Linearizace zpětné vazby - Feedback linearization

Blokové schéma ilustrující zpětnovazební linearizaci nelineárního systému

Linearizace zpětné vazby je běžný přístup používaný při řízení nelineárních systémů . Tento přístup zahrnuje přijít s transformací nelineárního systému na ekvivalentní lineární systém prostřednictvím změny proměnných a vhodného řídicího vstupu. Linearizace zpětné vazby může být aplikována na nelineární systémy formuláře

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} {\ dot {x}} & = f (x) + g (x) u \ qquad & (1) \\ y & = h (x) \ qquad \ qquad \ qquad & ( 2) \ end {zarovnáno}}}$

kde je stavový vektor, je vektor vstupů a je vektorem výstupů. Cílem je vyvinout kontrolní vstup ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

který vykresluje lineární vstupně-výstupní mapu mezi novým vstupem a výstupem. Potom lze použít strategii řízení vnější smyčky pro výsledný lineární řídicí systém. ${\ displaystyle v}$

Linearizace zpětné vazby systémů SISO

Zde zvažte případ zpětné vazby linearizace systému s jedním vstupem a jedním výstupem (SISO). Podobné výsledky lze rozšířit na systémy s více vstupy a více výstupy (MIMO). V tomto případě a . Cílem je najít transformaci souřadnic, která transformuje systém (1) do tzv. Normální formy, která odhalí zpětnovazební zákon formy ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle z = T (x)}$

${\ displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

který vykreslí lineární vstupně-výstupní mapu z nového vstupu na výstup . Aby bylo zajištěno, že transformovaný systém je ekvivalentní reprezentací původního systému, musí být transformace difeomorfismem . To znamená, že transformace musí být nejen invertibilní (tj. Bijektivní), ale jak transformace, tak její inverze musí být plynulé, aby byla zachována odlišnost v původním souřadném systému v novém souřadném systému. V praxi může být transformace pouze lokálně difeomorfní a výsledky linearizace platí pouze v této menší oblasti. ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y}$

K vyřešení tohoto problému je zapotřebí několik nástrojů.

Derivát lži

Cílem zpětnovazební linearizace je vyrobit transformovaný systém, jehož stavy jsou výstup a jeho první derivace. Abychom pochopili strukturu tohoto cílového systému, používáme Lieovu derivaci . Zvažte časovou derivaci (2), kterou lze vypočítat pomocí pravidla řetězu , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ dot {y}} = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac {\ mathrm {d } h (x)} {\ mathrm {d} x}} {\ dot {x}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x) + {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x) u \ end {zarovnáno}}}$

Nyní můžeme definovat Lieovu derivaci spolu jako, ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x),}$

a podobně Lieův derivát along as, ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle L_ {g} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x).}$

S touto novou notací můžeme vyjádřit jako, ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}$

Všimněte si, že zápis Lieových derivací je vhodný, když vezmeme více derivací s ohledem buď na stejné vektorové pole, nebo na jiné. Například,

${\ displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { \ mathrm {d} x}} f (x),}$

a

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} {\ mathrm {d} x}} g (x). }$

Relativní stupeň

V našem zpětnovazebně linearizovaném systému tvořeném stavovým vektorem výstupu a jeho prvních derivací musíme pochopit, jak vstup vstupuje do systému. K tomu zavedeme pojem relativního stupně. Náš systém daný (1) a (2) má relativní stupeň v bodě, pokud ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {W}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 \ qquad \ pro všechny x}$ v sousedství města a všichni ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle k \ leq r-2}$

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) \ neq 0}$

Vezmeme-li v úvahu tuto definici relativního stupně ve světle vyjádření časové derivace výstupu , můžeme relativní stupeň našeho systému (1) a (2) považovat za počet případů, kdy musíme rozlišit výstup před vstupem se objeví výslovně. V systému LTI je relativní stupeň rozdílem mezi stupněm polynomu jmenovatele přenosové funkce (tj. Počet pólů ) a stupněm jeho polynomu čitatele (tj. Počet nul ). ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle u}$

Linearizace pomocí zpětné vazby

V následující diskusi budeme předpokládat, že relativní stupeň systému je . V tomto případě, po rozlišení výstupních časů, které máme, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} y & = h (x) \\ {\ dot {y}} & = L_ {f} h (x) \\ {\ ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) \\ & \ vdots \\ y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) \\ y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {zarovnáno}}}$

kde notace označuje thou derivaci . Protože jsme předpokládali, že relativní stupeň systému je , jsou Lieovy deriváty formy pro všechny nulové. To znamená, že vstup nemá přímý příspěvek k žádnému z prvních th derivátů. ${\ displaystyle y ^ {(n)}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$${\ displaystyle i = 1, \ tečky, n-2}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle (n-1)}$

Transformace souřadnic, která uvádí systém do normální formy, pochází z prvních derivací. Zejména, ${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle z = T (x) = {\ začátek {bmatrix} z_ {1} (x) \\ z_ {2} (x) \\\ vdots \\ z_ {n} (x) \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} y \\ {\ dot {y}} \\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\\ vdots \\ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}$

transformuje trajektorie z původního souřadnicového systému do nového souřadnicového systému. Pokud je tato transformace difeomorfismem , hladké trajektorie v původním souřadnicovém systému budou mít v souřadnicovém systému jedinečné protějšky, které jsou také plynulé. Tyto trajektorie budou popsány novým systémem, ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) \\ {\ dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {cases}}.}$

Proto zákon o zpětné vazbě

${\ displaystyle u = {\ frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}$

vykreslí lineární vstupně-výstupní mapu od do . Výsledný linearizovaný systém ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z_ {1} = y}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = v \ end {cases}}}$

je kaskáda integrátorů a ovládání vnější smyčky lze zvolit pomocí standardní metodiky lineárního systému. Zejména zákon o zpětné vazbě stavu ze dne ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v = -Kz \ qquad,}$

kde stavový vektor je výstup a jeho první derivace, vede k systému LTI${\ displaystyle z}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ dot {z}} = Az}$

s,

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & \ ldots & -k_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Takže s příslušnou volbou můžeme libovolně umístit póly uzavřené smyčky linearizovaného systému. ${\ displaystyle k}$

Nestabilní nulová dynamika

Linearizace zpětné vazby může být provedena se systémy, které mají relativní stupeň menší než . Normální forma systému však bude zahrnovat nulovou dynamiku (tj. Stavy, které nelze pozorovat z výstupu systému), které mohou být nestabilní. V praxi může mít nestabilní dynamika škodlivé účinky na systém (např. Může být nebezpečné, aby vnitřní stavy systému neomezeně rostly). Tyto nepozorovatelné stavy mohou být kontrolovatelné nebo přinejmenším stabilní, takže lze přijmout opatření k zajištění toho, aby tyto stavy v praxi nezpůsobovaly problémy. Systémy minimální fáze poskytují určitý pohled na nulovou dynamiku. ${\ displaystyle n}$

Viz také

• Nelineární řízení

Další čtení

externí odkazy

• ECE 758: Modelování a nelineární ovládání jednopólového flexibilního manipulátoru kloubů  - poskytuje vysvětlení a aplikaci linearizace zpětné vazby.
• ECE 758: Příklad linearizace Ball-in-Tube  - Triviální aplikace linearizace pro systém, který je již v normální formě (tj. Není nutná žádná transformace souřadnic).
• Funkce jazyka Wolfram provádějí linearizaci zpětné vazby , počítají relativní řády a určují nulovou dynamiku .