Mappa bundle - Bundle map

In matematica , una mappa del fascio (o morfismo del fascio ) è un morfismo nella categoria dei fasci di fibre . Esistono due nozioni distinte, ma strettamente correlate, di mappa dei fasci, a seconda che i fasci di fibre in questione abbiano uno spazio di base comune . Esistono anche diverse variazioni sul tema di base, a seconda precisamente di quale categoria di fasci di fibre si sta prendendo in considerazione. Nelle prime tre sezioni considereremo i fasci di fibre generali nella categoria degli spazi topologici . Quindi nella quarta sezione verranno forniti altri esempi.

Raggruppa mappe su una base comune

Lasciare e essere fasci di fibre su uno spazio M . Quindi una mappa del fascio da E a F su M è una mappa continua tale che . Cioè, il diagramma ${\ Displaystyle \ pi _ {E} \ due punti E \ to M}$${\ Displaystyle \ pi _ {F} \ due punti F \ to M}$${\ displaystyle \ varphi \ due punti E \ a F}$${\ Displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = \ pi _ {E}}$

dovrebbe fare il pendolare . Equivalentemente, per ogni punto x in M , mappa la fibra di E su x alla fibra di F su x . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle E_ {x} = \ pi _ {E} ^ {- 1} (\ {x \})}$${\ displaystyle F_ {x} = \ pi _ {F} ^ {- 1} (\ {x \})}$

Morfismi generali dei fasci di fibre

Siano π _E : E → M e π _F : F → N fasci di fibre sugli spazi M e N rispettivamente. Quindi una mappa continua è chiamata mappa del fascio da E a F se esiste una mappa continua f : M → N tale che il diagramma ${\ displaystyle \ varphi: E \ to F}$

pendolari, cioè . In altre parole, è la conservazione delle fibre , e f è la mappa indotta sullo spazio delle fibre di E : poiché π _E è suriettiva, f è determinata in modo univoco da . Per una data f , si dice che tale mappa di fascio è una mappa di fascio che copre f . ${\ Displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Relazione tra le due nozioni

Risulta immediatamente dalle definizioni che una mappa fascio su M (nel primo senso) è la stessa cosa come mappa fascio che copre la mappa di identità M .

Al contrario, le mappe bundle generali possono essere ridotte a mappe bundle su uno spazio di base fisso utilizzando la nozione di bundle pullback . Se π _F : F → N è un fascio di fibre su N e f : M → N è una mappa continua, allora il pullback di F per f è un fascio di fibre f ^* F su M la cui fibra su x è data da ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )} . Ne consegue che una mappa fascio da E a F coprire f è la stessa cosa come mappa fascio da E a F ^* F su M .

Varianti e generalizzazioni

Esistono due tipi di variazione della nozione generale di bundle map.

Innanzitutto, si possono considerare i fasci di fibre in una diversa categoria di spazi. Ciò porta, ad esempio, alla nozione di una mappa del fascio liscia tra fasci di fibre lisce su un collettore liscio .

In secondo luogo, si possono considerare fasci di fibre con una struttura extra nelle loro fibre e limitare l'attenzione alle mappe dei fasci che preservano questa struttura. Ciò porta, ad esempio, alla nozione di un omomorfismo di fascio (vettoriale) tra fasci di vettori , in cui le fibre sono spazi vettoriali, e una mappa di fascio φ deve essere una mappa lineare su ciascuna fibra. In questo caso, tale mappa del fascio φ (che copre f ) può anche essere vista come una sezione del fascio vettoriale Hom ( E , f ^* F ) su M , la cui fibra su x è lo spazio vettoriale Hom ( E _x , F _{f ( x )} ) (indicato anche L ( E _x , F _{f ( x )} )) di mappe lineari da E _x a F _{f ( x )} .