Feedback linearisering - Feedback linearization

Blokdiagram, der illustrerer feedbacklinearisering af et ikke-lineært system

Feedbacklinearisering er en almindelig tilgang, der anvendes til styring af ikke-lineære systemer . Metoden involverer at komme med en transformation af det ikke-lineære system til et ækvivalent lineært system gennem en ændring af variabler og en passende kontrolindgang. Feedbacklinearisering kan anvendes på ikke-lineære systemer i formularen

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = f (x) + g (x) u \ qquad & (1) \\ y & = h (x) \ qquad \ qquad \ qquad & ( 2) \ end {justeret}}}$

hvor er tilstandsvektoren, er indgangsvektoren og er udgangsvektoren. Målet er at udvikle en kontrolindgang ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

der gengiver et lineært input – output-kort mellem den nye input og output. En kontrolstrategi for ydre kredsløb til det resulterende lineære kontrolsystem kan derefter anvendes. ${\ displaystyle v}$

Feedback linearisering af SISO-systemer

Overvej her tilfældet med feedback-linearisering af et enkelt input-output (SISO) -system. Lignende resultater kan udvides til MIMO-systemer (multiple-input multiple-output). I dette tilfælde og . Målet er at finde en koordinattransformation, der omdanner systemet (1) til den såkaldte normale form, som afslører en feedback-lov af formen ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle z = T (x)}$

${\ displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

der gengiver et lineært input – output-kort fra det nye input til output . For at sikre, at det transformerede system er en ækvivalent repræsentation af det originale system, skal transformationen være en diffeomorfisme . Det vil sige, at transformation ikke kun skal være inverterbar (dvs. bijektiv), men både transformation og dens inverse skal være glat, så differentierbarhed i det originale koordinatsystem bevares i det nye koordinatsystem. I praksis kan transformationen kun være lokalt diffeomorf, og lineariseringsresultaterne holder kun i denne mindre region. ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y}$

Der kræves flere værktøjer til at løse dette problem.

Løgderivat

Målet med feedback-linearisering er at producere et transformeret system, hvis tilstande er output og dets første derivater. For at forstå strukturen i dette målsystem bruger vi Lie-derivatet . Overvej tidsderivatet af (2), som kan beregnes ved hjælp af kædereglen , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {y}} = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac {\ mathrm {d } h (x)} {\ mathrm {d} x}} {\ dot {x}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x) + {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x) u \ end {aligned}}}$

Nu kan vi definere Lie-derivatet af sammen som, ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x),}$

og ligeledes Lie-derivatet af sammen som, ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle L_ {g} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x).}$

Med denne nye notation kan vi udtrykke som, ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}$

Bemærk, at notationen af ​​Lie-derivater er praktisk, når vi tager flere derivater med hensyn til enten det samme vektorfelt eller et andet. For eksempel,

${\ displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { \ mathrm {d} x}} f (x),}$

og

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} {\ mathrm {d} x}} g (x). }$

Relativ grad

I vores feedback lineariserede system, der består af en tilstandsvektor for output og dets første derivater, skal vi forstå, hvordan input kommer ind i systemet. For at gøre dette introducerer vi begrebet relativ grad. Vores system givet af (1) og (2) siges at have relativ grad på et punkt, hvis, ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {W}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 \ qquad \ forall x}$ i et kvarter af og alle ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle k \ leq r-2}$

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) \ neq 0}$

I betragtning af denne definition af relativ grad i lyset af udtrykket for tidsafledningen af ​​output , kan vi betragte den relative grad af vores system (1) og (2) for at være det antal gange, vi har til at differentiere output før input vises eksplicit. I et LTI-system er den relative grad forskellen mellem graden af ​​overføringsfunktionens nævnerpolynom (dvs. antal poler ) og graden af ​​dets tællerpolynom (dvs. antal nuller ). ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle u}$

Linearisering ved feedback

For den følgende diskussion antager vi, at systemets relative grad er . I dette tilfælde efter differentiering af de outputtider, vi har, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {align} y & = h (x) \\ {\ dot {y}} & = L_ {f} h (x) \\ {\ ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) \\ & \ vdots \\ y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) \\ y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {justeret}}}$

hvor notationen angiver det tredje derivat af . Fordi vi antog, at den relative grad af systemet er , er Lie-derivaterne af formularen for alle nul. Det vil sige, at input ikke har noget direkte bidrag til nogen af ​​de første derivater. ${\ displaystyle y ^ {(n)}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$${\ displaystyle i = 1, \ prikker, n-2}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle (n-1)}$

Koordinatransformationen, der sætter systemet i normal form, kommer fra de første derivater. I særdeleshed, ${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle z = T (x) = {\ begin {bmatrix} z_ {1} (x) \\ z_ {2} (x) \\\ vdots \\ z_ {n} (x) \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} y \\ {\ dot {y}} \\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\\ vdots \\ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}$

omdanner baner fra det originale koordinatsystem til det nye koordinatsystem. Så længe denne transformation er en diffeomorfisme , vil glatte baner i det originale koordinatsystem have unikke modstykker i koordinatsystemet, der også er glatte. Disse baner vil blive beskrevet af det nye system, ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) \\ {\ dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {cases}}.}$

Derfor er feedback-kontrolloven

${\ displaystyle u = {\ frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}$

gengiver et lineært input – output-kort fra til . Det resulterende lineariserede system ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z_ {1} = y}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = v \ end {cases}}}$

er en kaskade af integratorer, og en ydre-loop-kontrol kan vælges ved anvendelse af standard lineær systemmetode. Især en lov om kontrol af staten ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v = -Kz \ qquad,}$

hvor tilstandsvektoren er output og dens første derivater, resulterer i LTI-systemet${\ displaystyle z}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ dot {z}} = Az}$

med,

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & \ ldots & -k_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Så med det rette valg kan vi vilkårligt placere lukkede poler i det lineariserede system. ${\ displaystyle k}$

Ustabil nul dynamik

Feedbacklinearisering kan opnås med systemer, der har en relativ grad mindre end . Den normale form for systemet vil dog omfatte nul dynamik (dvs. tilstande, der ikke kan observeres fra systemets output), der kan være ustabil. I praksis kan ustabil dynamik have skadelige virkninger på systemet (f.eks. Kan det være farligt for interne tilstander i systemet at vokse ubegrænset). Disse ikke-observerbare tilstande kan være kontrollerbare eller i det mindste stabile, og derfor kan der træffes foranstaltninger for at sikre, at disse tilstande ikke forårsager problemer i praksis. Minimumfasesystemer giver en vis indsigt i nul dynamik. ${\ displaystyle n}$

Se også

• Ikke-lineær kontrol

Yderligere læsning

eksterne links

• ECE 758: Modellering og ikke-lineær styring af en fleksibel fællesmanipulator med et enkelt link  - Giver forklaring og anvendelse af feedback-linearisering.
• ECE 758: Kugle-i-rør-linearisering Eksempel  - Trivial anvendelse af linearisering til et system, der allerede er i normal form (dvs. ingen koordinattransformation nødvendig).
• Wolfram-sprog fungerer til at lave feedback-linearisering , beregne relative ordrer og bestemme nul dynamik .