Functor uitat - Forgetful functor

În matematică , în zona teoriei categoriilor , un functor uitat (cunoscut și sub numele de functor de stripare ) „uită” sau elimină o parte sau toate structurile sau proprietățile intrării „înainte” de mapare la ieșire. Pentru o structură algebrică a unei semnături date , aceasta poate fi exprimată prin restrângerea semnăturii: noua semnătură este o formă editată a celei vechi. Dacă semnătura este lăsată ca o listă goală, funcționarul este pur și simplu să ia setul de bază al unei structuri. Deoarece multe structuri din matematică constau dintr-un set cu o structură suplimentară adăugată, un functor uitat care mapează setul de bază este cel mai frecvent caz.

Prezentare generală

De exemplu, există mai multe funcții uitate din categoria inelelor comutative . A ( unital ) inel , descris în limbajul algebra universală , este un tuplu ordonata ( R , +, x, o , 0, 1) care îndeplinesc anumite axiome, unde „+“ și „x“ sunt funcții binare pe set R , a este o operație unară corespunzătoare inversului aditiv, iar 0 și 1 sunt operații nulare care dau identitatea celor două operații binare. Ștergerea lui 1 dă un functor uitat categoriei de inele fără unitate ; pur și simplu „uită” unitatea. Ștergerea „x“ și 1 randamentele un functori la categoria grupurilor abeliene , care atribuie fiecărui inel R subiacent grupul abelian aditiv al R . Fiecărui morfism de inele i se atribuie aceeași funcție considerată doar ca un morfism de adunare între grupurile subiacente. Ștergerea tuturor operațiunilor dă funcționalitatea setului R subiacent .

Este benefic să se facă distincția între funcționarii uitați care „uită structura” și cei care „uită proprietățile”. De exemplu, în exemplul de mai sus de inele comutative, pe lângă acele funcții care șterg unele dintre operații, există funcții care uită unele dintre axiome. Există un functor din categoria CRing la Ring care uită de axioma comutativității, dar păstrează toate operațiunile. Ocazional, obiectul poate include seturi suplimentare care nu sunt definite strict în termenii setului subiacent (în acest caz, partea care trebuie considerată setul subiacent este o chestiune de gust, deși acest lucru este rareori ambiguu în practică). Pentru aceste obiecte, există funcții uitate care uită seturile suplimentare care sunt mai generale.

Cele mai multe obiecte obișnuite studiate în matematică sunt construite ca seturi de bază împreună cu seturi suplimentare de structură pe acele seturi (operații pe setul de bază, subseturi privilegiate ale setului de bază etc.) care pot satisface unele axiome. Pentru aceste obiecte, un functor uitat în mod obișnuit considerat este următorul. Fie orice categorie bazată pe seturi , de exemplu grupuri - seturi de elemente - sau spații topologice - seturi de „puncte”. Ca de obicei, scrie pentru obiectele de și să scrie pentru morfismele de aceeași. Luați în considerare regula: ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {C}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Fl} ({\ mathcal {C}})}$

Pentru toți din setul de bază al${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {C}}), A \ mapsto | A | =}$${\ displaystyle A,}$

Pentru toți cei din morfism ,, ca hartă a seturilor.${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ operatorname {Fl} ({\ mathcal {C}}), u \ mapsto | u | =}$${\ displaystyle u}$

Functorul este apoi functorul uitat de la Set , categoria seturilor . ${\ displaystyle | \ cdot |}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Functorii uitați sunt aproape întotdeauna fideli . Categoriile concrete au funcționare uitate la categoria seturilor - într-adevăr ele pot fi definite ca acele categorii care admit un functor fidel acestei categorii.

Functorii de uitare care uită doar axiomele sunt întotdeauna pe deplin fideli , deoarece fiecare morfism care respectă structura dintre obiectele care satisfac axiomele respectă automat și axiomele. Functorii uitați care uită structurile nu trebuie să fie plini; unele morfisme nu respectă structura. Cu toate acestea, acești funcționari sunt credincioși, deoarece morfisme distincte care respectă structura sunt încă distincte atunci când structura este uitată. Functorii care uită seturile suplimentare nu trebuie să fie credincioși, deoarece morfisme distincte care respectă structura acelor seturi suplimentare nu pot fi distinse de setul de bază.

În limbajul logicii formale, un functor de primul tip elimină axiomele, un functor de al doilea fel elimină predicate și un functor de al treilea tip elimină tipurile. Un exemplu de primul fel este functorul uitat Ab → Grp . Unul din cel de-al doilea tip este functorul uitat Ab → Set . Un functor de al treilea tip este functorul Mod → Ab , unde Mod este categoria fibroasă a tuturor modulelor peste inele arbitrare. Pentru a vedea acest lucru, trebuie doar să alegeți un homomorfism inelar între inelele subiacente care nu schimbă acțiunea inelului. Sub functorul uitator, acest morfism dă identitatea. Rețineți că un obiect din Mod este un tuplu, care include un inel și un grup abelian, astfel încât să uitați este o chestiune de gust.

Adjuncte stânga ale funcționorilor uitați

Functorii uitați tind să aibă adjuncte lăsate , care sunt construcții „ libere ”. De exemplu:

• modul liber : functorul uitat de la (categoria - module ) la a lăsat adiacent , cu , modulul liber cu bază .${\ displaystyle \ mathbf {Mod} (R)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$${\ displaystyle \ operatorname {Gratuit} _ {R}}$${\ displaystyle X \ mapsto \ operatorname {Gratuit} _ {R} (X)}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle X}$
• grup liber
• rețea gratuită
• algebra tensorială
• categorie gratuită , alăturată funcției uitate de la categorii la frisoane
• algebră universală învăluitoare

Pentru o listă mai extinsă, a se vedea (Mac Lane 1997).

Deoarece acesta este un exemplu fundamental de adiacențe, îl explicăm: adiacența înseamnă că, având în vedere un set X și un obiect (să zicem, un R -module) M , hărțile seturilor corespund hărților modulelor : fiecare hartă a seturilor produce o hartă de module și fiecare hartă de module provine dintr-o hartă de seturi. ${\ displaystyle X \ to | M |}$${\ displaystyle \ operatorname {Free} _ {R} (X) \ to M}$

În cazul spațiilor vectoriale, acest lucru este rezumat astfel: „O hartă între spațiile vectoriale este determinată de locul în care trimite o bază, iar o bază poate fi mapată la orice”.

Simbolic:

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Mod} _ {R}} (\ operatorname {Free} _ {R} (X), M) = \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Set}} (X, \ operatorname {Uitați} (M)).}$

Unitatea de adăugire liber uituc este „includerea unei baze“: . ${\ displaystyle X \ to \ operatorname {Gratuit} _ {R} (X)}$

Fld , categoria câmpurilor, oferă un exemplu de funcționare uitată, fără adjunct. Nu există un câmp care să satisfacă o proprietate universală gratuită pentru un set dat.

Vezi si

• Functoare adiacente
• Functorii
• Proiecție (teoria mulțimilor)

Referințe

• Mac Lane, Saunders . Categorii pentru matematicianul de lucru , texte postuniversitare în matematică 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997. ISBN  0-387-98403-8
• Functor uitat în nLab