Bundkort - Bundle map

I matematik , et bundt kort (eller bundt morphism ) er en morphism i kategorien af fiberbundter . Der er to forskellige, men nært beslægtede forestillinger om bundtkort, afhængigt af om de pågældende fiberbundter har et fælles basisrum . Der er også flere variationer på det grundlæggende tema, afhængigt af præcis hvilken kategori fiberbundter der overvejes. I de første tre sektioner vil vi overveje generelle fiberbundter i kategorien topologiske rum . Så i det fjerde afsnit vil der blive givet nogle andre eksempler.

Bundt kort over en fælles base

Lad og være fiber bundter over en plads M . Derefter er et bundkort fra E til F over M et kontinuerligt kort, således at . Det vil sige diagrammet ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ kolon E \ til M}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ kolon F \ til M}$${\ displaystyle \ varphi \ colon E \ til F}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = \ pi _ {E}}$

skulle pendle . Ækvivalent, for ethvert punkt x i M , kortlægger fiberen af E løbet x til fiberen af F løbet x . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle E_ {x} = \ pi _ {E} ^ {- 1} (\ {x \})}$${\ displaystyle F_ {x} = \ pi _ {F} ^ {- 1} (\ {x \})}$

Generelle morfier af fiberbundter

Lad π _E : E → M og π _F : F → N være fiberbundter end rum M og N respektivt. Derefter kaldes et kontinuerligt kort et bundkort fra E til F, hvis der er et kontinuerligt kort f : M → N, således at diagrammet ${\ displaystyle \ varphi: E \ til F}$

pendler, det vil sige . Med andre ord er det fiberbevarende , og f er det inducerede kort på fibrene i E : da π _E er surjektiv, bestemmes f entydigt af . For en given f siges et sådant bundkort at være et bundkort, der dækker f . ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Forholdet mellem de to forestillinger

Det følger straks af definitionerne, at et bundkort over M (i første forstand) er det samme som et bundkort, der dækker M 's identitetskort .

Omvendt kan generelle bundtekort reduceres til bundtekort over et fast basisrum ved hjælp af begrebet pullback-bundt . Hvis π _F : F → N er et fiberbundt over N og f : M → N er et kontinuerligt kort, så er tilbagetrækningen af F ved f et fiberbundt f ^* F over M, hvis fiber over x er givet ved ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )} . Heraf følger da, at et bundt kort fra E til F , der dækker f er det samme som et bundt kort fra E til f ^* F løbet M .

Varianter og generaliseringer

Der er to slags variationer af den generelle opfattelse af et bundkort.

For det første kan man overveje fiberbundter i en anden kategori af rum. Dette fører for eksempel til forestillingen om et glat bundtkort mellem glatte fiberbundter over en glat manifold .

For det andet kan man overveje fiberbundter med ekstra struktur i deres fibre og begrænse opmærksomheden på bundtekort, der bevarer denne struktur. Dette fører for eksempel til forestillingen om en (vektor) bundthomomorfisme mellem vektorbundter , hvor fibrene er vektorrum, og et bundtekort φ kræves for at være et lineært kort på hver fiber. I dette tilfælde kan et sådant bundtkort φ (dækker f ) også ses som et afsnit af vektorknippet Hom ( E , f ^* F ) over M , hvis fiber over x er vektorrummet Hom ( E _x , F _{f ( x )} ) (også betegnet L ( E _x , F _{f ( x )} )) af lineære kort fra E _x til F _{f ( x )} .