Molla

molle di tensione

Balestra (molla che lavora in flessione) della sospensione di un modello Skoda

Una molla ​ (o molla ​) è conosciuta come un elemento elastico in grado di immagazzinare energia e rilasciarla senza subire deformazioni permanenti quando cessano le forze o le tensioni a cui è sottoposta. Sono realizzati in un'ampia varietà di forme e dimensioni utilizzando materiali molto diversi tra loro, come acciaio al carbonio , acciaio inossidabile , acciaio al cromo - silicio , cromo- vanadio , bronzo o plastica; materiali con proprietà elastiche .

Hanno un gran numero di applicazioni in tutti i tipi di prodotti di uso quotidiano, in strumenti e macchine o in vari tipi di dispositivi meccanici (come le sospensioni dei veicoli ). Il suo scopo è spesso adattato a situazioni in cui è richiesta l'applicazione di una forza e la sua restituzione sotto forma di energia. Sono sempre progettati per resistere o ammortizzare le sollecitazioni esterne.

Storia

Fibula della Certosa , cultura La Tène (in alto); e spilla dell'antica Roma (sotto)

L'uso di materiali elastici dalle forme semplici, come gli archi di legno usati per scoccare le frecce, ha le sue origini in epoca preistorica, e se ne trovano esempi di oltre 60.000 anni fa. Nell'età del bronzo esistevano già in molte culture tipologie più complesse di sorgenti, che facevano parte di semplici utensili come le fibule usate per fissare i vestiti, o le pinzette per maneggiare piccoli oggetti. Ctesibio di Alessandria realizzò leghe di bronzo con un contenuto di stagno più elevato per ottenere molle con particolari proprietà elastiche, indurendo il materiale mediante martellamento dopo che era stato fuso.

Le molle elicoidali in lamiera sono state utilizzate come riserve di energia per guidare gli orologi dall'inizio del XV secolo, apparendo negli orologi da tasca all'inizio del XVI secolo. La molla a spirale che fa parte del bilanciere inventato da Christiaan Huygens sarebbe stata introdotta per la prima volta in un orologio da tasca da Salomon Coster nel 1673. ]

Nel 1676, il fisico britannico Robert Hooke formulò la sua nota Legge di elasticità che modella il comportamento delle molle: la deformazione di una molla è proporzionale alla forza applicata ad essa.

Con la comparsa della ferrovia nei primi decenni dell'800, in concomitanza con il progresso della metallurgia e lo sviluppo delle prime macchine utensili, la fabbricazione delle molle passò dall'essere un processo artigianale (tanto che ogni armaiolo, fabbro, orologiaio o il fabbro costruiva individualmente le molle di cui aveva bisogno per gli oggetti che produceva) per diventare un processo industriale, producendo in serie migliaia di molle standardizzate che facevano parte di tutti i tipi di macchine prodotte in serie (come orologi, cucito, telai, tutti i tipi di armi, motori a combustione interna, automobili, motocicli, mobili, materassi o elettrodomestici). Da allora le molle sono diventate parte fondamentale di tutti i tipi di utensili più o meno complessi (dalla semplice spilla da balia , alla sospensione di una locomotiva di peso superiore a cento tonnellate), e si è ampliata la gamma delle tipologie di molle disponibili, realizzati in ogni tipo di materiale (dalle classiche leghe metalliche alle speciali mescole plastiche).

Tipi

Molla piatta : sospensione a balestra di un camion

Molla elicoidale - Regolazione della molla in una sveglia

Molla elicoidale : diversi tipi

Barra di torsione : pezzo prismatico ritorto

Clip : diversi tipi

molla di instabilità a compressione

Primavera a volute . Sotto compressione, il foglio arrotolato scorre su se stesso, aumentando il suo percorso utile

Molla a voluta verticale di un carro armato principale M3 Stuart

Molle di tensione di un dispositivo di riverbero

Flessometro, dotato di molla di ritegno

Rondella ondulata o " marcelada "

molla di torsione

molle coniche a compressione

Le molle possono essere classificate in vari modi, a seconda della loro forma, del modo in cui vengono applicati i carichi, del modo in cui rispondono ad essi, del loro processo di fabbricazione o dell'uso a cui sono destinate:

Secondo la sua forma:

• Molle piatte - formate da lamiere piatte; Uno degli esempi più noti di questo tipo di molle sono le balestre utilizzate nelle sospensioni di molti veicoli.
• Molle a spirale : formate avvolgendo su se stessa una lunga striscia metallica, il cui diametro cresce all'aumentare del numero di spire, ma la cui altezza (coincidenza con la larghezza della striscia) rimane costante. Sono utilizzati negli orologi classici a carica meccanica . Combinano caratteristiche con altri tipi di molle, poiché sebbene vengano serrate avvolgendole facendole ruotare attorno ad un asse (come le barre di torsione), in realtà funzionano per flessione (come le molle di trazione e/o compressione).
• Molle elicoidali : sono le molle più comuni. Sono costituiti da bobine di filo che formano un'elica avvolta attorno a un cilindro (o altra forma di rivoluzione). Funzionano variando la separazione tra i loro turni.
• Barre di torsione : sono pezzi prismatici di un materiale flessibile, in grado di acquisire una torsione reversibile quando viene applicato loro un momento di svolta. Utilizzato in molti tipi di sospensioni per veicoli.
• Clip : sono pezzi la cui forma non corrisponde a nessuno dei tre modelli precedenti, sebbene possano combinare il comportamento elastico di alcuni di essi. Un classico esempio sono le clip elastiche utilizzate per il fissaggio delle rotaie ferroviarie. C'è anche un gran numero di molle che non hanno forme comuni; forse la più conosciuta è la rondella Grower .

In base a come viene applicata la forza del carico:

• Molla a flessione : un carico perpendicolare alla dimensione massima di un elemento elastico (solitamente piatto), viene assorbito flettendo la molla, che ritorna alla sua forma originaria al cessare della forza applicata. È il modo caratteristico di lavorare delle balestre utilizzate nelle sospensioni di diversi veicoli.
• Molla di tensione : è progettata per funzionare con un carico di trazione , quindi la molla si allunga quando viene applicato il carico. Queste molle supportano esclusivamente le forze di trazione e sono caratterizzate dall'avere un gancio a ciascuna delle loro estremità, di stili diversi: inglese, tedesco, catalano, rotante, aperto, chiuso o doppia bobina. Questi ganci consentono di montare le molle di estensione in varie posizioni.
• Molla di compressione : è progettata per funzionare con un carico di compressione, quindi la molla si accorcia quando viene applicato il carico. Possono essere cilindriche, coniche, biconiche, a passo fisso o variabile.
• Molla di torsione - A differenza dei tipi precedenti, in cui il carico è una forza assiale, il carico applicato a una molla di torsione è una coppia o una forza di torsione e l'estremità della molla ruota quando viene applicato il carico.
• Altri : ci sono molle che possono operare sia in trazione che in compressione, e anche in torsione.

A seconda di come rispondono al carico:

• Molla costante : offre una resistenza fissa, deformandosi uniformemente quando viene applicata una forza costante. Combinano una molla elicoidale curva e un braccio di leva la cui lunghezza varia in base al carico applicato. ]
• Molla variabile : studiate per sostenere carichi e consentire il movimento, sono molle elicoidali la cui resistenza varia con il grado di compressione. ]
• Molla a rigidità regolabile : la sua resistenza ai carichi può essere variata dinamicamente per mezzo di un sistema di controllo. Alcuni tipi di queste molle consentono di regolarne la lunghezza, avendo la possibilità di attivare altri meccanismi. ]
• Molla di instabilità - Un tipo speciale di molla di compressione utilizzata nelle tastiere dei computer, che utilizza il brusco "collasso" dell'allineamento della molla quando viene superata una certa pressione per fornire un singolo impulso elettrico.

Secondo la sua fabbricazione:

• Molla piatta : realizzata con lamiere piatte di acciaio per molle .
• Molla a spirale : un filo metallico o una barra avvolta attorno a una figura di rivoluzione (cilindro, cono, iperboloide...), formando un'elica.
• Molla meccanizzata : basata sulla lavorazione di barre d'acciaio mediante tornitura e/o fresatura, invece di un'operazione di avvolgimento. Possono incorporare configurazioni speciali oltre all'elemento elastico e sono adatte per casi di compressione/estensione o torsione.
• Molla a serpentina - Uno zigzag di filo spesso, spesso utilizzato nella tappezzeria e nei mobili moderni.
• Molla ad anello: una molla elicoidale in acciaio, con le sue due estremità collegate per formare un anello .

Tipi più usati: :

• Molla a sbalzo : una molla attaccata solo a un'estremità (come le leve utilizzate nel salto sul trampolino).
• Molla elicoidale : è una molla (formata avvolgendo un filo attorno ad un cilindro), normalmente di tre tipi:
  • Molle a trazione , progettate per allungarsi quando sottoposte a un carico. I loro giri normalmente si toccano nella posizione scarica e hanno un gancio, un occhiello o altri mezzi di fissaggio a ciascuna estremità.
  • Molle a compressione , progettate per accorciarsi sotto carico. Le loro bobine non si toccano in posizione scarica e non necessitano di punti di fissaggio.
  • Le molle a tubo cavo possono essere molle a trazione o molle a compressione. Il tubo cavo è riempito di olio, la cui pressione idrostatica è controllata da una membrana o da un pistone in miniatura, consentendo alla molla di irrigidirsi o rilassarsi, proprio come la pressione dell'acqua in un tubo da giardino. In alternativa, la sezione trasversale del tubo è scelta in modo tale che la sua area cambi quando il tubo è soggetto a deformazione torsionale. La variazione dell'area della sezione si traduce in una variazione del volume interno del tubo e il flusso dell'olio in entrata/uscita dalla molla può essere controllato da una valvola, regolandone così la rigidità. Esistono molti di questi modelli che possono cambiare la rigidità a qualsiasi frequenza desiderata, consentendo di modificare le qualità della molla.
• Molla a spirale - Una molla a compressione elicoidale a forma di cono in modo che sotto compressione le bobine non si scontrino l'una contro l'altra, consentendo una corsa più lunga.
• Molla di regolazione - Una delicata molla a spirale utilizzata in orologi , galvanometri e meccanismi in cui l'elettricità deve essere trasportata a dispositivi parzialmente rotanti, come un volante , senza ostacolare la rotazione.
• Sospensione a balestra - Una molla a balestra utilizzata nelle sospensioni dei veicoli , negli interruttori elettrici e negli archi .
• Molla a V : utilizzata nei vecchi meccanismi di armi da fuoco , come il blocco delle ruote . Utilizzato anche sui chiavistelli tradizionali più semplici. ]

Altri tipi:

• Molla Belleville - una molla a forma di disco comunemente usata per applicare tensione a un bullone (e anche nel grilletto a pressione delle mine antiuomo ).
• Molla a forza costante : un elastico ben avvolto che esercita una forza quasi costante mentre si svolge.
• Molla a gas – Un volume di gas compresso.
• Molla di alimentazione - Una molla a forma di nastro a spirale utilizzata come fonte di alimentazione per azionare meccanismi a orologeria utilizzati in orologi , carillon o giocattoli a carica .
• Molla con check : formata da una sottile fascia di metallo leggermente concava in sezione trasversale. Quando arrotolato assume una sezione piana, ma quando srotolato ritorna alla sua curva precedente, producendo così una forza costante per tutta la corsa, bloccando la tendenza al riavvolgimento. L'applicazione più comune è il metro a nastro in acciaio . ]
• Molle elicoidali a velocità progressiva - Una molla elicoidale a velocità variabile, generalmente ottenuta avendo un gioco disuguale , in modo che quando la molla viene compressa, una o più bobine poggino contro le bobine vicine.
• Elastico - Dove l'energia viene immagazzinata allungando il materiale.
• Rondella elastica : utilizzata per applicare una forza di trazione costante sull'asse di un'ancora .
• Molla di torsione : qualsiasi molla progettata per essere attorcigliata anziché compressa o estesa. Utilizzato nei sistemi di sospensione dei veicoli come le barre di torsione .
• Molla ondulata - Una qualsiasi delle molte molle, rondelle ed espansori a forma di onda, solitamente costituite da filo piatto o dischi, che vengono marcate in termini industriali, solitamente mediante punzonatura, ricevendo un modello d'onda regolare. Esistono anche molle ad onda a filo tondo. I tipi includono rondelle ondulate, molle a onda a giro singolo, molle a onda multigiro, molle a onda lineare, espansori Marcel, molle a onda ad incastro e molle a onda nidificata.

Modello teorico:

• Molla ideale : una molla teorica utilizzata in fisica che non ha peso, massa e perdite di smorzamento. La forza esercitata dalla molla è proporzionale alla distanza in cui la molla viene allungata o compressa dalla sua posizione rilassata. ]

Usi

• Veicoli : sospensioni elicoidali , sospensioni a balestra , barre di torsione
• Orologi - Regolazione della molla negli orologi meccanici e nelle barre a molla per attaccare bracciali e fermagli
• spille da balia
• Gioielli : meccanismi di chiusura
• Meccanismi di chiusura : riconoscimento delle chiavi e per coordinare i movimenti di varie parti di una serratura
• Vassoi meccanici: lettori CD , registratori
• Penne
• materassi a molle
• Molla slanciata e giocattolo
• Letto elastico
• saltare il pogo
• Riverbero
• Tastiere con molle snodate
• molle per tappezzeria
• Giocattoli
• Formazione scolastica
• pistole ad aria compressa
• Armi da fuoco
• Riverbero su organi elettronici
• Attrezzatura di ormeggio di una barca

Fisica della primavera

Teoria

Nella fisica classica , una molla può essere vista come un dispositivo che immagazzina energia potenziale , in particolare energia di deformazione , sforzando i legami tra gli atomi in un materiale elastico .

La legge dell'elasticità di Hooke afferma che l'estensione di una barra elastica (la sua lunghezza estesa meno la sua lunghezza rilassata) è linearmente proporzionale alla sua tensione , la forza applicata per allungarla. Allo stesso modo, la contrazione (estensione negativa) è proporzionale alla compressione (tensione negativa).

Questa legge in realtà si applica solo approssimativamente e solo quando la deformazione (estensione o contrazione) è piccola rispetto alla lunghezza totale della barra. Per deformazioni oltre il limite elastico , i legami atomici si rompono o si riorganizzano e una molla può rompersi, piegarsi o deformarsi permanentemente. Molti materiali non hanno un limite elastico chiaramente definito e la legge di Hooke non può essere applicata in modo significativo a questi materiali. Inoltre, per i materiali superelastici, la relazione lineare tra forza e spostamento è appropriata solo nella regione a bassa sollecitazione.

La legge di Hooke è una conseguenza matematica del fatto che l'energia potenziale della barra è minima quando la sua lunghezza è rilassata. Qualsiasi funzione infinitamente differenziabile di una variabile approssima una funzione quadratica quando esaminata abbastanza vicino al suo punto minimo, come si può vedere esaminando i termini della serie di Taylor . Pertanto, la forza, che è la derivata dell'energia rispetto allo spostamento, approssima una funzione lineare .

La forza di una molla completamente compressa prende la forma

$F_{max}={\frac {Ed^{4}(L-nd)}{16(1+\nu )(Dd)^{3}n}}\$

Simbolo	Nome
$E$	Modulo di Young
$\gnu$	rapporto di Poisson
$n$	Numero di loop attivi
$D$	Diametro esterno della molla
$d$	Diametro del filo della molla
$l$	lunghezza libera della molla

Molle a lunghezza zero

Molla a lunghezza zero è un termine per una molla elicoidale appositamente progettata che eserciterebbe forza zero se avesse lunghezza zero. Se non ci fosse alcun vincolo dovuto al diametro finito del filo di una tale molla elicoidale, avrebbe lunghezza zero nella condizione non stirata. Cioè, su un grafico a linee della forza della molla rispetto alla sua lunghezza, la linea passerebbe per l'origine. Ovviamente una molla elicoidale non può contrarsi a lunghezza zero, perché ad un certo punto le spire si toccano e la molla non può più accorciarsi. Le molle a lunghezza zero sono realizzate utilizzando una molla elicoidale con tensione incorporata (una torsione viene introdotta nel filo mentre viene avvolto durante la produzione, il che funziona perché una molla elicoidale "si svolge" mentre viene allungata), quindi potrebbe contrarsi anche più, quindi il punto di equilibrio della molla, il punto in cui la sua forza di ripristino è zero, si verifica a lunghezza zero. In pratica, le molle di lunghezza zero sono realizzate abbinando una molla di lunghezza negativa , realizzata con una tensione ancora maggiore in modo che il suo punto di equilibrio sia di lunghezza "negativa", con un pezzo di materiale anelastico di lunghezza opportuna in modo che il punto di zero la forza si trova a lunghezza zero.

Una molla di lunghezza zero può essere fissata a una massa in un braccio di collegamento in modo tale che la forza sul peso sia quasi esattamente bilanciata dalla componente verticale della forza della molla, qualunque sia la posizione del braccio. Questo crea un "pendolo" orizzontale con un periodo di oscillazione molto lungo . Questi pendoli consentono ai sismografi di rilevare le onde più lente dei terremoti. La sospensione LaCoste con molle a lunghezza zero viene utilizzata anche nei gravimetri perché è molto sensibile alle variazioni di gravità. Le molle di chiusura delle porte hanno spesso una lunghezza pari a zero, quindi esercitano una forza anche quando la porta è quasi chiusa, quindi possono tenerla saldamente chiusa.

Energia di deformazione

Il modo più semplice per analizzare fisicamente una molla è attraverso il suo modello ideale globale e partendo dal presupposto che obbedisca alla legge di Hooke . stabilisce così l'equazione della molla, dove la forza F esercitata su di essa è correlata all'allungamento/contrazione o allungamento "x" prodotto, come segue:

${\ displaystyle F = -kx \,}$, essendo    $k={\frac {AE}{L}}$

${\ displaystyle F = -kx \ }$

Simbolo	Nome
$K$	Costante primaverile della primavera
$X$	Allungamento (allungamento prodotto)
$UN$	Sezione del cilindro immaginario che circonda la molla
$E$	Modulo di elasticità della molla (da non confondere con il modulo di elasticità del materiale)

L'energia di deformazione o energia potenziale elastica associata all'allungamento o all'accorciamento di una molla lineare è data dall'integrazione del lavoro svolto per ogni variazione infinitesimale della sua lunghezza:$U_{k}$$dx\,$

$U_{k}=-\int{0}^{x}F(x)\dx=-\int{0}^{x}-k(x)x\ dx\ ={\frac {1 }{2}}kx^{2}$

Se la molla non è lineare, la rigidità della molla dipende dalla sua deformazione e in tal caso abbiamo una formula un po' più generale:

$U_{k}=\int{0}^{x}k(x)\cdot x\ dx$

Equazione differenziale ed equazione d'onda

Definiremo ora una costante intrinseca della molla indipendente dalla sua lunghezza e stabiliremo così la legge differenziale costitutiva di una molla. Moltiplicando per la lunghezza totale, e chiamando il prodotto ok intrinseco, abbiamo: $K$$k_{i}$

$k_{i}=AE\,$    dove   $k={\frac {k_{i}}{L}}$

Chiameremo la tensione in un tratto della molla situato ad una distanza da una delle sue estremità, che considereremo fissa e che prenderemo come origine delle coordinate, la costante di un piccolo tratto di molla alla stessa distanza e l'allungamento di quel piccolo pezzo sotto l'applicazione della forza . Per la legge della piena primavera: ${\ displaystyle F (x) \,}$$X\,$$k_{\Delta x}$${\ displaystyle \ Delta x \,}$$\delta​​\Delta x}\,$${\ displaystyle F (x) \,}$

$F(x)=-k_{\Delta x}\delta​​\Delta x}=k_{i}{\frac {\delta​​\Delta x}}{\Delta x}}$

Prendendo il limite:

$F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta}_{dx}}{dx}}$

che per il principio di sovrapposizione risulta:

$F\left(x\right)=-k_{i}{\frac {d{\delta}}{dx}}=-AE{\frac {d\delta}}{dx}}$

Se assumiamo anche che sia la sezione che il modulo elastico possono variare con la distanza dall'origine, l'equazione diventa:

${\ displaystyle F \ sinistra (x \ destra) = -k_ {i} \ sinistra (x \ destra) {\ frac {d {\ delta}} {dx}} = - A \ sinistra (x \ destra) E \ sinistra(x\destra){\frac {d\delta }{dx}}}$

Qual è l'equazione differenziale completa della molla. Se è integrato per tutto x, si ottiene come risultato il valore dell'allungamento unitario totale. F(x) può essere normalmente considerato costante e uguale alla forza totale applicata. Quando F(x) non è costante e la sua inerzia è inclusa nel ragionamento, si raggiunge l' equazione d'onda unidimensionale che descrive i fenomeni ondulatori.

Assumiamo, per semplicità, che sia la sezione della molla che la sua densità (intendendo per densità la massa di una sezione di molla divisa per il volume del cilindro immaginario circostante) e il suo modulo elastico siano costanti per tutta la molla e che la molla è cilindrica. Chiamiamo lo spostamento di una sezione di molla. Ora prendiamo un tratto differenziale della molla di lunghezza (dx). La massa di quella porzione sarà data da: ${\ displaystyle \ Psi \ sinistra (x \ destra)}$

$dm=\rho Adx$

Applicando la seconda legge di Newton a quella sezione:

${\ displaystyle F \ sinistra (x \ destra) -F (x + dx) \ sinistra (x \ destra) = -dm {\ frac {{\ parziale } ^ {2} \ Psi }{ {\ parziale t} ^ {2}}}=-\rho Adx{\frac {{\parziale }^{2}\Psi }{{\parziale t}^{2}}}}$

Vale a dire:

${\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}} \rightarrow {\frac {\partial F}{\partial x}}=-\rho A{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}$

D'altra parte, è facile dedurlo

${\ displaystyle d \ delta =\ Psi \ sinistra (x + dx \ destra) -\ Psi \ sinistra (x \ destra) = {\ frac {\ parziale \ Psi} {\ parziale x}} dx}$

Introducendo, quindi, questa espressione nell'equazione differenziale della molla prima dedotta, si arriva a:

${\ displaystyle F \ sinistra (x \ destra) = -AE {\ frac {\ parziale \ Psi {\ parziale d}}}$

Differenziando questa espressione rispetto a x, otteniamo:

${\frac {\F parziale}{\x parziale}}=-AE{\frac {{\parziale}^{2}\Psi }{{\x parziale}^{2}}}$

Mettendo insieme l'espressione temporale con l'espressione spaziale, si deduce infine l'equazione generale di una molla cilindrica di sezione, densità ed elasticità costanti, che coincide esattamente con l' equazione d'onda longitudinale :

${\frac {{\parziale}^{2}\Psi \sinistra(x,t\destra)}{{\parziale t}^{2}}}={\frac {E}{\rho} }\times {\frac {{\parziale }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\parziale x}^{2}}}$

Da cui si deduce la velocità di propagazione delle perturbazioni in un molo ideale come:

$c={\sqrt {\frac {E}{\rho}}}$

Primavera con una massa sospesa

Nel caso di una molla con massa sospesa,

${\begin{casi}F=-kx\ \Rightarrow \ m{\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\\{\cfrac {dx(0) }{dt}}=v_{0}\end{casi}}$

La cui soluzione è , cioè la massa compie un semplice moto armonico di ampiezza e frequenza angolare . Differenziazione e sostituzione: ${\ displaystyle x = (v_ {0}/\ omega ) \ sin {\ omega t}}$ $A_{0}=v_{0}/\omega$ $\omega$

$\ \displaystyle -\omega 2}{\frac {v_{0}}{\omega}}\sin \omega t=-{\frac {k}{m}}{\frac {v_{ 0} }{\omega }}\sin \omega t$

Semplificando:

${\ displaystyle \ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$

Questa equazione mette in relazione la frequenza naturale con la rigidità della molla e la massa sospesa.

Molla a densità variabile

Per una molla a densità variabile, modulo elastico e sezione variabile dell'involucro, l'equazione di disturbo generalizzata è la seguente:

${\frac {{\parziale}^{2}\Psi \sinistra(x,t\destra)}{{\parziale t}^{2}}}={\frac {1}{\rho \ sinistra(x\destra)}}\sinistra[{\frac {\LA parziale\sinistra(x\destra)}{\x parziale}}{\frac {E\sinistra(x\destra)}{A\sinistra( x\destra)}}+{\frac {\E parziale\sinistra(x\destra)}{\x parziale}}\destra]{\frac {\parziale \Psi \sinistra(x,t\destra)}{ \partial x}}+{\frac {E\left(x\right)}{\rho \left(x\right)}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x, t\destra)}{{\parziale x}^{2}}}$

In una primavera con queste caratteristiche, l'onda che viaggia cambierebbe la sua velocità e, quindi, la sua lunghezza d'onda lungo il percorso. Inoltre, in alcune zone del molo la sua ampiezza sarebbe maggiore che in altre, cioè la soluzione dipende da tre funzioni arbitrarie:

$\Psi (x,t)=A_{0}(x){\frac {f(x+c(x)t)+f(xc(x)t)}{2}}$

Nell'analisi di una molla reale compaiono anche onde longitudinali, trasversali e di torsione lungo e attraverso le spire che si propagano ad una velocità che dipende dalla radice quadrata del modulo elastico E del materiale per i longitudinali del modulo elastico trasversale G del materiale per le trasversali e del modulo di torsione dell'ansa per le torsioni, il tutto diviso per la densità del materiale.

Soluzioni all'equazione d'onda su una molla

Soluzione a condizioni iniziali sinusoidali

La soluzione generale all'equazione differenziale parziale della molla semplificata di lunghezza infinita è descritta di seguito. Date le condizioni iniziali:

${\ displaystyle \ Psi (x, 0) = f (x) \,}$

${\Psi}_{t}(x,0)=g(x)\,$

dove , la soluzione della funzione di D'Alembert all'equazione d'onda può essere scritta come: ${\ displaystyle {\ Psi } _ {t} = {\ frac {\ parziale \ Psi }{\ t parziale}} \,}$

$\Psi (x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int​​x- ct}^{x+ct}g(s)ds$

Tale soluzione ammette che F e G possono essere qualsiasi classe di funzioni continue e quando . ${\ displaystyle \ scriptstyle f (x) \ in C ^ {k}}$${\ displaystyle \ scriptstyle g (x) \ in C ^ {k-1}}$${\ displaystyle \ scriptstyle u (t, x) \ in C ^ {k}}$

---

Per una molla di lunghezza finita L con le estremità ancorate, il problema diventa un problema al contorno che può essere risolto separando le variabili con la teoria di Sturm-Liouville . Date le condizioni iniziali come descritto sopra e le condizioni al contorno degli estremi fissi. Le condizioni iniziali possono essere espanse in una serie di Fourier come segue:

$f\left(x\right)=\sum​​n=1}^{\infty}A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right )}$

$g\left(x\right)=\sum​​n=1}^{\infty}B_{n}{\frac {cn\pi }{L}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\destra)}$

Dove i coefficienti di Fourier si ottengono dopo aver integrato le funzioni f e g come segue:

$A_{n}={\frac {2}{L}}\int{0}^{L}f\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x} {L}}\destra)}dx$

$B_{n}={\frac {2}{n\pi c}}\int{0}^{L}g\left(x\right)\ sin {\left({\frac {n \ pi x}{L}}\right)}dx$

per$n=1,2,...$

La soluzione a questo problema è scritta come segue:

$\Psi (x,t)=\sum​​n=1}^{\infty}A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right) }\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}+\sum​​n=1}^{\infty }B_{n}\sin {\left({\ frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}$

Vedi anche

• Legge di elasticità di Hooke
• modulo di elasticità

Collegamenti esterni

• Wikimedia Commons ospita una galleria multimediale sulle molle .
• Istituto di tecnologia della primavera
• Istituto dei produttori di primavera
• (in inglese) macchina per la produzione di molle