Pakkekart - Bundle map

I matematikk , en bunt kart (eller bunt morphism ) er et morphism i den kategori av fiberbunter . Det er to forskjellige, men nært beslektede forestillinger om buntkart, avhengig av om de aktuelle fiberbuntene har et felles basisrom . Det er også flere variasjoner på grunntemaet, avhengig av nøyaktig hvilken kategori fiberbunter som er under vurdering. I de tre første seksjonene vil vi vurdere generelle fiberbunter i kategorien topologiske rom . Så i fjerde avsnitt vil noen andre eksempler bli gitt.

Pakk kart over en felles base

La og være fiberbunter enn en plass M . Da er et bunkkart fra E til F over M et kontinuerlig kart slik at . Det vil si diagrammet ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ kolon E \ til M}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ kolon F \ til M}$${\ displaystyle \ varphi \ colon E \ to F}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = \ pi _ {E}}$

skal pendle . Tilsvarende, for ethvert punkt x i M , kartlegger fiberen av E over x til fiberen av F over x . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle E_ {x} = \ pi _ {E} ^ {- 1} (\ {x \})}$${\ displaystyle F_ {x} = \ pi _ {F} ^ {- 1} (\ {x \})}$

Generelle morfier av fiberbunter

La π _E : E → M og π _F : F → N være fiberbunter over henholdsvis mellomrom M og N. Da kalles et kontinuerlig kart et buntkart fra E til F hvis det er et kontinuerlig kart f : M → N slik at diagrammet ${\ displaystyle \ varphi: E \ til F}$

pendler, det vil si . Med andre ord er fiberbevarende , og f er det induserte kartet på fiberrommet til E : siden π _E er surjektiv, bestemmes f unikt av . For en gitt f sies et slikt bunkkart å være et buntekart som dekker f . ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Forholdet mellom de to forestillingene

Det følger umiddelbart av definisjonene som en bunt kart over M (i den første forstand) er den samme som en bunt kart som dekker identitet kartet til M .

Omvendt kan generelle bunkkart reduseres til bunkkart over et fast basisområde ved å bruke forestillingen om en tilbaketrekksbunt . Hvis π _F : F → N er en fiberbunt over N og f : M → N er et kontinuerlig kart, så er tilbaketrekningen av F ved f en fiberbunt f ^* F over M hvis fiber over x er gitt av ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )} . Det følger da at en bunt kart fra E til F dekker f er den samme som en bunt kart fra E til F ^* F i løpet M .

Varianter og generaliseringer

Det er to typer variasjoner av den generelle forestillingen om et buntkart.

For det første kan man vurdere fiberbunter i en annen kategori av rom. Dette fører for eksempel til forestillingen om et glatt buntkart mellom glatte fiberbunter over et glatt manifold .

For det andre kan man vurdere fiberbunter med ekstra struktur i fibrene, og begrense oppmerksomheten til buntkart som bevarer denne strukturen. Dette fører for eksempel til forestillingen om en (vektor) bunthomomorfisme mellom vektorbunter , der fibrene er vektorrom, og et buntkart φ kreves for å være et lineært kart på hver fiber. I dette tilfellet kan et slikt bunkkart φ (som dekker f ) også sees på som et snitt av vektorknippet Hom ( E , f ^* F ) over M , hvis fiber over x er vektorrommet Hom ( E _x , F _{f ( x )} ) (også betegnet L ( E _x , F _{f ( x )} )) av lineære kart fra E _x til F _{f ( x )} .