Metodo di collocazione - Collocation method

In matematica, un metodo di collocazione è un metodo per la soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie , equazioni differenziali parziali ed equazioni integrali . L'idea è di scegliere uno spazio a dimensione finita di soluzioni candidate (di solito polinomi fino a un certo grado) e un numero di punti nel dominio (chiamati punti di collocazione ) e di selezionare quella soluzione che soddisfa l'equazione data nei punti di collocazione .

Equazioni differenziali ordinarie

Supponiamo che l' equazione differenziale ordinaria

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0},}$

deve essere risolto nell'intervallo . Scegli tra 0 ≤ c ₁ < c ₂ <… < c _n ≤ 1. ${\ displaystyle [t_ {0}, t_ {0} + c_ {k} h]}$${\ displaystyle c_ {k}}$

Il metodo di collocazione corrispondente (polinomiale) approssima la soluzione y dal polinomio p di grado n che soddisfa la condizione iniziale , e l'equazione differenziale${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}}$${\ displaystyle p '(t_ {k}) = f (t_ {k}, p (t_ {k}))}$

in tutti i punti di collocazione per . Ciò fornisce n  + 1 condizioni, che corrispondono agli n  + 1 parametri necessari per specificare un polinomio di grado n . ${\ displaystyle t_ {k} = t_ {0} + c_ {k} h}$${\ displaystyle k = 1, \ ldots, n}$

Tutti questi metodi di collocazione sono in effetti metodi impliciti di Runge-Kutta . I coefficienti c _k nel tableau Butcher di un metodo Runge-Kutta sono i punti di collocazione. Tuttavia, non tutti i metodi Runge – Kutta impliciti sono metodi di collocazione.

Esempio: la regola trapezoidale

Scegli, come esempio, i due punti di collocazione c ₁ = 0 ec ₂ = 1 (quindi n = 2). Le condizioni di collocazione sono

${\ displaystyle p (t_ {0}) = y_ {0}, \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0}) = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \,}$

${\ displaystyle p '(t_ {0} + h) = f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)). \,}$

Ci sono tre condizioni, quindi p dovrebbe essere un polinomio di grado 2. Scrivi p nella forma

${\ displaystyle p (t) = \ alpha (t-t_ {0}) ^ {2} + \ beta (t-t_ {0}) + \ gamma \,}$

per semplificare i calcoli. Quindi le condizioni di collocazione possono essere risolte per fornire i coefficienti

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = {\ frac {1} {2h}} {\ Big (} f (t_ {0} + h, p (t_ {0} + h)) - f ( t_ {0}, p (t_ {0})) {\ Big)}, \\\ beta & = f (t_ {0}, p (t_ {0})), \\\ gamma & = y_ {0 }. \ end {allineato}}}$

Il metodo di collocazione è ora fornito (implicitamente) da

${\ displaystyle y_ {1} = p (t_ {0} + h) = y_ {0} + {\ frac {1} {2}} h {\ Big (} f (t_ {0} + h, y_ { 1}) + f (t_ {0}, y_ {0}) {\ Big)}, \,}$

dove y ₁ = p ( t ₀  +  h ) è la soluzione approssimata a t = t ₀  +  h .

Questo metodo è noto come " regola trapezoidale " per le equazioni differenziali. In effetti, questo metodo può anche essere derivato riscrivendo l'equazione differenziale come

${\ displaystyle y (t) = y (t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau, y (\ tau)) \, {\ textrm {d}} \ tau, \,}$

e approssimando l'integrale sul lato destro mediante la regola trapezoidale per gli integrali.

Altri esempi

I metodi Gauss – Legendre utilizzano i punti della quadratura Gauss – Legendre come punti di collocazione. Il metodo Gauss – Legendre basato sui punti s ha ordine 2 s . Tutti i metodi Gauss – Legendre sono stabili .

Infatti, si può dimostrare che l'ordine di un metodo di collocazione corrisponde all'ordine della regola di quadratura che si otterrebbe utilizzando i punti di collocazione come pesi.

Appunti

Riferimenti

• Ascher, Uri M .; Petzold, Linda R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations , Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-412-8.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie I: problemi non rigidi , Berlino, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), "Un metodo di collocazione spettrale razionale per risolvere una classe di problemi di perturbazione singolare parametrizzati", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 (10): 2652–2660, doi : 10.1016 / j.cam.2009.11. 011.