Harta pachetului - Bundle map

În matematică , o hartă pachet (sau morfism pachet ) este un morfism în categoria de fascicule de fibre . Există două noțiuni distincte, dar strâns legate între ele, de harta fasciculului, în funcție de faptul că fasciculele de fibre în cauză au un spațiu de bază comun . Există, de asemenea, mai multe variante ale temei de bază, în funcție de categoria exactă a pachetelor de fibre care sunt luate în considerare. În primele trei secțiuni, vom lua în considerare pachete generale de fibre din categoria spațiilor topologice . Apoi, în a patra secțiune, vor fi date câteva alte exemple.

Pachetați hărți pe o bază comună

Să și să fie fascicule de fibre de peste un spațiu M . Apoi, o hartă de pachete de la E la F peste M este o hartă continuă astfel încât . Adică diagrama ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ colon E \ to M}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ colon F \ to M}$${\ displaystyle \ varphi \ colon E \ to F}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = \ pi _ {E}}$

ar trebui să facă naveta . În mod echivalent, pentru orice punct x din M , mapează fibra lui E peste x la fibra lui F peste x . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle E_ {x} = \ pi _ {E} ^ {- 1} (\ {x \})}$${\ displaystyle F_ {x} = \ pi _ {F} ^ {- 1} (\ {x \})}$

Morfisme generale ale fasciculelor de fibre

Fie π _E : E → M și π _F : F → N să fie pachete de fibre peste spațiile M și respectiv N. Atunci o hartă continuă se numește hartă de pachete de la E la F dacă există o hartă continuă f : M → N astfel încât diagrama ${\ displaystyle \ varphi: E \ to F}$

naveta, adică . Cu alte cuvinte, este de conservare din fibre , iar f este harta indusă pe spațiul de fibre E : deoarece π _E este surjectiv, f este unic determinată . Pentru un f dat , o astfel de hartă de pachete se spune că este o hartă de pachete care acoperă f . ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Relația dintre cele două noțiuni

Rezultă imediat din definițiile care o hartă pachet peste M (în primul sens) este același lucru ca și o hartă mănunchi care acoperă harta identitatea M .

În schimb, hărțile de pachete generale pot fi reduse la hărți de pachete pe un spațiu de bază fix, utilizând noțiunea de pachet de retragere . Dacă π _F : F → N este un pachet de fibre peste N și f : M → N este o hartă continuă, atunci retragerea lui F de f este un pachet de fibre f ^* F peste M a cărui fibră peste x este dată de ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )} . Atunci rezultă că o hartă pachet de la E la F care acoperă f este același lucru ca și o hartă pachet de la E la f ^* F peste M .

Variante și generalizări

Există două tipuri de variații ale noțiunii generale a unei hărți de pachete.

În primul rând, se pot lua în considerare pachete de fibre într-o categorie diferită de spații. Acest lucru duce, de exemplu, la noțiunea de hartă a fasciculului neted între fasciculele de fibre netede peste un colector neted .

În al doilea rând, se pot lua în considerare pachete de fibre cu o structură suplimentară în fibrele lor și se poate limita atenția asupra hărților de pachete care păstrează această structură. Acest lucru duce, de exemplu, la noțiunea de omomorfism (vector) de fascicule între fascicule vectoriale , în care fibrele sunt spații vectoriale, iar o hartă a fasciculului φ este necesară pentru a fi o hartă liniară pe fiecare fibră. În acest caz, o astfel de hartă a pachetului φ (care acoperă f ) poate fi privită și ca o secțiune a pachetului vectorial Hom ( E , f ^* F ) peste M , a cărui fibră peste x este spațiul vectorial Hom ( E _x , F _{f ( x )} ) (notat și L ( E _x , F _{f ( x )} )) al hărților liniare de la E _x la F _{f ( x )} .