Samlokasjonsmetode - Collocation method

I matematikk er en kollokasjonsmetode en metode for den numeriske løsningen av vanlige differensialligninger , partielle differensiallikninger og integrerte ligninger . Tanken er å velge et endelig-dimensjonalt rom med kandidatløsninger (vanligvis polynomer opp til en viss grad) og et antall punkter i domenet (kalt kollokasjonspunkter ), og å velge den løsningen som tilfredsstiller den gitte ligningen ved kollokasjonspunktene .

Vanlige differensialligninger

Anta at den vanlige differensialligningen

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0},}$

skal løses i løpet av intervallet . Velg mellom 0 ≤ c ₁ < c ₂ <… < c _n ≤ 1. ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {0} + c_ {k} h]}$${\ displaystyle c_ {k}}$

Den tilsvarende (polynomiske) kollokasjonsmetoden tilnærmer løsningen y ved polynomet p av grad n som tilfredsstiller starttilstanden , og differensiallikningen${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}}$${\ displaystyle p '(t_ {k}) = f (t_ {k}, p (t_ {k}))}$

på alle samlesteder for . Dette gir n  + 1 betingelser, som samsvarer med n  + 1 parametrene som trengs for å spesifisere et polynom av grad n . ${\ displaystyle t_ {k} = t_ {0} + c_ {k} h}$${\ displaystyle k = 1, \ ldots, n}$

Alle disse kollokasjonsmetodene er faktisk implisitte Runge – Kutta-metoder . Koeffisientene c _k i Butcher-tablå av en Runge – Kutta-metode er samlestedene. Imidlertid er ikke alle implisitte Runge – Kutta-metoder samlokasjonsmetoder.

Eksempel: Den trapesformede regelen

Velg, som et eksempel, de to kollokasjonspunktene c ₁ = 0 og c ₂ = 1 (så n = 2). Samkjøringsbetingelsene er

${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}, \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0}) = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0} + h) = f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)). \,}$

Det er tre forhold, så p skal være et polynom av grad 2. Skriv p i skjemaet

${\ displaystyle p (t) = \ alpha (t-t_ {0}) ^ {2} + \ beta (t-t_ {0}) + \ gamma \,}$

for å forenkle beregningene. Deretter kan samlokasjonsforholdene løses for å gi koeffisientene

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = {\ frac {1} {2h}} {\ Big (} f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)) - f ( t_ {0}, p (t_ {0})) {\ Big)}, \\\ beta & = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \\\ gamma & = y_ {0 }. \ slutt {justert}}}$

Samlokeringsmetoden er nå gitt (implisitt) av

${\ displaystyle y_ {1} = p (t_ {0} + h) = y_ {0} + {\ frac {1} {2}} h {\ Big (} f (t_ {0} + h, y_ { 1}) + f (t_ {0}, y_ {0}) {\ Big)}, \,}$

hvor y ₁ = p ( t ₀  +  h ) er den omtrentlige løsningen ved t = t ₀  +  h .

Denne metoden er kjent som " trapesformet regel " for differensialligninger. Denne metoden kan faktisk også utledes ved å omskrive differensiallikningen som

${\ displaystyle y (t) = y (t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau, y (\ tau)) \, {\ textrm {d}} \ tau, \,}$

og tilnærmet integralet på høyre side av den trapesformede regelen for integraler.

Andre eksempler

De Gauss-Legendre metoder bruker avreise Gauss-Legendre kvadratur som sammenstilling punkter. Gauss – Legendre-metoden basert på s poeng har rekkefølge 2 s . Alle Gauss – Legendre-metodene er A-stabile .

Faktisk kan man vise at rekkefølgen på en kollokasjonsmetode tilsvarer rekkefølgen på kvadraturregelen som man ville fått ved å bruke kollokasjonspunktene som vekter.

Merknader

Referanser

• Ascher, Uri M .; Petzold, Linda R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations , Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-412-8.
• Frisør, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Løse vanlige differensiallikninger I: Nonstiff problems , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), et første kurs i numerisk analyse av differensiallikninger , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), "A rational spectral collocation method for solving a class of parameterised singular perturbation problems", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 (10): 2652–2660, doi : 10.1016 / j.cam.2009.11. 011.