Metoda kolokacji - Collocation method

W matematyce, A Sposób rozmieszczenie jest metoda numerycznego rozwiązania równań różniczkowych , równań różniczkowych i równaniach całkowych . Chodzi o to, aby wybrać skończenie wymiarową przestrzeń rozwiązań kandydujących (zwykle wielomianów do pewnego stopnia) i pewną liczbę punktów w dziedzinie (zwanych punktami kolokacji ) i wybrać to rozwiązanie, które spełnia podane równanie w punktach kolokacji .

Równania różniczkowe zwyczajne

Załóżmy, że zwykłe równanie różniczkowe

${\ Displaystyle r '(t) = f (t, r (t)), \ quad r (t_ {0}) = r_ {0},}$

ma zostać rozwiązany w odstępie czasu . Wybierz spośród 0 ≤ c ₁ < c ₂ <… < c _n ≤ 1. ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {0} + c_ {k} h]}$${\ displaystyle c_ {k}}$

Odpowiednia (wielomianowa) metoda kolokacji aproksymuje rozwiązanie y przez wielomian p stopnia n, który spełnia warunek początkowy , oraz równanie różniczkowe${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}}$${\ Displaystyle p '(t_ {k}) = f (t_ {k}, p (t_ {k}))}$

we wszystkich punktach kolokacji dla . Daje to  warunki n + 1, które pasują do  parametrów n + 1 potrzebnych do określenia wielomianu stopnia n . ${\ displaystyle t_ {k} = t_ {0} + c_ {k} h}$${\ Displaystyle k = 1, \ ldots, n}$

Wszystkie te metody kolokacji są w rzeczywistości niejawnymi metodami Runge – Kutty . Współczynniki c _k w tabeli Butchera metody Runge – Kutta są punktami kolokacji. Jednak nie wszystkie niejawne metody Runge – Kutta są metodami kolokacji.

Przykład: zasada trapezu

Wybierz jako przykład dwa punkty kolokacji c ₁ = 0 ic ₂ = 1 (więc n = 2). Warunki kolokacji to

${\ Displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}, \,}$

${\ Displaystyle p '(t_ {0}) = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \,}$

${\ Displaystyle p '(t_ {0} + h) = f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)). \,}$

Są trzy warunki, więc p powinno być wielomianem stopnia 2. Wpisz p w postaci

${\ Displaystyle p (t) = \ alfa (t-t_ {0}) ^ {2} + \ beta (t-t_ {0}) + \ gamma \,}$

uprościć obliczenia. Następnie można rozwiązać warunki kolokacji, aby otrzymać współczynniki

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ alpha & = {\ Frac {1} {2h}} {\ Big (} f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)) - f ( t_ {0}, p (t_ {0})) {\ Big)}, \\\ beta & = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \\\ gamma & = y_ {0 }. \ end {aligned}}}$

Metoda kolokacji jest teraz podawana (niejawnie) przez

${\ Displaystyle y_ {1} = p (t_ {0} + h) = r_ {0} + {\ frac {1} {2}} h {\ duży (} f (t_ {0} + h, y_ { 1}) + f (t_ {0}, y_ {0}) {\ Big)}, \,}$

gdzie y ₁ = p ( t ₀  +  h ) jest przybliżonym rozwiązaniem w momencie t = t ₀  +  h .

Ta metoda jest znana jako „ reguła trapezów ” dla równań różniczkowych. Rzeczywiście, tę metodę można również wyprowadzić, przepisując równanie różniczkowe jako

${\ Displaystyle y (t) = r (t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau, r (\ tau)) \, {\ textrm {d}} \ tau, \,}$

oraz przybliżanie całki po prawej stronie przez regułę trapezu dla całek.

Inne przykłady

Metody Gaussa – Legendre'a wykorzystują punkty kwadratury Gaussa – Legendre'a jako punkty kolokacji. Metoda Gaussa – Legendre'a oparta na s punktach ma rząd 2 s . Wszystkie metody Gaussa-Legendre'a są A-stabilne .

W rzeczywistości można wykazać, że kolejność metody kolokacji odpowiada kolejności reguły kwadratury, którą można by uzyskać, używając punktów kolokacji jako wag.

Uwagi

Bibliografia

• Ascher, Uri M .; Petzold, Linda R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations , Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-412-8.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych I: problemy niestabilne , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), „Rational spectral collocation method for solving a class of sparametryzowanych pojedynczych problemów perturbacji”, Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 (10): 2652–2660, doi : 10.1016 / j.cam.2009.11. 011.