Liniarizare feedback - Feedback linearization

Diagrama bloc care ilustrează liniarizarea feedback-ului unui sistem neliniar

Liniarizarea feedback-ului este o abordare comună utilizată în controlul sistemelor neliniare . Abordarea implică venirea cu o transformare a sistemului neliniar într-un sistem liniar echivalent printr-o schimbare de variabile și o intrare de control adecvată. Liniarizarea feedback-ului poate fi aplicată sistemelor neliniare ale formularului

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = f (x) + g (x) u \ qquad & (1) \\ y & = h (x) \ qquad \ qquad \ qquad & ( 2) \ end {align}}}$

unde este vectorul de stare, este vectorul intrărilor și este vectorul ieșirilor. Scopul este de a dezvolta o intrare de control ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

care redă o hartă liniară intrare-ieșire între noua intrare și ieșire. O strategie de control a buclei exterioare pentru sistemul de control liniar rezultat poate fi apoi aplicată. ${\ displaystyle v}$

Feedback Linealizarea sistemelor SISO

Aici, luați în considerare cazul liniarizării feedback-ului unui sistem de intrare cu o singură ieșire (SISO). Rezultate similare pot fi extinse la sistemele cu intrări multiple cu ieșiri multiple (MIMO). În acest caz, și . Obiectivul este de a găsi o transformare a coordonatelor care transformă sistemul (1) în așa-numita formă normală care va dezvălui o lege de feedback a formei ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle z = T (x)}$

${\ displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

care va reda o hartă liniară de intrare-ieșire de la noua intrare la ieșire . Pentru a se asigura că sistemul transformat este o reprezentare echivalentă a sistemului original, transformarea trebuie să fie un difeomorfism . Adică, transformarea nu trebuie să fie numai inversabilă (adică bijectivă), ci atât transformarea cât și inversul acesteia trebuie să fie netede, astfel încât diferențialitatea în sistemul de coordonate original să fie păstrată în noul sistem de coordonate. În practică, transformarea poate fi doar locală difeomorfă, iar rezultatele liniarizării se mențin doar în această regiune mai mică. ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y}$

Sunt necesare mai multe instrumente pentru a rezolva această problemă.

Derivat de minciună

Scopul liniarizării feedback-ului este de a produce un sistem transformat ale cărui stări sunt ieșirea și primele sale derivate. Pentru a înțelege structura acestui sistem țintă, folosim derivata Lie . Luați în considerare derivata în timp a lui (2), care poate fi calculată folosind regula lanțului , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {y}} = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac {\ mathrm {d } h (x)} {\ mathrm {d} x}} {\ dot {x}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x) + {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x) u \ end {align}}}$

Acum putem defini derivata Lie de - a lungul ca, ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x),}$

și în mod similar, derivatul Lie de -a lungul ca, ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle L_ {g} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x).}$

Cu această nouă notație, putem exprima astfel: ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}$

Rețineți că notația derivatelor Lie este convenabilă atunci când luăm mai multe derivate fie cu privire la același câmp vector, fie la unul diferit. De exemplu,

${\ displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { \ mathrm {d} x}} f (x),}$

și

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} {\ mathrm {d} x}} g (x). }$

Gradul relativ

În sistemul nostru de feedback liniarizat alcătuit dintr-un vector de stare al ieșirii și primelor sale derivate, trebuie să înțelegem modul în care intrarea intră în sistem. Pentru a face acest lucru, introducem noțiunea de grad relativ. Se spune că sistemul nostru dat de (1) și (2) are un grad relativ la un moment dat dacă, ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {W}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 \ qquad \ forall x}$ într-un cartier al tuturor ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle k \ leq r-2}$

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) \ neq 0}$

Având în vedere această definiție a gradului relativ în lumina expresiei derivatei de timp a ieșirii , putem considera gradul relativ al sistemului nostru (1) și (2) ca fiind de câte ori trebuie să diferențiem ieșirea înainte de intrare apare explicit. Într-un sistem LTI , gradul relativ este diferența dintre gradul polinomului numitorului funcției de transfer (adică, numărul de poli ) și gradul polinomului său de numărător (adică, numărul de zerouri ). ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle u}$

Linealizarea prin feedback

Pentru discuția care urmează, vom presupune că gradul relativ al sistemului este . În acest caz, după diferențierea timpilor de ieșire pe care îi avem, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {align} y & = h (x) \\ {\ dot {y}} & = L_ {f} h (x) \\ {\ ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) \\ & \ vdots \\ y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) \\ y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {aliniat}}}$

unde notația indică derivata a . Deoarece am presupus că gradul relativ al sistemului este , derivatele Lie ale formei pentru sunt toate zero. Adică, intrarea nu are nicio contribuție directă la nici unul din primele derivate. ${\ displaystyle y ^ {(n)}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$${\ displaystyle i = 1, \ dots, n-2}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle (n-1)}$

Transformarea coordonatelor care pune sistemul în formă normală provine de la primele derivate. În special, ${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle z = T (x) = {\ begin {bmatrix} z_ {1} (x) \\ z_ {2} (x) \\\ vdots \\ z_ {n} (x) \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} y \\ {\ dot {y}} \\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\\ vdots \\ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}$

transformă traiectorii din sistemul de coordonate original în noul sistem de coordonate. Atâta timp cât această transformare este un difeomorfism , traiectorii netede în sistemul de coordonate original vor avea omologi unici în sistemul de coordonate, care sunt, de asemenea, netede. Aceste traiectorii vor fi descrise de noul sistem, ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) \\ {\ dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {cases}}.}$

Prin urmare, legea controlului feedback-ului

${\ displaystyle u = {\ frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}$

redă o hartă liniară de intrare-ieșire de la la . Sistemul liniarizat rezultat ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z_ {1} = y}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = v \ end {cases}}}$

este o cascadă de integratori, iar un control al buclei exterioare poate fi ales folosind metodologia standard a sistemului liniar. În special, o lege de control a feedback-ului de stat al ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v = -Kz \ qquad,}$

unde vectorul de stare este ieșirea și primele sale derivate, rezultă sistemul LTI${\ displaystyle z}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ dot {z}} = Az}$

cu,

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & \ ldots & -k_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Deci, cu alegerea adecvată a , putem plasa în mod arbitrar polii cu buclă închisă ai sistemului liniarizat. ${\ displaystyle k}$

Dinamică zero instabilă

Liniarizarea feedback-ului poate fi realizată cu sisteme care au un grad relativ mai mic de . Cu toate acestea, forma normală a sistemului va include dinamică zero (adică stări care nu sunt observabile din ieșirea sistemului) care pot fi instabile. În practică, dinamica instabilă poate avea efecte dăunătoare asupra sistemului (de exemplu, poate fi periculos pentru stările interne ale sistemului să crească nelimitate). Aceste stări neobservabile pot fi controlabile sau cel puțin stabile, astfel încât pot fi luate măsuri pentru a se asigura că aceste stări nu cauzează probleme în practică. Sistemele de fază minimă oferă o perspectivă asupra dinamicii zero. ${\ displaystyle n}$

Vezi si

• Control neliniar

Lecturi suplimentare

linkuri externe

• ECE 758: Modelare și control neliniar al unui manipulator de articulații flexibile cu o singură legătură  - Oferă explicații și o aplicație a liniarizării feedback-ului.
• ECE 758: Exemplu  de liniarizare Ball-in-Tube - Aplicare banală de liniarizare pentru un sistem deja în formă normală (adică nu este necesară transformarea coordonatelor).
• Funcțiile limbajului Wolfram pentru a face liniarizarea feedback - ului , pentru a calcula ordinele relative și pentru a determina dinamica zero .