Pendul dublu - Double pendulum

Un pendul dublu este format din două pendule atașate cap la cap.

În fizică și matematică , în zona sistemelor dinamice , un pendul dublu este un pendul cu un alt pendul atașat la capătul său, este un sistem fizic simplu care prezintă un comportament dinamic bogat cu o puternică sensibilitate la condițiile inițiale . Mișcarea unui pendul dublu este guvernată de un set de ecuații diferențiale obișnuite cuplate și este haotică .

Analiză și interpretare

Pot fi luate în considerare mai multe variante ale pendulului dublu; cele două membre pot fi de lungimi și mase egale sau inegale, pot fi pendule simple sau pendule compuse (numite și pendule complexe) și mișcarea poate fi în trei dimensiuni sau limitată la planul vertical. În analiza următoare, membrele sunt considerate a fi pendule compuse identice de lungime l și masă m , iar mișcarea este limitată la două dimensiuni.

Pendul dublu compus

Mișcarea pendulului compus dublu (din integrarea numerică a ecuațiilor mișcării)

Traiectoriile unui pendul dublu

Într-un pendul compus, masa este distribuită pe lungimea sa. Dacă masa este distribuită uniform, atunci centrul de masă al fiecărui membru se află în punctul său mediu, iar membrul are un moment de inerție de I = 1/12ml ² despre acel punct.

Este convenabil să se utilizeze unghiurile dintre fiecare membru și verticală ca coordonate generalizate care definesc configurația sistemului. Aceste unghiuri sunt notate θ ₁ și θ ₂ . Poziția centrului de masă al fiecărei tije poate fi scrisă în termenii acestor două coordonate. Dacă originea sistemului de coordonate carteziene este considerată a fi în punctul de suspendare al primului pendul, atunci centrul de masă al acestui pendul este la:

${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = {\ frac {l} {2}} \ sin \ theta _ {1} \\ y_ {1} & = - {\ frac {l} {2 }} \ cos \ theta _ {1} \ end {align}}}$

iar centrul de masă al celui de-al doilea pendul este la

${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {2} & = l \ left (\ sin \ theta _ {1} + {\ tfrac {1} {2}} \ sin \ theta _ {2} \ right) \ \ y_ {2} & = - l \ left (\ cos \ theta _ {1} + {\ tfrac {1} {2}} \ cos \ theta _ {2} \ right) \ end {align}}}$

Acestea sunt suficiente informații pentru a scrie lagrangianul.

Lagrangian

Lagrangianului este

${\ displaystyle {\ begin {align} L & = {\ text {energie cinetică}} - {\ text {energie potențială}} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} m \ left (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} \ right) + {\ tfrac {1} {2}} I \ left ({{\ dot {\ theta}} _ {1}} ^ {2} + {{\ dot {\ theta}} _ {2}} ^ {2} \ right) -mg \ left (y_ {1} + y_ {2} \ right) \\ & = {\ tfrac {1} {2 }} m \ left ({{\ dot {x}} _ {1}} ^ {2} + {{\ dot {y}} _ {1}} ^ {2} + {{\ dot {x}} _ {2}} ^ {2} + {{\ dot {y}} _ {2}} ^ {2} \ right) + {\ tfrac {1} {2}} I \ left ({{\ dot { \ theta}} _ {1}} ^ {2} + {{\ dot {\ theta}} _ {2}} ^ {2} \ right) -mg \ left (y_ {1} + y_ {2} \ dreapta) \ end {align}}}$

Primul termen este energia cinetică liniară a centrului de masă al corpurilor și al doilea termen este energia cinetică de rotație în jurul centrului de masă al fiecărei tije. Ultimul termen este energia potențială a corpurilor într-un câmp gravitațional uniform. Dot-Notația indică derivata a variabilei în cauză.

Înlocuirea coordonatelor de mai sus și rearanjarea ecuației dă

${\ displaystyle L = {\ tfrac {1} {6}} ml ^ {2} \ left ({{\ dot {\ theta}} _ {2}} ^ {2} +4 {{\ dot {\ theta }} _ {1}} ^ {2} +3 {{\ dot {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ cos (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) \ right) + {\ tfrac {1} {2}} mgl \ left (3 \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} \ right).}$

Există o singură cantitate conservată (energia) și nu există momente conservate. Cele două momente generalizate pot fi scrise ca

${\ displaystyle {\ begin {align} p _ {\ theta _ {1}} & = {\ frac {\ partial L} {\ partial {{\ dot {\ theta}} _ {1}}}} = {\ tfrac {1} {6}} ml ^ {2} \ left (8 {{\ dot {\ theta}} _ {1}} + 3 {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ cos ( \ theta _ {1} - \ theta _ {2}) \ right) \\ p _ {\ theta _ {2}} & = {\ frac {\ partial L} {\ partial {{\ dot {\ theta}} _ {2}}}} = {\ tfrac {1} {6}} ml ^ {2} \ left (2 {{\ dot {\ theta}} _ {2}} + 3 {{\ dot {\ theta }} _ {1}} \ cos (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) \ right). \ End {align}}}$

Aceste expresii pot fi inversate pentru a obține

${\ displaystyle {\ begin {align} {{\ dot {\ theta}} _ {1}} & = {\ frac {6} {ml ^ {2}}} {\ frac {2p _ {\ theta _ {1 }} - 3 \ cos (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) p _ {\ theta _ {2}}} {16-9 \ cos ^ {2} (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}} \\ {{\ dot {\ theta}} _ {2}} & = {\ frac {6} {ml ^ {2}}} {\ frac {8p _ {\ theta _ { 2}} - 3 \ cos (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) p _ {\ theta _ {1}}} {16-9 \ cos ^ {2} (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}}. \ end {align}}}$

Ecuațiile rămase ale mișcării sunt scrise ca

${\ displaystyle {\ begin {align} {{\ dot {p}} _ {\ theta _ {1}}} & = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ theta _ {1}}} = - {\ tfrac {1} {2}} ml ^ {2} \ left ({{\ dot {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ sin (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) + 3 {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta _ {1} \ right) \\ {{\ dot {p}} _ {\ theta _ {2}}} & = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ theta _ {2}}} = - {\ tfrac {1} {2}} ml ^ {2} \ left (- {{ \ dot {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ sin (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) + {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta _ {2} \ right). \ end {align}}}$

Aceste ultime patru ecuații sunt formule explicite pentru evoluția în timp a sistemului, având în vedere starea sa actuală. Nu este posibil să mergem mai departe și să integrăm aceste ecuații la o expresie în formă închisă, pentru a obține formule pentru θ ₁ și θ ₂ ca funcții ale timpului. Cu toate acestea, este posibilă realizarea acestei integrări numeric folosind metoda Runge Kutta sau tehnici similare.

Mișcare haotică

Grafic al timpului pentru ca pendulul să se răstoarne în funcție de condițiile inițiale

Expunere îndelungată a pendulului dublu care prezintă mișcare haotică (urmărită cu un LED )

Pendulul dublu suferă mișcare haotică și prezintă o dependență sensibilă de condițiile inițiale . Imaginea din dreapta arată cantitatea de timp scurs înainte ca pendulul să se răstoarne, în funcție de poziția inițială atunci când este eliberat în repaus. Aici, valoarea inițială a θ ₁ variază de-a lungul x -Direcția -3.14-3.14. Valoarea inițială θ ₂ variază de-a lungul direcției y , de la -3,14 la 3,14. Culoarea fiecărui pixel indică dacă oricare dintre pendule răsucește în:

• ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (negru)
• ${\ displaystyle 10 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (roșu)
• ${\ displaystyle 100 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (verde)
• ${\ displaystyle 1000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (albastru) sau
• ${\ displaystyle 10000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (Violet).

Trei pendule duble cu condiții inițiale aproape identice diverg în timp, afișând natura haotică a sistemului.

Condițiile inițiale care nu duc la o răsturnare în interior sunt reprezentate în alb. ${\ displaystyle 10000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$

Limita regiunii albe centrale este definită parțial de conservarea energiei cu următoarea curbă:

${\ displaystyle 3 \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} = 2.}$

În regiunea definită de această curbă, asta este dacă

${\ displaystyle 3 \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2}> 2,}$

atunci este energetic imposibil ca oricare dintre pendule să se întoarcă. În afara acestei regiuni, pendulul poate flip, dar este o întrebare complexă de a determina când va flip. Un comportament similar este observat pentru un pendul dublu compus din două mase punctuale mai degrabă decât două tije cu masă distribuită.

Lipsa unei frecvențe naturale de excitație a dus la utilizarea sistemelor de pendul dublu în proiectele de rezistență seismică în clădiri, unde clădirea în sine este pendulul inversat primar și o masă secundară este conectată pentru a completa pendulul dublu.

Vezi si

• Pendul dublu inversat
• Pendul (matematică)
• Manualele de fizică de la mijlocul secolului al XX-lea folosesc termenul „pendul dublu” pentru a însemna un singur bob suspendat de un șir care este la rândul său suspendat de un șir în formă de V. Acest tip de pendul , care produce curbe Lissajous , este acum denumit pendul Blackburn .

Note

Referințe

• Meirovitch, Leonard (1986). Elemente de analiză a vibrațiilor (ediția a II-a). McGraw-Hill Știință / Inginerie / Matematică. ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (conține detalii despre ecuațiile complicate implicate) și „ Double Pendulum ” de Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project , 2007 (animații ale acelor ecuații).
• Peter Lynch , Double Pendulum , (2001). (Simulare de applet Java.)
• Northwestern University, Double Pendulum , (simulare de applet Java.)
• Grupul teoretic de astrofizică cu energie înaltă la UBC, pendul dublu , (2005).

linkuri externe

• Animații și explicații pentru un pendul dublu și un pendul dublu fizic (două plăci pătrate) de Mike Wheatland (Universitatea Sydney)

• Simulare JavaScript interactivă cu fizică open source cu ecuații detaliate pendul dublu
• Simulare Javascript interactivă a unui pendul dublu
• Simulare fizică cu pendul dublu de pe www.myphysicslab.com folosind cod JavaScript open source
• Simulare, ecuații și explicații ale pendulului lui Rott
• Comparați videoclipuri ale unui pendul dublu cu aceleași condiții inițiale de pornire pe YouTube
• Double Pendulum Simulator - Un simulator open source scris în C ++ folosind setul de instrumente Qt .
• Simulator Java online al expoziției Imaginary .