Visszajelzés linearizálása - Feedback linearization

Blokkdiagram, amely egy nemlineáris rendszer visszacsatolásos linearizálását szemlélteti

A visszacsatolásos linearizálás a nemlineáris rendszerek vezérlésében általánosan alkalmazott megközelítés . A megközelítés magában foglalja a nemlineáris rendszer átalakítását egyenértékű lineáris rendszerré a változók megváltoztatása és egy megfelelő vezérlő bemenet révén. Visszacsatolásos linearizálás alkalmazható a forma nemlineáris rendszereire

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ dot {x}} & = f (x) + g (x) u \ qquad & (1) \\ y & = h (x) \ qquad \ qquad \ qquad & ( 2) \ end {igazítva}}}$

ahol az állapotvektor, a bemenetek vektora és a kimenetek vektora. A cél egy vezérlő bemenet kidolgozása ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

amely lineáris bemeneti-kimeneti térképet jelenít meg az új bemenet és a kimenet között. Ezután a kapott lineáris vezérlőrendszer külső hurok vezérlési stratégiája alkalmazható. ${\ displaystyle v}$

Visszajelzés A SISO rendszerek linearizálása

Itt vegyük figyelembe az egybemenetes egykimenetes (SISO) rendszer visszacsatolásos linearizálását. Hasonló eredmények kiterjeszthetők a több bemenetű, több kimenetet (MIMO) tartalmazó rendszerekre is. Ebben az esetben, és . A cél egy olyan koordináta-transzformáció megtalálása , amely a rendszert (1) átalakítja egy úgynevezett normál formává, amely felfedi a forma visszacsatolási törvényét ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle z = T (x)}$

${\ displaystyle u = a (x) + b (x) v \,}$

amely lineáris bemenet-kimenet térképet jelenít meg az új bemenetről a kimenetre . Annak biztosítására, hogy a transzformált rendszer az eredeti rendszer egyenértékű ábrázolása legyen, az átalakításnak diffeomorfizmusnak kell lennie . Vagyis az átalakításnak nemcsak invertálhatónak (azaz bijektívnak) kell lennie, hanem mind az átalakításnak, mind annak inverzének simának kell lennie , hogy az eredeti koordináta-rendszer differenciálhatósága megmaradjon az új koordinátarendszerben. A gyakorlatban az átalakulás csak lokálisan diffeomorf lehet, és a linearizációs eredmények csak ebben a kisebb régióban érvényesek. ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y}$

A probléma megoldásához több eszközre van szükség.

Hazugság származéka

A visszacsatolásos linearizálás célja egy olyan átalakított rendszer előállítása, amelynek állapota a kimenet és annak első deriváltjai. A célrendszer felépítésének megértéséhez a Lie deriváltat használjuk . Vegyük figyelembe a (2) időszármazékát, amely a láncszabály segítségével kiszámítható , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ dot {y}} = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} t}} és = {\ frac {\ mathrm {d } h (x)} {\ mathrm {d} x}} {\ dot {x}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x) + {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x) u \ end {igazítva}}}$

Most tudjuk meg a Lie-származék mellett , mint, ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} f (x),}$

és hasonlóan, a Lie-származék mentén , mint, ${\ displaystyle h (x)}$${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle L_ {g} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}} g (x).}$

Ezzel az új jelöléssel kifejezhetjük , ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}$

Megjegyezzük, hogy a Lie-származékok jelölése akkor kényelmes, ha több deriváltat veszünk ugyanazon vagy egy másik vektor mező szempontjából. Például,

${\ displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} { \ mathrm {d} x}} f (x),}$

és

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ mathrm {d} (L_ {f} h (x))} {\ mathrm {d} x}} g (x). }$

Viszonylagos fokozat

A kimenet állapotvektorából és annak első deriváltjaiból álló visszacsatolásos linearizált rendszerünkben meg kell értenünk, hogy az input hogyan kerül a rendszerbe. Ehhez bevezetjük a relatív fokozat fogalmát. Az (1) és (2) által megadott rendszerünkről azt mondjuk, hogy relatív fokú egy ponton, ha ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {W}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 \ qquad \ forall x}$ Egy szomszédságában a minden ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle k \ leq r-2}$

${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) \ neq 0}$

Figyelembe véve a relatív fokozatnak ezt a meghatározását a kimenet időszármazékának kifejezésére tekintettel, az (1) és (2) rendszerünk relatív fokát tekinthetjük annak a számnak, ahányszor meg kell különböztetnünk a kimenetet a bemenet előtt kifejezetten megjelenik. Egy LTI rendszerben a relatív fok az átviteli függvény nevező polinomjának (azaz a pólusok számának ) és a számláló polinomjának (azaz a nullák számának ) mértéke közötti különbség . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle u}$

Linearizálás visszacsatolással

Az ezt követő vita során feltételezzük, hogy a rendszer relatív mértéke az . Ebben az esetben, miután megkülönböztettük a kimeneti időket, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} y & = h (x) \\ {\ dot {y}} & = L_ {f} h (x) \\ {\ ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) \\ & \ vdots \\ y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) \\ y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ vég {igazítva}}}$

ahol a jelölés a th deriváltját jelöli . Mivel feltételeztük, hogy a rendszer relatív mértéke az , a for formának Lie-deriváltjai mind nulla. Vagyis a bemenetnek nincs közvetlen hozzájárulása az első harmadik származékok egyikéhez sem. ${\ displaystyle y ^ {(n)}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$${\ displaystyle i = 1, \ pont, n-2}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle (n-1)}$

A rendszert normál formába helyező koordináta transzformáció az első deriváltakból származik . Különösen, ${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle z = T (x) = {\ begin {bmatrix} z_ {1} (x) \\ z_ {2} (x) \\\ vdots \\ z_ {n} (x) \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} y \\ {\ dot {y}} \\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\\ vdots \\ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}$

átalakítja a pályákat az eredeti koordináta-rendszerből az új koordináta-rendszerbe. Mindaddig, amíg ez az átalakulás diffeomorfizmus , az eredeti koordináta-rendszer sima pályáinak egyedülálló megfelelői lesznek a koordináta-rendszerben, amelyek szintén simaak. Ezeket a pályákat az új rendszer leírja, ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) \\ {\ dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {esetek}}.}$

Ezért a visszacsatolás-ellenőrzési törvény

${\ displaystyle u = {\ frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}$

lineáris bemeneti-kimeneti térképet jelenít meg . A kapott linearizált rendszer ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z_ {1} = y}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} és = v \ end {esetek}}}$

az integrátorok kaszkádja , és egy külső hurok vezérlése választható standard lineáris rendszermódszertan alkalmazásával. Különösen az állam-visszacsatolás ellenőrzési törvény ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v = -Kz \ qquad,}$

ahol az állapotvektor a kimenet és annak első deriváltjai, az LTI rendszert eredményezi ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle {\ dot {z}} = Az}$

val vel,

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & \ ldots & -k_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Tehát a megfelelő választással tetszőlegesen elhelyezhetjük a linearizált rendszer zárt hurkú pólusait. ${\ displaystyle k}$

Instabil nulla dinamika

A visszacsatolás linearizálása olyan rendszerekkel hajtható végre, amelyek relatív foka kisebb, mint . A rendszer normális formája azonban magában foglalja a nulla dinamikát (azaz olyan állapotokat, amelyek nem figyelhetők meg a rendszer kimenetéből), amelyek instabilak lehetnek. A gyakorlatban az instabil dinamika káros hatással lehet a rendszerre (pl. Veszélyes lehet, ha a rendszer belső állapota határtalanul növekszik). Ezek a megfigyelhetetlen állapotok lehetnek irányíthatók vagy legalább stabilak, és ezért intézkedéseket lehet tenni annak biztosítására, hogy ezek az állapotok ne okozzanak problémákat a gyakorlatban. A minimális fázisú rendszerek némi betekintést nyújtanak a nulla dinamikába. ${\ displaystyle n}$

Lásd még

• Nemlineáris vezérlés

További irodalom

Külső linkek

• ECE 758: Single-link rugalmas ízületi manipulátor modellezése és nemlineáris vezérlése  - Magyarázatot ad és alkalmazza a visszacsatolásos linearizációt.
• ECE 758: Golyó a csőben linearizálási példa  - A linearizálás triviális alkalmazása már normál formában működő rendszer számára (azaz nincs szükség koordinátatranszformációra).
• A Wolfram nyelvi funkciói a visszacsatolásos linearizálást , a relatív sorrendek kiszámítását és a nulla dinamika meghatározását jelentik .