Wiosna

sprężyny naciągowe

Sprężyna piórowa (sprężyna pracująca w zginaniu) zawieszenia modelu Skoda

Sprężyna ​ (lub sprężyna ​) jest znana jako elastyczny element zdolny do magazynowania energii i uwalniania jej bez ulegania trwałemu odkształceniu, gdy siły lub naprężenia, którym jest poddawana, ustają. Produkowane są w szerokiej gamie kształtów i wymiarów z bardzo różnorodnych materiałów, takich jak stal węglowa , stal nierdzewna , stal chromowo - krzemowa , chromowo- wanadowa , brąz czy tworzywa sztuczne; materiały o właściwościach elastycznych .

Mają wiele zastosowań we wszelkiego rodzaju produktach codziennego użytku, w narzędziach i maszynach, czy w różnego rodzaju urządzeniach mechanicznych (takich jak zawieszenia pojazdów ). Jego przeznaczenie jest często dostosowane do sytuacji, w których wymagane jest przyłożenie siły i oddanie jej w postaci energii. Są one zawsze zaprojektowane tak, aby wytrzymać lub amortyzować zewnętrzne naprężenia.

Historia

Certosa fibula , kultura La Tène (u góry); i broszka ze starożytnego Rzymu (poniżej)

Zastosowanie elastycznych materiałów o prostych kształtach, takich jak drewniane łuki używane do wystrzeliwania strzał, ma swoje początki w czasach prehistorycznych, a przykłady znaleziono sprzed ponad 60 000 lat. W epoce brązu w wielu kulturach istniały już bardziej złożone typy sprężyn, które były częścią prostych narzędzi, takich jak fibule używane do spinania odzieży, lub pęsety do przenoszenia małych przedmiotów. Ktezybiusz z Aleksandrii wykonał stopy brązu z wyższą zawartością cyny w celu uzyskania sprężyn o specjalnych właściwościach sprężystych utwardzając materiał przez kucie po jego odlaniu.

Sprężyny zwojowe z blachy są używane jako magazyny energii do napędzania zegarów od początku XV wieku, pojawiając się w zegarkach kieszonkowych na początku XVI wieku. Spiralna sprężyna będąca częścią wagi regulacyjnej wynalezionej przez Christiaana Huygensa została wprowadzona po raz pierwszy w zegarku kieszonkowym Salomona Costera w 1673 r . ]

W 1676 r. brytyjski fizyk Robert Hooke sformułował swoje dobrze znane prawo sprężystości , które modeluje zachowanie sprężyn: odkształcenie sprężyny jest proporcjonalne do przyłożonej do niej siły.

Wraz z pojawieniem się kolei w pierwszych dekadach XIX wieku, zbiegającym się z postępem metalurgii i rozwojem pierwszych obrabiarek, produkcja sprężyn przestała być procesem rzemieślniczym (tak, że każdy rusznikarz, ślusarz, zegarmistrz lub kowal samodzielnie zbudował sprężyny, których potrzebował, aby produkowane przez siebie przedmioty stały się procesem przemysłowym, produkując masowo tysiące znormalizowanych sprężyn , które były częścią wszelkiego rodzaju masowo produkowanych maszyn (takich jak zegarki, szycie, krosna, wszelkiego rodzaju broni, silników spalinowych, samochodów, motocykli, mebli, materacy czy sprzętu AGD). Od tego czasu sprężyny stanowią zasadniczą część wszelkiego rodzaju mniej lub bardziej skomplikowanych przyborów (od prostej agrafki , po zawieszenie lokomotywy ważącej ponad sto ton), a gama typów została poszerzona. dostępne, produkowane ze wszystkich rodzajów materiałów (od klasycznych stopów metali po specjalne mieszanki tworzyw sztucznych).

Rodzaje

Sprężyna płaska – zawieszenie na resorach piórowych ciężarówki

Sprężyna śrubowa – Sprężyna regulacyjna w budziku

Sprężyna spiralna : różne typy

Drążek skrętny : skręcony element pryzmatyczny

Klip : różne typy

kompresyjna sprężyna wyboczeniowa

Sprężyna spiralna . Pod wpływem kompresji zwinięty arkusz ślizga się sam w sobie, zwiększając jego użyteczną ścieżkę

Pionowa sprężyna spiralna głównego czołgu bojowego M3 Stuart

Sprężyny naciągowe urządzenia pogłosowego

Fleksometr, wyposażony w sprężynę ustalającą

Podkładka falista lub „ marcelada ”

sprężyna skrętna

stożkowe sprężyny dociskowe

Sprężyny można klasyfikować na różne sposoby, w zależności od ich kształtu, sposobu przyłożenia obciążeń, reakcji na nie, procesu produkcji lub przeznaczenia:

Zgodnie z jego kształtem:

• Sprężyny płaskie – formowane z blach płaskich; Jednym z najbardziej znanych przykładów tego typu resorów są resory piórowe stosowane w zawieszeniach wielu pojazdów.
• Sprężyny spiralne : powstają przez nawijanie na siebie długiego metalowego paska, którego średnica rośnie wraz ze wzrostem liczby zwojów, ale którego wysokość (zgodna z szerokością paska) pozostaje stała. Stosowane są w klasycznych zegarkach z naciągiem mechanicznym . Łączą one cechy z innymi rodzajami sprężyn, ponieważ chociaż są one napinane przez nawijanie przez obracanie wokół osi (takie jak drążki skrętne), w rzeczywistości działają poprzez zginanie (takie jak sprężyny naciągowe i/lub ściskane).
• Sprężyny śrubowe : są to najczęstsze sprężyny. Składają się ze zwojów drutu, które tworzą spiralę nawiniętą wokół cylindra (lub innej formy obrotu). Pracują, zmieniając separację między swoimi turami.
• Drążki skrętne : są to pryzmatyczne elementy z elastycznego materiału, zdolne do uzyskania odwracalnego skręcania po przyłożeniu do nich momentu obrotowego. Stosowany w wielu typach zawieszeń pojazdów.
• Klipsy : są to elementy, których kształt nie odpowiada żadnemu z trzech poprzednich wzorów, chociaż mogą łączyć elastyczne zachowanie niektórych z nich. Klasycznym przykładem są elastyczne klipsy służące do mocowania szyn kolejowych. Istnieje również duża liczba sprężyn, które nie mają wspólnych kształtów; być może najbardziej znana jest podkładka Grower .

W zależności od tego, jak przyłożona jest do nich siła obciążenia:

• Sprężyna zginająca : obciążenie prostopadłe do największego wymiaru elementu sprężystego (zwykle płaskiego) jest absorbowane przez zginanie sprężyny, która powraca do swojego pierwotnego kształtu po ustaniu przyłożonej siły. Jest to charakterystyczny sposób pracy resorów piórowych stosowanych w zawieszeniu różnych pojazdów.
• Sprężyna naciągowa – jest zaprojektowana do pracy z obciążeniem rozciągającym , więc sprężyna rozciąga się pod wpływem obciążenia. Sprężyny te wspierają wyłącznie siły ciągnące i charakteryzują się hakiem na każdym ze swoich końców, w różnych stylach: angielskim, niemieckim, katalońskim, obrotowym, otwartym, zamkniętym lub podwójnym. Te haki umożliwiają montaż sprężyn naciągowych w różnych pozycjach.
• Sprężyna ściskana — jest zaprojektowana do pracy z obciążeniem ściskającym, więc sprężyna skraca się po przyłożeniu do niej obciążenia. Mogą być cylindryczne, stożkowe, dwustożkowe, o stałym lub zmiennym skoku.
• Sprężyna skrętna – W przeciwieństwie do poprzednich typów, w których obciążeniem jest siła osiowa, obciążenie przyłożone do sprężyny skrętowej jest momentem obrotowym lub siłą skręcającą, a koniec sprężyny obraca się podczas przykładania obciążenia.
• Inne : istnieją sprężyny, które mogą działać zarówno przy rozciąganiu, jak i ściskaniu, a nawet skręcaniu.

W zależności od tego, jak reagują na obciążenie:

• Sprężyna stała : zapewnia stały opór, odkształcając się równomiernie, gdy przyłożona jest do niej stała siła. Łączą one zakrzywioną sprężynę śrubową i ramię dźwigni, którego długość zmienia się w zależności od przykładanego obciążenia. ]
• Sprężyna zmienna : zaprojektowane do przenoszenia obciążeń i umożliwiające ruch, są to sprężyny śrubowe, których opór zmienia się wraz ze stopniem ściskania. ]
• Sprężyna o regulowanej sztywności : jej wytrzymałość na obciążenia może być dynamicznie zmieniana za pomocą systemu sterowania. Niektóre typy tych sprężyn pozwalają na regulację ich długości, z możliwością aktywacji innych mechanizmów. ]
• Wyboczenie sprężyny – Specjalny rodzaj sprężyny naciskowej stosowanej w klawiaturach komputerowych, która wykorzystuje nagłe „załamanie” wyrównania sprężyny po przekroczeniu określonego ciśnienia w celu dostarczenia pojedynczego impulsu elektrycznego.

Według jego produkcji:

• Sprężyna płaska – wykonana z płaskich blach ze stali sprężynowej .
• Sprężyna zwijana : metalowy drut lub pręt owinięty wokół figury obrotowej (cylindra, stożka, hiperboloidy...), tworząc spiralę.
• Sprężyna zmechanizowana : oparta na obróbce prętów stalowych metodą toczenia i/lub frezowania, zamiast operacji nawijania. Mogą zawierać specjalne konfiguracje oprócz elementu elastycznego i są odpowiednie do przypadków ściskania/rozciągania lub skręcania.
• Sprężyna serpentynowa – Zygzak z grubego drutu, często stosowany w tapicerce i nowoczesnych meblach.
• Sprężyna pierścieniowa – stalowa sprężyna śrubowa, której dwa końce są połączone w pierścień .

Najczęściej używane typy: :

• Sprężyna wspornikowa – sprężyna zamocowana tylko na jednym końcu (jak na przykład dźwignie używane w skokach na trampolinie).
• Sprężyna śrubowa : jest to sprężyna (wykonana przez nawinięcie drutu na cylinder), zwykle trzech typów:
  • Sprężyny naciągowe zaprojektowane tak, aby wydłużały się pod wpływem obciążenia. Ich zwoje normalnie stykają się ze sobą w pozycji rozładowanej i mają na każdym końcu hak, oczko lub inny sposób mocowania.
  • Sprężyny naciskowe , przeznaczone do skracania pod obciążeniem. Ich cewki nie stykają się w pozycji nieobciążonej i nie wymagają punktów mocowania.
  • Sprężyny z pustymi rurkami mogą być sprężynami naciągowymi lub sprężynami ściskanymi. Wydrążona rura jest wypełniona olejem, którego ciśnienie hydrostatyczne jest kontrolowane przez membranę lub miniaturowy tłok, dzięki czemu sprężyna usztywnia się lub rozluźnia, podobnie jak ciśnienie wody w wężu ogrodowym. Alternatywnie przekrój rury jest tak dobrany, że jego powierzchnia zmienia się, gdy rura jest poddawana odkształceniu skrętnemu. Zmiana pola przekroju poprzecznego przekłada się na zmianę objętości wewnętrznej rurki, a przepływ oleju do/z sprężyny można regulować zaworem, regulując w ten sposób jej sztywność. Istnieje wiele takich konstrukcji, które mogą zmieniać sztywność z dowolną żądaną częstotliwością, umożliwiając modyfikowanie właściwości sprężyny.
• Sprężyna spiralna – spiralna sprężyna ściskana w kształcie stożka , dzięki której pod ściskaniem cewki nie stykają się ze sobą, co pozwala na dłuższy skok.
• Sprężyna regulacyjna – Delikatna sprężyna spiralna stosowana w zegarach , galwanometrach i mechanizmach, w których energia elektryczna musi być doprowadzona do częściowo obracających się urządzeń, takich jak kierownica , bez utrudniania obrotu.
• Zawieszenie na resorach piórowych – resor piórowy stosowany w zawieszeniach pojazdów , przełącznikach elektrycznych i łukach .
• V-sprężyna – stosowana w starych mechanizmach broni palnej , takich jak zamek kołowy . Stosowany również na prostszych tradycyjnych zatrzaskach do drzwi. ]

Inne rodzaje:

• Sprężyna Belleville – sprężyna w kształcie dysku powszechnie stosowana do napinania zamka (a także w spustu uruchamianego ciśnieniem w minach przeciwpiechotnych ).
• Sprężyna o stałej sile — ciasno nawinięta elastyczna opaska, która podczas rozwijania wywiera prawie stałą siłę.
• Sprężyna gazowa – objętość sprężonego gazu.
• Sprężyna mocy – Sprężyna w kształcie zwiniętej wstążki używana jako źródło zasilania do napędzania mechanizmów zegarowych używanych w zegarach , pozytywkach lub zabawkach nakręcanych .
• Sprężyna z kratką : utworzona przez cienką metalową taśmę lekko wklęsłą w ​​przekroju. Po zwinięciu przyjmuje płaski przekrój, ale po rozwinięciu powraca do poprzedniego zakrzywienia, wytwarzając w ten sposób stałą siłę przez cały przesuw, blokując tendencję do przewijania. Najczęstszym zastosowaniem są taśmy miernicze stalowe . ]
• Sprężyny śrubowe o progresywnym tempie – Sprężyna śrubowa o zmiennym obciążeniu, zwykle osiągana przez nierówny luz , tak że gdy sprężyna jest ściśnięta, jedna lub więcej zwojów opiera się o sąsiednie cewki.
• Gumka – gdzie energia jest magazynowana przez rozciąganie materiału.
• Podkładka sprężysta – służy do przykładania stałej siły ciągnącej na osi kotwy .
• Sprężyna skrętna – dowolna sprężyna zaprojektowana tak, aby była skręcana, a nie ściskana lub rozciągana. Stosowany w układach zawieszenia pojazdów, takich jak drążki skrętne .
• Wave Spring - Dowolna z wielu sprężyn, podkładek i ekspanderów w kształcie fali, zwykle wykonanych z płaskiego drutu lub dysków, które są marcelowane w kategoriach przemysłowych, zwykle przez wykrawanie, otrzymując regularny wzór fali. Istnieją również sprężyny faliste z drutu okrągłego. Typy obejmują podkładki faliste, sprężyny faliste jednoobrotowe, sprężyny faliste wieloobrotowe, sprężyny faliste liniowe, ekspandery Marcela, sprężyny faliste blokujące i sprężyny faliste zagnieżdżone.

Model teoretyczny:

• Idealna sprężyna – Teoretyczna sprężyna stosowana w fizyce, która nie ma masy, masy ani strat tłumienia. Siła wywierana przez sprężynę jest proporcjonalna do odległości, na jaką sprężyna jest rozciągana lub ściskana ze swojego położenia rozluźnionego. ]

Używa

• Pojazdy : zawieszenia cewek , zawieszenie na resorach piórowych , drążki skrętne
• Zegarki – Sprężyna regulacyjna w zegarkach mechanicznych i paski sprężynowe do mocowania bransoletek i zapięć
• agrafki
• Biżuteria : mechanizmy zamykające
• Mechanizmy ryglujące – rozpoznawanie kluczy i koordynacja ruchów różnych części zamka
• Tace mechaniczne: odtwarzacze CD , magnetofony
• Długopisy
• materace sprężynowe
• Slinky , zabawkowa sprężyna
• Elastyczne łóżko
• skakanie pogo
• Pogłos
• Klawiatury ze sprężynami wyboczeniowymi
• sprężyny tapicerskie
• Zabawki
• Edukacja
• wiatrówki
• Broń palna
• Pogłos na organach elektronicznych
• Olinowanie cumownicze łodzi

Fizyka wiosny

Teoria

W fizyce klasycznej sprężyna może być postrzegana jako urządzenie przechowujące energię potencjalną , w szczególności energię odkształcenia , poprzez naprężanie wiązań między atomami w elastycznym materiale .

Prawo sprężystości Hooke'a mówi, że wydłużenie pręta sprężystego (jego długość w rozciągnięciu minus długość w stanie spoczynku) jest liniowo proporcjonalne do jego naprężenia , siły przyłożonej do jego rozciągnięcia. Podobnie skurcz (ujemne wydłużenie) jest proporcjonalne do kompresji (ujemne napięcie).

To prawo naprawdę ma zastosowanie tylko w przybliżeniu i tylko wtedy, gdy odkształcenie (rozciągnięcie lub skurcz) jest małe w porównaniu z całkowitą długością pręta. W przypadku odkształceń wykraczających poza granicę sprężystości wiązania atomowe pękają lub zmieniają się, a sprężyna może pękać, wyginać się lub trwale odkształcać. Wiele materiałów nie ma jasno określonej granicy sprężystości i prawo Hooke'a nie może być sensownie zastosowane do tych materiałów. Również w przypadku materiałów superelastycznych liniowa zależność między siłą a przemieszczeniem jest odpowiednia tylko w obszarze niskich naprężeń.

Prawo Hooke'a jest matematyczną konsekwencją faktu, że energia potencjalna pręta jest minimalna, gdy jego długość jest rozluźniona. Każda nieskończenie różniczkowalna funkcja jednej zmiennej aproksymuje funkcję kwadratową, gdy jest badana wystarczająco blisko jej punktu minimum, co można zobaczyć badając wyrazy szeregu Taylora . Dlatego siła będąca pochodną energii po przemieszczeniu jest aproksymacją funkcji liniowej .

Siła całkowicie ściśniętej sprężyny przybiera postać

${\ Displaystyle F_ {max} = {\ Frac {Ed ^ {4} (L-nd)} {16 (1+ \ nu) (DD) ^ {3}n}} \}$

Symbol	Nazwa
$ORAZ$	Moduł Younga
$\gnu$	Współczynnik Poissona
$n$	Liczba aktywnych pętli
$D$	Średnica zewnętrzna sprężyny
$d$	Średnica drutu sprężynowego
$L$	długość bez sprężyny

Sprężyny o zerowej długości

Sprężyna o zerowej długości to określenie specjalnie zaprojektowanej sprężyny śrubowej, która wywierałaby zerową siłę, gdyby miała zerową długość. Gdyby nie było ograniczenia ze względu na skończoną średnicę drutu takiej sprężyny śrubowej, miałaby ona zerową długość w stanie nierozciągniętym. Oznacza to, że na wykresie liniowym siły sprężyny w funkcji jej długości linia przechodziłaby przez początek. Oczywiście sprężyna śrubowa nie może kurczyć się do zerowej długości, ponieważ w pewnym momencie cewki stykają się ze sobą i sprężyna nie może się już skracać. Sprężyny o zerowej długości są wykonane przy użyciu sprężyny śrubowej z wbudowanym naciągiem (skręt wprowadzany jest do drutu podczas nawijania podczas produkcji, co działa, ponieważ sprężyna śrubowa „odwija ​​się” podczas rozciągania), więc może się skurczyć nawet więcej, więc punkt równowagi sprężyny, punkt, w którym jej siła przywracająca wynosi zero, występuje na zerowej długości. W praktyce sprężyny o zerowej długości są tworzone przez połączenie sprężyny o ujemnej długości , wykonanej z jeszcze większym naprężeniem, tak aby jej punkt równowagi miał „ujemną” długość, z kawałkiem nieelastycznego materiału o odpowiedniej długości, aby punkt zerowy siła znajduje się na zerowej długości.

Sprężyna o zerowej długości może być przymocowana do masy w ramieniu łącznikowym w taki sposób, że siła działająca na ciężarek jest prawie dokładnie zrównoważona przez pionową składową siły sprężyny, niezależnie od położenia ramienia. Tworzy to poziome „wahadło” o bardzo długim okresie oscylacji. Wahadła te pozwalają sejsmografom wykryć wolniejsze fale trzęsień ziemi. Zawieszenie LaCoste ze sprężynami o zerowej długości jest również stosowane w grawimetrach , ponieważ jest bardzo wrażliwe na zmiany grawitacji. Sprężyny zamykające drzwi mają często długość zerową, więc wywierają siłę nawet wtedy, gdy drzwi są prawie zamknięte, dzięki czemu mogą je mocno trzymać.

Energia odkształcenia

Najprostszym sposobem analizy fizycznej sprężyny jest wykorzystanie jej globalnego idealnego modelu i założenie, że jest ona zgodna z prawem Hooke'a . w ten sposób ustala równanie sprężyny, w którym wywierana na nią siła F jest powiązana z wytwarzanym wydłużeniem/skurczem lub wydłużeniem „x”, w następujący sposób:

$F=-kx\,$, istnienie    ${\ Displaystyle k = {\ Frac {AE} {L}}}$

$F=-kx\$

Symbol	Nazwa
$k$	Stała sprężystości sprężyny
$x$	Wydłużenie (wytworzone wydłużenie)
$A$	Sekcja wyimaginowanego cylindra otaczającego sprężynę
$ORAZ$	Moduł sprężystości sprężyny (nie mylić z modułem sprężystości materiału)

Energia odkształcenia lub energia potencjalna sprężystości związana z rozciąganiem lub skracaniem sprężyny liniowej jest dana przez całkowanie pracy wykonanej dla każdej nieskończenie małej zmiany jej długości:${\ Displaystyle U_ {k}}$$dx\,$

${\ Displaystyle U_ {k} = - \ int {0} ^ {x} F (x) \ dx = - \ int {0} ^ {x} -k (x) x \ dx \ = {\ Frac {1 }{2}}kx^{2}}$

Jeżeli sprężyna nie jest liniowa to sztywność sprężyny zależy od jej odkształcenia i w tym przypadku mamy nieco bardziej ogólny wzór:

${\ Displaystyle U_ {k} = \ int {0} ^ {x} k (x) \ cdot x \ dx}$

Równanie różniczkowe i równanie falowe

Zdefiniujemy teraz stałą wewnętrzną sprężyny niezależną od jej długości iw ten sposób ustalimy konstytutywne prawo różniczkowe sprężyny. Mnożąc przez całkowitą długość i nazywając produkt ok samoistnym, otrzymujemy: $k$$k_{i}$

${\ Displaystyle k_ {i} = AE \,}$    gdzie   ${\ Displaystyle k = {\ Frac {k_ {i}} {L}}}$

Naprężenie w odcinku sprężyny znajdującej się w pewnej odległości od jednego z jej końców, który uznamy za stały i który przyjmiemy jako początek współrzędnych, będziemy nazywać stałą o małej długości sprężyny w tej samej odległości i wydłużenie tego małego kawałka pod działaniem siły . Zgodnie z prawem pełnej wiosny: $F(x)\,$$x\,$$k_{\delta x}$$\Delta x\,$$\delta​​\delta x}\,$$F(x)\,$

${\ Displaystyle F (x) = - k_ {\ delta x} \ delta​​ \ delta x} = k_ {i} {\ frac {\ delta​​ \ delta x}} {\ delta x}}}$

Biorąc limit:

${\ Displaystyle F (x) = - k_ {i} {\ Frac {{\ delta} _ {dx}} {dx}}}$

co na zasadzie superpozycji skutkuje:

${\ Displaystyle F \ lewo (x \ prawo) = - k_ {i} {\ Frac {d {\ delta}} {dx}} = - AE {\ Frac {d \ delta} {dx}}}$

Jeśli przyjmiemy również, że zarówno przekrój, jak i moduł sprężystości mogą się zmieniać wraz z odległością od początku, równanie to:

${\ Displaystyle F \ lewo (x \ po prawej) = - k_ {i} \ po lewej (x \ po prawej) {\ Frac {d {\ delta}} {dx}} = - A \ po lewej (x \ po prawej) E \ lewo(x\prawo){\frac {d\delta }{dx}}}$

Jakie jest pełne równanie różniczkowe sprężyny. Jeżeli jest on całkowany dla wszystkich x, w rezultacie otrzymuje się wartość całkowitego wydłużenia jednostkowego. F(x) można zwykle uznać za stałą i równą całkowitej przyłożonej sile. Gdy F(x) nie jest stałe i jego bezwładność jest uwzględniona w rozumowaniu, osiągane jest jednowymiarowe równanie falowe opisujące zjawiska falowe.

Załóżmy dla uproszczenia, że ​​zarówno przekrój sprężyny, jak i jej gęstość (rozumiana jako masa odcinka sprężyny podzielona przez objętość otaczającego wyobrażonego cylindra) oraz jej moduł sprężystości są stałe w całej sprężynie i że sprężyna jest cylindryczna. Nazwijmy przemieszczenie sekcji sprężyny. Teraz weźmy różnicowy odcinek sprężyny o długości (dx). Masę tej porcji wyrażą: ${\ Displaystyle \ psi \ lewy (x \ prawy)}$

$dm=\rho adx$

Stosując drugie prawo Newtona do tej sekcji:

${\ Displaystyle F \ lewo (x \ prawy) - F (x + dx) \ lewo (x \ prawy) = - dm {\ Frac {{\ częściowy} ^ {2} \ psi {{\ częściowy t} ^ {2}}}=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}}$

Mianowicie:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy F} {\ częściowy x}} dx = - \ rho Adx {\ Frac {{\ częściowy} ^ {2} \ psi {{\ częściowy t} ^ {2}}} \rightarrow {\frac {\partial F}{\partial x}}=-\rho A{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\częściowy t}^{2}}}}$

Z drugiej strony łatwo to wywnioskować

${\ Displaystyle d \ delta = \ psi \ lewy (x + dx \ prawy) - \ psi \ lewy (x \ prawy) = {\ Frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy x}} dx}$

Wprowadzając zatem to wyrażenie do wydedukowanego wcześniej równania różniczkowego sprężyny, dochodzimy do:

${\ Displaystyle F \ lewo (x \ prawo) = - AE {\ Frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy d}}}$

Różniczkując to wyrażenie względem x, otrzymujemy:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy F} {\ częściowy x}} = - AE {\ Frac {{\ częściowy} ^ {2} \ psi {{\ częściowy x} ^ {2}}}}$

Łącząc wyrażenie czasowe z wyrażeniem przestrzennym, ostatecznie wyprowadza się ogólne równanie sprężyny cylindrycznej o stałym przekroju, gęstości i sprężystości, które dokładnie pokrywa się z równaniem fali podłużnej :

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ częściowy} ^ {2} \ psi \ lewo (x, t \ prawo)} {{\ częściowy t} ^ {2}}} = {\ Frac {E} {\ rho} }\times {\frac {{\częściowy }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\częściowy x}^{2}}}}$

Z którego wyprowadza się prędkość propagacji zakłóceń w idealnym molo jako:

$c={\sqrt {\frac {e}{\rho}}}$

Sprężyna z zawieszoną masą

W przypadku sprężyny z zawieszoną masą,

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} F = - kx \ \ Strzałka w prawo \ m {\ cfrac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - kx \ \ {\ cfrac {dx (0) }{dt}}=v_{0}\end{przypadki}}}$

Czyje rozwiązanie polega na tym, że masa wykonuje prosty ruch harmoniczny o amplitudzie i częstotliwości kątowej . Rozróżnianie i zastępowanie: $x=(v_{0}/\omega)\sin {\omega t}$ $A_{0}=v_{0}/\omega$ $\omega$

${\ Displaystyle \ \ Displaystyle - \ omega 2}{\ Frac {v_{0}} {\ omega}} \ sin \ omega t = - {\ Frac {k} {m}} {\ Frac {v_ { 0} }{\omega}}\sin \omega t}$

Uproszczenie:

$\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Równanie to wiąże częstotliwość drgań własnych ze sztywnością sprężyny i masą sprężyny.

Sprężyna o zmiennej gęstości

Dla sprężyny o zmiennej gęstości, zmiennym module sprężystości i zmiennym przekroju płaszcza uogólnione równanie zaburzenia ma postać:

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ częściowy} ^ {2} \ psi \ lewo (x, t \ prawy)} {{\ częściowy t} ^ {2}}} = {\ Frac {1} {\ rho \ left(x\right)}}\left[{\frac {\częściowe A\left(x\right)}{\częściowe x}}{\frac {E\left(x\right)}{A\left( x\right)}}+{\frac {\partial E\left(x\right)}{\partial x}}\right]{\frac {\partial \Psi \left(x,t\right)}{ \partial x}}+{\frac {E\left(x\right)}{\rho \left(x\right)}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x, t\prawo)}{{\częściowy x}^{2}}}}$

W źródle o takiej charakterystyce poruszająca się fala zmieniałaby swoją prędkość, a tym samym długość fali po drodze. Ponadto w niektórych obszarach nabrzeża jego amplituda byłaby większa niż w innych, czyli rozwiązanie zależy od trzech dowolnych funkcji:

${\ Displaystyle \ psi (x, t) = A_ {0} (x) {\ Frac {f (x + c (x) t) + f (xc (x) t)} {2}}}$

W analizie sprężyny rzeczywistej pojawiają się również fale podłużne, poprzeczne i skręcane wzdłuż i w poprzek zwojów, które rozchodzą się z prędkością zależną od pierwiastka kwadratowego modułu sprężystości E materiału dla podłużnych modułu sprężystości poprzecznej G materiału dla poprzecznych i modułu skręcania pętli dla skrętnych, wszystkie podzielone przez gęstość materiału.

Rozwiązania równania falowego na sprężynie

Rozwiązanie sinusoidalnych warunków początkowych

Poniżej opisano ogólne rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego uproszczonej sprężyny o nieskończonej długości . Biorąc pod uwagę warunki początkowe:

${\ Displaystyle \ psi (x, 0) = f (x) \,}$

${\ Displaystyle {\ psi} _ {t} (x, 0) = g (x) \,}$

gdzie , rozwiązanie funkcji D'Alemberta równania falowego można zapisać jako: ${\ Displaystyle {\ psi} _ {t} = {\ Frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy t}} \,}$

${\ Displaystyle \ psi (x, t) = {\ Frac {f (x-ct) + f (x + ct)} {2}} + {\ Frac {1} {2c}} \ int​ X- ct}^{x+ct}g(s)ds}$

Takie rozwiązanie dopuszcza, że ​​F i G mogą być dowolną klasą funkcji ciągłych i kiedy . ${\ Displaystyle \ scriptstyle f (x) \ w C ^ {k}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle g (x) \ w C ^ {k-1}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle u (t, x) \ w C ^ {k}}$

---

W przypadku sprężyny o skończonej długości L z zakotwiczonymi końcami problem staje się problemem brzegowym, który można rozwiązać przez oddzielenie zmiennych za pomocą teorii Sturma-Liouville'a . Dane warunki początkowe opisane powyżej oraz warunki brzegowe ustalonych ekstremów. Warunki początkowe można rozszerzyć do szeregu Fouriera w następujący sposób:

${\ Displaystyle f \ lewo (x \ po prawej) = \ suma n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ grzech {\ lewo ({\ Frac {n \ pi x} {L}} \ po prawej )}}$

${\ Displaystyle g \ lewo (x \ prawo) = \ suma n = 1} ^ {\ infty} B_ {n} {\ Frac {cn \ pi} {L}} \ grzech {\ lewo ({\ Frac {n\pi x}{L}}\prawo)}}$

Gdzie współczynniki Fouriera uzyskuje się po scałkowaniu funkcji f i g w następujący sposób:

${\ Displaystyle A_ {n} = {\ Frac {2} {L}} \ int {0} ^ {L} f \ lewo (x \ prawo) \ grzech {\ lewo ({\ Frac {n \ pi x} {L}}\prawo)}dx}$

${\ Displaystyle B_ {n} = {\ Frac {2} {n \ pi c}} \ int {0} ^ {L} g \ lewo (x \ prawo) \ grzech {\ lewo ({\ Frac {n \ pi x}{L}}\prawo)}dx}$

dla$n=1,2,...$

Rozwiązanie tego problemu jest napisane w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ psi (x, t) = \ suma n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ grzech {\ lewo ({\ Frac {n \ pi x} {L}} \ po prawej) }\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}+\sum​​n=1}^{\infty }B_{n}\sin {\left({\ frac {n\pi x}{L}}\po prawej)}\cos {\po lewej({\frac {cn\pi t}{L}}\po prawej)}}$

Zobacz także

• Prawo sprężystości Hooke'a
• moduł sprężystości

Linki zewnętrzne

• Wikimedia Commons prowadzi galerię mediów na sprężynach .
• Instytut Technologii Sprężyn
• Instytut Producentów Sprężyn
• (w języku angielskim) maszyna do produkcji sprężyn