Linealización de retroalimentación - Feedback linearization

Diagrama de bloques que ilustra la linealización de retroalimentación de un sistema no lineal

La linealización de retroalimentación es un enfoque común utilizado para controlar sistemas no lineales . El enfoque implica proponer una transformación del sistema no lineal en un sistema lineal equivalente mediante un cambio de variables y una entrada de control adecuada. La linealización por retroalimentación se puede aplicar a sistemas no lineales de la forma

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {x}} & = f (x) + g (x) u \ qquad & (1) \\ y & = h (x) \ qquad \ qquad \ qquad & ( 2) \ end {alineado}}}$

donde es el vector de estado, es el vector de entradas y es el vector de salidas. El objetivo es desarrollar una entrada de control ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ Displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

que genera un mapa de entrada-salida lineal entre la nueva entrada y la salida. Entonces se puede aplicar una estrategia de control de bucle externo para el sistema de control lineal resultante. ${\ Displaystyle v}$

Linealización de retroalimentación de sistemas SISO

Aquí, considere el caso de la linealización de retroalimentación de un sistema de entrada única y salida única (SISO). Se pueden extender resultados similares a sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). En este caso, y . El objetivo es encontrar una transformación de coordenadas que transforme el sistema (1) en la llamada forma normal que revelará una ley de retroalimentación de la forma ${\ Displaystyle u \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle z = T (x)}$

${\ Displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

que generará un mapa de entrada-salida lineal de la nueva entrada a la salida . Para asegurar que el sistema transformado es una representación equivalente del sistema original, la transformación debe ser un difeomorfismo . Es decir, la transformación no solo debe ser invertible (es decir, biyectiva), sino que tanto la transformación como su inversa deben ser suaves para que la diferenciabilidad en el sistema de coordenadas original se conserve en el nuevo sistema de coordenadas. En la práctica, la transformación solo puede ser localmente difeomórfica y los resultados de la linealización solo se mantienen en esta región más pequeña. ${\ Displaystyle v \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle y}$

Se requieren varias herramientas para resolver este problema.

Derivada de la mentira

El objetivo de la linealización por retroalimentación es producir un sistema transformado cuyos estados son la salida y sus primeras derivadas. Para comprender la estructura de este sistema objetivo, usamos la derivada de Lie . Considere la derivada en el tiempo de (2), que se puede calcular usando la regla de la cadena , ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle (n-1)}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {y}} = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac {\ mathrm {d } h (x)} {\ mathrm {d} x}} {\ dot {x}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x) + {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x) u \ end {alineado}}}$

Ahora podemos definir la derivada de Lie de Along como, ${\ Displaystyle h (x)}$${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x),}$

y de manera similar, la derivada de Lie de along as, ${\ Displaystyle h (x)}$${\ Displaystyle g (x)}$

${\ Displaystyle L_ {g} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x).}$

Con esta nueva notación, podemos expresar como, ${\ Displaystyle {\ dot {y}}}$

${\ Displaystyle {\ dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}$

Tenga en cuenta que la notación de derivadas de Lie es conveniente cuando tomamos múltiples derivadas con respecto al mismo campo vectorial o a uno diferente. Por ejemplo,

${\ Displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { \ mathrm {d} x}} f (x),}$

y

${\ Displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} {\ mathrm {d} x}} g (x). }$

Grado relativo

En nuestro sistema linealizado de retroalimentación compuesto por un vector de estado de la salida y sus primeras derivadas, debemos comprender cómo ingresa la entrada al sistema. Para ello, introducimos la noción de grado relativo. Se dice que nuestro sistema dado por (1) y (2) tiene un grado relativo en un punto si, ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle r \ in \ mathbb {W}}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 \ qquad \ forall x}$ en un barrio de y todos ${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle k \ leq r-2}$

${\ Displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) \ neq 0}$

Considerando esta definición de grado relativo a la luz de la expresión de la derivada temporal de la salida , podemos considerar el grado relativo de nuestro sistema (1) y (2) como el número de veces que tenemos que diferenciar la salida antes que la entrada. aparece explícitamente. En un sistema LTI , el grado relativo es la diferencia entre el grado del polinomio denominador de la función de transferencia (es decir, el número de polos ) y el grado de su polinomio numerador (es decir, el número de ceros ). ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle u}$

Linealización por retroalimentación

Para la discusión que sigue, asumiremos que el grado relativo del sistema es . En este caso, después de diferenciar los tiempos de salida que tenemos, ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} y & = h (x) \\ {\ dot {y}} & = L_ {f} h (x) \\ {\ ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) \\ & \ vdots \\ y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) \\ y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {alineado}}}$

donde la notación indica la ésima derivada de . Debido a que asumimos que el grado relativo del sistema es , las derivadas de Lie de la forma para son todas cero. Es decir, la entrada no tiene contribución directa a ninguna de las primeras derivadas. ${\ Displaystyle y ^ {(n)}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$${\ Displaystyle i = 1, \ dots, n-2}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle (n-1)}$

La transformación de coordenadas que pone el sistema en forma normal proviene de las primeras derivadas. En particular, ${\ Displaystyle T (x)}$${\ Displaystyle (n-1)}$

${\ Displaystyle z = T (x) = {\ begin {bmatrix} z_ {1} (x) \\ z_ {2} (x) \\\ vdots \\ z_ {n} (x) \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} y \\ {\ dot {y}} \\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\\ vdots \\ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}$

transforma las trayectorias del sistema de coordenadas original al nuevo sistema de coordenadas. Siempre que esta transformación sea un difeomorfismo , las trayectorias suaves en el sistema de coordenadas original tendrán contrapartes únicas en el sistema de coordenadas que también serán suaves. Esas trayectorias serán descritas por el nuevo sistema, ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) \\ {\ dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {cases}}.}$

Por lo tanto, la ley de control de retroalimentación

${\ Displaystyle u = {\ frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}$

renderiza un mapa de entrada-salida lineal de a . El sistema linealizado resultante ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle z_ {1} = y}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = v \ end {cases}}}$

es una cascada de integradores, y se puede elegir un control de bucle externo utilizando la metodología de sistema lineal estándar. En particular, una ley de control de retroalimentación estatal de ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle v}$

${\ Displaystyle v = -Kz \ qquad,}$

donde el vector de estado es la salida y sus primeras derivadas, da como resultado el sistema LTI${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle (n-1)}$

${\ Displaystyle {\ dot {z}} = Az}$

con,

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & \ ldots & -k_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Entonces, con la elección apropiada de , podemos colocar arbitrariamente los polos en lazo cerrado del sistema linealizado. ${\ Displaystyle k}$

Dinámica cero inestable

La linealización de retroalimentación se puede lograr con sistemas que tienen un grado relativo menor que . Sin embargo, la forma normal del sistema incluirá dinámica cero (es decir, estados que no son observables a partir de la salida del sistema) que pueden ser inestables. En la práctica, la dinámica inestable puede tener efectos nocivos en el sistema (por ejemplo, puede ser peligroso que los estados internos del sistema crezcan sin límites). Estos estados no observables pueden ser controlables o al menos estables, por lo que se pueden tomar medidas para garantizar que estos estados no causen problemas en la práctica. Los sistemas de fase mínima proporcionan información sobre la dinámica cero. ${\ Displaystyle n}$

Ver también

• Control no lineal

Otras lecturas

enlaces externos

• ECE 758: Modelado y control no lineal de un manipulador de  juntas flexibles de un solo enlace : ofrece una explicación y una aplicación de la linealización por retroalimentación.
• ECE 758: Ejemplo de linealización de bola en tubo  - Aplicación trivial de linealización para un sistema que ya está en forma normal (es decir, no es necesaria una transformación de coordenadas).
• Wolfram Language funciona para hacer linealización de retroalimentación , calcular órdenes relativos y determinar dinámica cero .