elementele date mai sus pentru construcția generală, mărită prin elementele r ⋅ ( m ∗ n ) - m ∗ ( r ⋅ n ) . Alternativ, construcției generale i se poate da o structură de modul Z ( R ) prin definirea acțiunii scalare cu r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) atunci când aceasta este bine definită, care este exact când r ∈ Z ( R ), centrul de R .

Produsul direct al M și N este rareori izomorf produsul tensorul M și N . Când R nu este comutativ, atunci produsul tensor necesită ca M și N să fie module pe laturile opuse, în timp ce produsul direct necesită ca acestea să fie module pe aceeași parte. În toate cazurile, singura funcție de la M × N la G, care este atât liniară, cât și biliniară este harta zero.

Ca hărți liniare

În cazul general, nu toate proprietățile unui produs tensor al spațiilor vectoriale se extind la module. Cu toate acestea , rămân câteva proprietăți utile ale produsului tensorial, considerate homomorfisme ale modulelor .

Modul dual

Duală Modulul unui drept R -modul E , este definit ca Hom _R ( E , R ) , cu stânga canonic R structura -modul, și este notată E ^* . Structura canonică este operațiile punctuale de adunare și multiplicare scalară. Astfel, E ^* este mulțimea tuturor R -Linear maps E → R ( de asemenea , numit liniar forme ), cu operațiuni

${\ displaystyle (\ phi + \ psi) (u) = \ phi (u) + \ psi (u), \ quad \ phi, \ psi \ in E ^ {*}, u \ in E}$

${\ displaystyle (r \ cdot \ phi) (u) = r \ cdot \ phi (u), \ quad \ phi \ in E ^ {*}, u \ in E, r \ in R,}$

Dualul unui modul R stâng este definit în mod analog, cu aceeași notație.

Există întotdeauna un omomorfism canonic E → E ^{∗∗ de} la E la a doua sa dualitate. Este un izomorfism dacă E este un modul liber de rang finit. În general, E se numește modul reflexiv dacă homomorfismul canonic este un izomorfism.

Împerecherea dualității

Notăm împerecherea naturală a dualului său E ^∗ și a unui modul R dreapta E , sau a unui modul R stâng F și a lui dual F ^∗ ca

${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: E ^ {*} \ times E \ to R: (e ', e) \ mapsto \ langle e', e \ rangle = e '(e)}$

${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: F \ times F ^ {*} \ to R: (f, f ') \ mapsto \ langle f, f' \ rangle = f '(f).}$

Împerecherea este lăsată R- liniar în argumentul său stâng și dreapta R- liniar în argumentul său drept:

${\ displaystyle \ langle r \ cdot g, h \ cdot s \ rangle = r \ cdot \ langle g, h \ rangle \ cdot s, \ quad r, s \ in R.}$

Un element ca hartă (bi) liniară

În cazul general, fiecare element al produsului tensorial al modulelor dă naștere la o hartă R- liniară stângă , la o hartă dreaptă R- liniară și la o formă R- biliniară. Spre deosebire de cazul comutativ, în cazul general, produsul tensorial nu este un modul R și, prin urmare, nu acceptă multiplicarea scalară.

• Având drept R- modul E și drept R -modul F , există un homomorfism canonic θ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) astfel încât θ ( f ⊗ e ′) este harta e ↦ f ⋅ ⟨ e ', e ⟩ .

• Având în vedere stânga R -modul E și dreapta R -modul F , există un morfism canonic θ  : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^* , F ) , astfel încât θ ( f ⊗ e ) este harta e '↦ f ⋅ ⟨ e , e ′⟩ .

Ambele cazuri sunt valabile pentru module generale și devin izomorfisme dacă modulele E și F sunt limitate la a fi module proiective generate finit (în special module libere de ranguri finite). Astfel, un element al unui produs tensor de module peste un inel R se mapează canonic pe o hartă R- liniară, deși la fel ca în cazul spațiilor vectoriale, restricțiile se aplică modulelor pentru ca acesta să fie echivalent cu spațiul complet al acestor hărți liniare.

• Având în vedere modulul R dreapta E și modulul R stâng F , există un omomorfism canonic θ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R ) astfel încât θ ( f ′ ⊗ e ′) este harta ( f , e ) ↦ ⟨ f , f '⟩ ⋅ ⟨ e ', e ⟩ . Astfel, un element al unui produs tensor ξ ∈ F ^* ⊗ _R E ^* poate fi gândit dând naștere sau care acționează ca R -bilinear harta F × E → R .

Urmă

Fie R un inel comutativ și E un R -modul. Apoi, există o hartă liniară canonică R :

${\ displaystyle E ^ {*} \ otimes _ {R} E \ to R}$

indus prin linearitate de ; este unica hartă liniară R corespunzătoare asocierii naturale. ${\ displaystyle \ phi \ otimes x \ mapsto \ phi (x)}$

Dacă E este un R- modul proiectiv generat finit , atunci se poate identifica prin homomorfismul canonic menționat mai sus și atunci cel de mai sus este harta urmelor : ${\ displaystyle E ^ {*} \ otimes _ {R} E = \ operatorname {End} _ {R} (E)}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr}: \ operatorname {End} _ {R} (E) \ to R.}$

Când R este un câmp, aceasta este urmele obișnuite ale unei transformări liniare.

Exemplu din geometria diferențială: câmpul tensorial

Cel mai proeminent exemplu de produs tensor de module în geometrie diferențială este produsul tensor al spațiilor câmpurilor vectoriale și formelor diferențiale. Mai precis, dacă R este inelul (comutativ) al funcțiilor netede pe un distribuitor M neted , atunci se pune

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} = \ Gamma (M, TM) ^ {\ otimes p} \ otimes _ {R} \ Gamma (M, T ^ {*} M) ^ {\ otimes q}}$

unde Γ înseamnă spațiul secțiunilor și superscripționate mijloacelor tensorare p ori R . Prin definiție, un element al este un câmp tensor de tip ( p , q ). ${\ displaystyle \ otimes p}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}}$

Ca modul R , este modulul dual al${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {p} ^ {q}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}.}$

Pentru a ușura notația, puneți și așa . Când p , q ≥ 1, pentru fiecare ( k , l ) cu 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , există o hartă R -multiliniară: ${\ displaystyle E = \ Gamma (M, TM)}$${\ displaystyle E ^ {*} = \ Gamma (M, T ^ {*} M)}$

${\ displaystyle E ^ {p} \ times {E ^ {*}} ^ {q} \ to {\ mathfrak {T}} _ {q-1} ^ {p-1}, \, (X_ {1} , \ dots, X_ {p}, \ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {q}) \ mapsto \ langle X_ {k}, \ omega _ {l} \ rangle X_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes {\ widehat {X_ {l}}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots {\ widehat {\ omega _ {l}}} \ otimes \ cdots \ otimes \ omega _ {q}}$

unde înseamnă și pălărie înseamnă că un termen este omis. Prin proprietatea universală, aceasta corespunde unei hărți liniare R unice : ${\ displaystyle E ^ {p}}$${\ displaystyle \ prod _ {1} ^ {p} E}$

${\ displaystyle C_ {l} ^ {k}: {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} \ to {\ mathfrak {T}} _ {q-1} ^ {p-1}.}$

Se numește contracția tensorilor în index ( k , l ). Dezvăluind ceea ce spune proprietatea universală se vede:

${\ displaystyle C_ {l} ^ {k} (X_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots \ otimes \ omega _ {q}) = \ langle X_ {k}, \ omega _ {l} \ rangle X_ {1} \ otimes \ cdots {\ widehat {X_ {l}}} \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots {\ widehat {\ omega _ {l}}} \ cdots \ otimes \ omega _ {q}.}$

Observație : Discuția precedentă este standard în manualele de geometrie diferențială (de exemplu, Helgason). Într-un fel, construcția teoretică a snopului (adică limbajul snopului de module ) este mai naturală și din ce în ce mai frecventă; pentru aceasta, consultați secțiunea § Produsul tensor al snopilor de module .

Relația cu modulele plate

În general,

${\ displaystyle - \ otimes _ {R} -: {\ text {Mod -}} R \ times R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow \ mathrm {Ab}}$

este un bifunctor care acceptă o pereche de module R dreapta și stânga ca intrare și le atribuie produsului tensor din categoria grupurilor abeliene .

Prin fixarea unui modul R dreapta M , un functor

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ text {-Mod}} \ longrightarrow \ mathrm {Ab}}$

apare, și simetric, un modul R stâng N ar putea fi fixat pentru a crea un functor

${\ displaystyle - \ otimes _ {R} N: {\ text {Mod -}} R \ longrightarrow \ mathrm {Ab}.}$

Spre deosebire de bifunctorul Hom , functorul tensorului este covariant în ambele intrări. ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {R} (-, -),}$

Se poate arăta că și sunt întotdeauna funcții exacte corecte , dar nu neapărat lăsate exacte ( unde prima hartă este multiplicarea cu , este exactă, dar nu după luarea tensorului cu ). Prin definiție, un modul T este un modul plat dacă este un functor exact. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$${\ displaystyle - \ otimes _ {R} N}$${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} _ {n} \ to 0,}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$${\ displaystyle T \ otimes _ {R} -}$

Dacă și sunt grupuri generatoare pentru M și , respectiv, N , atunci va fi un grup generator pentru Deoarece uneori funcția tensorului nu este lăsată exactă, acesta poate să nu fie un grup generator minim, chiar dacă grupurile generatoare originale sunt minime. Dacă M este un modul plat , funcționorul este exact prin însăși definiția unui modul plat. Dacă produsele tensoriale sunt preluate peste un câmp F , suntem în cazul spațiilor vectoriale ca mai sus. Deoarece toate modulele F sunt plate, bifunctorul este exact în ambele poziții, iar cele două grupuri generatoare date sunt baze, atunci într-adevăr formează o bază pentru${\ displaystyle \ {m_ {i} \ mid i \ in I \}}$${\ displaystyle \ {n_ {j} \ mid j \ în J \}}$${\ displaystyle \ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \}}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N.}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} -}$ ${\ displaystyle - \ otimes _ {R} -}$${\ displaystyle \ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \}}$${\ displaystyle M \ otimes _ {F} N.}$

Structură suplimentară

Dacă S și T sunt R- algebre comutative, atunci S ⊗ _R T va fi și R- algebră comutativă, cu harta de înmulțire definită de ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) și extinsă prin liniaritate. În această setare, produsul tensor devine un coprodus cu fibre din categoria R- algebre.

Dacă M și N sunt ambele module R peste un inel comutativ, atunci produsul lor tensor este din nou un modul R. Dacă R este un inel, _R M este un modul R stâng și comutatorul

rs - sr

din oricare două elemente r și s din R se află în anihilatorul lui M , atunci putem transforma M într-un modul R dreapta prin setarea

mr = rm .

Acțiunea lui R asupra factorilor M printr-o acțiune a unui inel comutativ coeficient. În acest caz, produsul tensor al lui M cu el însuși peste R este din nou un modul R. Aceasta este o tehnică foarte frecventă în algebra comutativă.

Generalizare

Produs tensor al complexelor de module

Dacă X , Y sunt complexe ale modulelor R ( R un inel comutativ), atunci produsul lor tensor este complexul dat de

${\ displaystyle (X \ otimes _ {R} Y) _ {n} = \ sum _ {i + j = n} X_ {i} \ otimes _ {R} Y_ {j},}$

cu diferențialul dat de: pentru x în X _i și y în Y _j ,

${\ displaystyle d_ {X \ otimes Y} (x \ otimes y) = d_ {X} (x) \ otimes y + (- 1) ^ {i} x \ otimes d_ {Y} (y).}$

De exemplu, dacă C este un complex de lanț de grupuri abeliene plate și dacă G este un grup abelian, atunci grupul de omologie al este grupul de omologie al lui C cu coeficienți în G (vezi și: teorema coeficientului universal .) ${\ displaystyle C \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G}$

Produs tensor al snopilor de module

În această configurație, de exemplu, se poate defini un câmp tensor pe un colector neted M ca o secțiune (globală sau locală) a produsului tensorial (numită pachet tensor )

${\ displaystyle (TM) ^ {\ otimes p} \ otimes _ {O} (T ^ {*} M) ^ {\ otimes q}}$

în cazul în care O este fascicolul de inele de funcții netede pe M și fasciculele sunt văzute ca fascicole local liber pe M . ${\ displaystyle TM, T ^ {*} M}$

Pachetul exterior de pe M este subpachetul pachetului de tensori constând din toți tensorii covarianți antisimetrici. Secțiunile mănunchiului exterioare sunt forme diferențiale de pe M .

Un caz important atunci când se formează un produs tensor pe un snop de inele necomutative apare în teoria modulelor D ; adică produse tensoriale peste șirul de operatori diferențiali .

Vezi si

• Tor functor
• Produs tensor al algebrelor
• Produs tensor al câmpurilor
• produs tensor derivat

Note

Referințe

• Bourbaki, Algebra
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometrie diferențială, Grupuri de minciuni și spații simetrice , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Northcott, DG (1984), Algebra multiliniară , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mihaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebre, inele și module , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Peter May (1999), Un curs concis de topologie algebrică , University of Chicago Press.