Mapa balíčku - Bundle map

V matematiky , je mapa svazek (nebo svazek morfismus ) je morfismus v kategorii ze svazků vláken . Existují dva odlišné, ale úzce související pojmy mapa svazků, v závislosti na tom, zda dotyčné svazky vláken mají společný základní prostor . Existuje také několik variant základního tématu, podle toho, která kategorie svazků vláken je zvažována přesně. V prvních třech částech budeme uvažovat o obecných svazcích vláken v kategorii topologických prostorů . Ve čtvrté části pak uvedeme několik dalších příkladů.

Balíček map na společné základně

Nechť a být svazky vláken přes vesmírné M . Pak je mapa svazků z E do F nad M spojitá mapa taková . To je diagram ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ dvojtečka E \ na M}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ dvojtečka F \ až M}$${\ displaystyle \ varphi \ dvojtečka E \ až F}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = \ pi _ {E}}$

by měl dojíždět . Ekvivalentně pro jakýkoli bod x v M , mapuje vlákna z E přes x na vlákno z F přes x . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle E_ {x} = \ pi _ {E} ^ {- 1} (\ {x \})}$${\ displaystyle F_ {x} = \ pi _ {F} ^ {- 1} (\ {x \})}$

Obecné morfismy svazků vláken

Nechť n _E : E → M a π _F : F → N být svazky vláken přes prostory M a N , resp. Pak se spojitá mapa nazývá mapa svazků od E do F, pokud existuje spojitá mapa f : M → N taková, že diagram ${\ displaystyle \ varphi: E \ až F}$

dojíždí, tj . Jinými slovy, je vlákno-konzervování , a f je mapa indukovaný na prostoru vláken z E : od π _E surjective, f je jednoznačně určen . Pro dané f je taková mapa svazků označována jako mapa svazků pokrývající f . ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Vztah mezi těmito dvěma pojmy

Okamžitě vyplývá z definice, že svazek mapa přes M (v prvním smyslu), je totéž jako ve svazku mapě zahrnující mapy identity M .

Naopak, obecné mapy svazků lze redukovat na mapy svazků v pevném základním prostoru pomocí pojmu stahovaný svazek . Pokud π _F : F → N je svazek vláken přes N a f : M → N je kontinuální mapa, pak se stáhnout zpět z F o f je svazek vláken f ^* F přes M , jehož vlákna přes x je dána ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )} . Z toho pak vyplývá, že svazek mapa z E na F pokrývající f je totéž jako ve svazku mapy z E do f ^* F přes M .

Varianty a zevšeobecnění

Existují dva druhy variací obecného pojmu mapa svazků.

Nejprve lze zvážit svazky vláken v jiné kategorii prostorů. To vede například k představě mapy hladkého svazku mezi svazky hladkých vláken přes hladké potrubí .

Zadruhé lze uvažovat o svazcích vláken s extra strukturou ve vláknech a omezit pozornost na mapy svazků, které tuto strukturu zachovávají. To vede například k představě (vektorového) homomorfismu svazku mezi vektorovými svazky , ve kterých jsou vlákna vektorovými prostory, a je nutné, aby mapa svazku φ byla lineární mapa na každém vlákně. V takovém případě lze takovou mapu svazku φ (pokrývající f ) zobrazit také jako část vektorového svazku Hom ( E , f ^* F ) nad M , jehož vlákno nad x je vektorový prostor Hom ( E _x , F _{f ( x )} ) (také označovaný L ( E _x , F _{f ( x )} )) lineárních map od E _x do F _{f ( x )} .