Metoda de colocare - Collocation method

În matematică, o metodă de colocare este o metodă pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor diferențiale obișnuite , ecuațiilor diferențiale parțiale și ecuațiilor integrale . Ideea este de a alege un spațiu cu dimensiuni finite ale soluțiilor candidate (de obicei polinoame până la un anumit grad) și un număr de puncte din domeniu (numite puncte de colocare ) și să selectăm acea soluție care să satisfacă ecuația dată la punctele de colocare .

Ecuații diferențiale ordinare

Să presupunem că ecuația diferențială obișnuită

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0},}$

trebuie rezolvat pe parcursul intervalului . Alegeți dintre 0 ≤ c ₁ < c ₂ <... < c _n ≤ 1. ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {0} + c_ {k} h]}$${\ displaystyle c_ {k}}$

Metoda corespondenței (polinomiale) corespunzătoare aproximează soluția y prin polinomul p de grad n care îndeplinește condiția inițială și ecuația diferențială${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}}$${\ displaystyle p '(t_ {k}) = f (t_ {k}, p (t_ {k}))}$

la toate punctele de colocare pentru . Aceasta oferă  condiții n + 1, care se potrivește cu  parametrii n + 1 necesari pentru a specifica un polinom de grad n . ${\ displaystyle t_ {k} = t_ {0} + c_ {k} h}$${\ displaystyle k = 1, \ ldots, n}$

Toate aceste metode de colocare sunt de fapt metode implicite Runge-Kutta . Coeficienții c _k din tabloul Butcher al unei metode Runge-Kutta sunt punctele de colocare. Cu toate acestea, nu toate metodele implicite Runge-Kutta sunt metode de colocare.

Exemplu: regula trapezoidală

Alegeți, de exemplu, cele două puncte de colocare c ₁ = 0 și c ₂ = 1 (deci n = 2). Condițiile de colocare sunt

${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}, \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0}) = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0} + h) = f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)). \,}$

Există trei condiții, deci p ar trebui să fie un polinom de grad 2. Scrieți p în formă

${\ displaystyle p (t) = \ alpha (t-t_ {0}) ^ {2} + \ beta (t-t_ {0}) + \ gamma \,}$

pentru a simplifica calculele. Apoi, condițiile de colocare pot fi rezolvate pentru a da coeficienții

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = {\ frac {1} {2h}} {\ Big (} f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)) - f ( t_ {0}, p (t_ {0})) {\ Big)}, \\\ beta & = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \\\ gamma & = y_ {0 }. \ end {align}}}$

Metoda de colocare este dată acum (implicit) de

${\ displaystyle y_ {1} = p (t_ {0} + h) = y_ {0} + {\ frac {1} {2}} h {\ Big (} f (t_ {0} + h, y_ { 1}) + f (t_ {0}, y_ {0}) {\ Big)}, \,}$

unde y ₁ = p ( t ₀  +  h ) este soluția aproximativă la t = t ₀  +  h .

Această metodă este cunoscută sub numele de „ regulă trapezoidală ” pentru ecuațiile diferențiale. Într-adevăr, această metodă poate fi derivată și prin rescrierea ecuației diferențiale ca

${\ displaystyle y (t) = y (t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau, y (\ tau)) \, {\ textrm {d}} \ tau, \,}$

și aproximarea integralei din partea dreaptă de regula trapezoidală pentru integrale.

Alte exemple

Metodele Gauss – Legendre folosesc punctele de cuadratură Gauss – Legendre ca puncte de colocare. Metoda Gauss – Legendre bazată pe s puncte are ordinul 2 s . Toate metodele Gauss-Legendre sunt A-stabil .

De fapt, se poate arăta că ordinea unei metode de colocare corespunde ordinii regulii de cvadratură pe care s-ar obține folosind punctele de colocare ca greutăți.

Note

Referințe

• Ascher, Uri M .; Petzold, Linda R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations , Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-412-8.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite I: Probleme non-rigide , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), Un prim curs de analiză numerică a ecuațiilor diferențiale , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), „O metodă de colocație spectrală rațională pentru rezolvarea unei clase de probleme de perturbare singulară parametrizate”, Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 (10): 2652–2660, doi : 10.1016 / j.cam.2009.11. 011.