Método de colocação - Collocation method

Em matemática, um método de colocação é um método para a solução numérica de equações diferenciais ordinárias , equações diferenciais parciais e equações integrais . A ideia é escolher um espaço de dimensão finita de soluções candidatas (geralmente polinômios até um certo grau) e um número de pontos no domínio (chamados pontos de colocação ), e selecionar a solução que satisfaça a equação dada nos pontos de colocação .

Equações diferenciais ordinárias

Suponha que a equação diferencial ordinária

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0},}$

deve ser resolvido no intervalo . Escolha entre 0 ≤ c ₁ < c ₂ <… < c _n ≤ 1. ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {0} + c_ {k} h]}$${\ displaystyle c_ {k}}$

O método de colocação (polinomial) correspondente aproxima a solução y pelo polinômio p de grau n que satisfaz a condição inicial , e a equação diferencial${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}}$${\ displaystyle p '(t_ {k}) = f (t_ {k}, p (t_ {k}))}$

em todos os pontos de colocação para . Isso fornece  condições n + 1, que correspondem aos  parâmetros n + 1 necessários para especificar um polinômio de grau n . ${\ displaystyle t_ {k} = t_ {0} + c_ {k} h}$${\ displaystyle k = 1, \ ldots, n}$

Todos esses métodos de colocação são, na verdade, métodos Runge-Kutta implícitos . Os coeficientes c _k no quadro Butcher de um método Runge-Kutta são os pontos de colocação. No entanto, nem todos os métodos Runge-Kutta implícitos são métodos de colocação.

Exemplo: a regra trapezoidal

Escolha, como exemplo, os dois pontos de colocação c ₁ = 0 ec ₂ = 1 (então n = 2). As condições de colocação são

${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}, \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0}) = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0} + h) = f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)). \,}$

Existem três condições, então p deve ser um polinômio de grau 2. Escreva p na forma

${\ displaystyle p (t) = \ alpha (t-t_ {0}) ^ {2} + \ beta (t-t_ {0}) + \ gamma \,}$

para simplificar os cálculos. Então, as condições de colocação podem ser resolvidas para dar os coeficientes

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ alpha & = {\ frac {1} {2h}} {\ Big (} f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)) - f ( t_ {0}, p (t_ {0})) {\ Big)}, \\\ beta & = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \\\ gamma & = y_ {0 }. \ end {alinhado}}}$

O método de colocação agora é dado (implicitamente) por

${\ displaystyle y_ {1} = p (t_ {0} + h) = y_ {0} + {\ frac {1} {2}} h {\ Big (} f (t_ {0} + h, y_ { 1}) + f (t_ {0}, y_ {0}) {\ Big)}, \,}$

onde y ₁ = p ( t ₀  +  h ) é a solução aproximada em t = t ₀  +  h .

Este método é conhecido como " regra trapezoidal " para equações diferenciais. Na verdade, este método também pode ser derivado reescrevendo a equação diferencial como

${\ displaystyle y (t) = y (t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau, y (\ tau)) \, {\ textrm {d}} \ tau, \,}$

e aproximando a integral no lado direito pela regra trapezoidal para integrais.

Outros exemplos

Os métodos de Gauss-Legendre usam os pontos da quadratura de Gauss-Legendre como pontos de colocação. O método de Gauss-Legendre baseado em pontos s tem ordem 2 s . Todos os métodos de Gauss-Legendre são A-stable .

De fato, pode-se mostrar que a ordem de um método de colocação corresponde à ordem da regra da quadratura que se obteria usando os pontos de colocação como pesos.

Notas

Referências

• Ascher, Uri M .; Petzold, Linda R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations , Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-412-8.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolvendo equações diferenciais ordinárias I: problemas não rígidos , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), Um Primeiro Curso em Análise Numérica de Equações Diferenciais , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), "Um método de colocação espectral racional para resolver uma classe de problemas de perturbação singular parametrizados", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 (10): 2652-2660, doi : 10.1016 / j.cam.2009.11. 011.