Primăvară

arcuri de tensiune

Arc lamelă (arc care funcționează în îndoire) al suspensiei unui model Skoda

Un arc ​ (sau arc ) este cunoscut ca un element elastic capabil să stocheze energie și să o elibereze fără a suferi deformații permanente atunci când forțele sau tensiunea la care este supus încetează. Sunt fabricate într-o mare varietate de forme și dimensiuni folosind materiale foarte diverse, precum oțel carbon , oțel inoxidabil , oțel crom - siliciu , crom- vanadiu , bronz sau plastic; materiale cu proprietăți elastice .

Au un număr mare de aplicații în toate tipurile de produse de zi cu zi, în unelte și mașini, sau în diferite tipuri de dispozitive mecanice (cum ar fi suspensiile vehiculelor ). Scopul său este adesea adaptat situațiilor în care i se cere să aplice o forță și ca aceasta să fie returnată sub formă de energie. Ele sunt întotdeauna proiectate pentru a rezista sau a amortiza tensiunile externe.

Istoric

Certosa fibula , cultura La Tène (sus); și broșă din Roma antică (mai jos)

Folosirea materialelor elastice cu forme simple, precum arcuri de lemn folosite la tragerea cu săgeți, își are originile în vremuri preistorice, iar exemple au fost găsite de acum mai bine de 60.000 de ani. În epoca bronzului , în multe culturi existau deja tipuri mai complexe de izvoare, care făceau parte din ustensile simple precum fibulele folosite pentru a fixa îmbrăcămintea, sau penseta pentru mânuirea obiectelor mici. Ctesibius din Alexandria a realizat aliaje de bronz cu un conținut mai mare de staniu pentru a obține arcuri cu proprietăți elastice deosebite, călirea materialului prin ciocănire după turnare.

Arcurile elicoidale din tablă au fost folosite ca depozite de energie pentru a conduce ceasurile încă de la începutul secolului al XV-lea, apărând în ceasurile de buzunar la începutul secolului al XVI-lea. Arcul în spirală care face parte din balanța de reglare inventată de Christiaan Huygens va fi introdus pentru prima dată într-un ceas de buzunar de către Salomon Coster în 1673. ]

În 1676, fizicianul britanic Robert Hooke a formulat binecunoscuta sa Lege a elasticității care modelează comportamentul arcurilor: deformarea unui arc este proporțională cu forța aplicată acestuia.

Odată cu apariția căii ferate în primele decenii ale secolului al XIX-lea, și coincizând cu progresul metalurgiei și cu dezvoltarea primelor mașini-unelte, fabricarea arcurilor a trecut de la a fi un proces artizanal (astfel încât fiecare armurier, lăcătuș, ceasornicar). sau fierarul a construit individual arcurile de care avea nevoie pentru obiectele pe care le producea) pentru a deveni un proces industrial, producând în masă mii de arcuri standardizate care făceau parte din toate tipurile de mașini produse în serie (cum ar fi ceasurile, cusut, războaie, tot felul de arme, motoare cu ardere internă, mașini, motociclete, mobilier, saltele sau electrocasnice). De atunci, arcurile au constituit o parte fundamentală a tuturor tipurilor de ustensile mai mult sau mai puțin complexe (de la un simplu ac de siguranță , până la suspendarea unei locomotive cu o greutate mai mare de o sută de tone), iar gama de tipuri a fost extinsă. disponibil, fabricat în tot felul de materiale (de la aliajele metalice clasice până la compuși plastici speciali).

Tipuri

Arc plat – suspensie cu arc cu lamelă a unui camion

Arc elicoidal – Arc de reglare într-un ceas cu alarmă

Arc elicoidal : diferite tipuri

Bara de torsiune : piesa prismatica rasucita

Clip : diferite tipuri

arc de flambaj de compresie

Arc volut . Sub compresie, foaia rulată alunecă în ea însăși, mărindu-și traseul util

Arc volut vertical al unui tanc de luptă principal M3 Stuart

Arcurile de tracțiune ale unui dispozitiv de reverb

Flexometru, echipat cu un arc de reținere

Șaibă ondulată sau „ marcelada ”

arc de torsiune

arcuri de compresie conice

Arcurile pot fi clasificate în diferite moduri, în funcție de forma lor, de modul în care le sunt aplicate sarcinile, de modul în care răspund la acestea, de procesul lor de fabricație sau de utilizarea la care sunt destinate:

După forma sa:

• Arcuri plate – formate din foi metalice plate; Unul dintre cele mai cunoscute exemple de acest tip de arcuri sunt arcurile lamelare folosite la suspensiile multor vehicule.
• Arcuri spiralate : formate prin înfășurarea pe ea însăși a unei benzi lungi de metal, al cărei diametru crește pe măsură ce numărul de spire crește, dar a cărei înălțime (coincide cu lățimea benzii) rămâne constantă. Sunt folosite la ceasurile clasice cu bobinaj mecanic . Acestea combină caracteristicile cu alte tipuri de arcuri, deoarece, deși sunt strânse prin înfășurarea lor, făcându-le să se rotească în jurul unei axe (cum ar fi barele de torsiune), ele funcționează de fapt prin îndoire (cum ar fi arcurile de tracțiune și/sau de compresie).
• Arcuri elicoidale : sunt cele mai comune arcuri. Ele constau din bobine de sârmă care formează o spirală înfășurată în jurul unui cilindru (sau altă formă de revoluție). Ele funcționează variind separarea dintre turele lor.
• Bare de torsiune : sunt piese prismatice dintr-un material flexibil, capabile să dobândească o torsiune reversibilă atunci când li se aplică un moment de rotire. Folosit în multe tipuri de suspensii de vehicule.
• Clipsuri : sunt piese a căror formă nu corespunde niciunui dintre cele trei modele anterioare, deși pot combina comportamentul elastic al unora dintre ele. Un exemplu clasic sunt clemele elastice folosite pentru fixarea șinelor de cale ferată. Există și un număr mare de arcuri care nu au forme comune; poate cel mai cunoscut este mașina de spălat Grower .

În funcție de modul în care le este aplicată forța de sarcină:

• Arc de îndoire : o sarcină perpendiculară pe cea mai mare dimensiune a unui element elastic (de obicei plat), este absorbită prin îndoirea arcului, care revine la forma sa inițială când forța aplicată încetează. Este modul caracteristic de lucru al arcurilor lamelare utilizate la suspendarea diferitelor vehicule.
• Arc de tracțiune – Este proiectat să funcționeze cu o sarcină de tracțiune , astfel încât arcul se întinde pe măsură ce sarcina este aplicată asupra acestuia. Aceste arcuri susțin exclusiv forțe de tracțiune și se caracterizează prin faptul că au câte un cârlig la fiecare dintre capete, de diferite stiluri: engleză, germană, catalană, rotativă, deschisă, închisă sau dublă. Aceste cârlige permit montarea arcurilor de prelungire în diferite poziții.
• Arc de compresie – Acesta este proiectat să funcționeze cu o sarcină de compresie, astfel încât arcul se scurtează pe măsură ce sarcina este aplicată asupra acestuia. Pot fi cilindrice, conice, biconice, cu pas fix sau variabil.
• Arc de torsiune – Spre deosebire de tipurile anterioare, în care sarcina este o forță axială, sarcina aplicată unui arc de torsiune este un cuplu sau o forță de răsucire, iar capătul arcului se rotește pe măsură ce sarcina este aplicată.
• Altele : exista arcuri care pot functiona atat la tractiune cat si la compresie, si chiar la torsiune.

În funcție de modul în care răspund la încărcare:

• Arc constant : oferă o rezistență fixă, deformându-se uniform atunci când i se aplică o forță constantă. Acestea combină un arc elicoidal curbat și un braț de pârghie a cărui lungime variază pe măsură ce se aplică sarcina. ]
• Arc variabil : conceput pentru a suporta sarcini si a permite miscarea, sunt arcuri elicoidale a caror rezistenta variaza in functie de gradul de compresie. ]
• Arc de rigiditate reglabil : rezistența sa la sarcini poate fi variată dinamic prin intermediul unui sistem de control. Unele tipuri de aceste arcuri permit reglarea lungimii lor, avand capacitatea de a activa alte mecanisme. ]
• Arc de flambaj – Un tip special de arc de compresie folosit la tastaturile computerelor, care folosește „prăbușirea” bruscă a alinierii arcului atunci când o anumită presiune este depășită pentru a furniza un singur impuls electric.

Conform fabricației sale:

• Arc plat – realizat din foi plate de oțel pentru arc .
• Arc elicoidal : un fir metalic sau o bară înfășurată în jurul unei figuri de revoluție (cilindru, con, hiperboloid...), formând o spirală.
• Arc mecanizat : bazat pe lucrul barelor de otel prin strunjire si/sau frezare, in locul unei operatii de infasurare. Pot incorpora configuratii speciale in plus fata de elementul elastic si sunt potrivite pentru cazuri de compresie/extensie sau torsiune.
• Arc serpentin – Un zig-zag de sârmă groasă, adesea folosit în tapițerie și în mobilier modern.
• Arc inel – un arc elicoidal din oțel, cu cele două capete legate pentru a forma un inel .

Cele mai utilizate tipuri: :

• Arc cantilever – un arc atașat doar la un capăt (cum ar fi pârghiile folosite la săriturile cu trambulina).
• Arc elicoidal : este un arc (facut prin înfășurarea unui fir în jurul unui cilindru), în mod normal de trei tipuri:
  • Arcuri de prelungire , concepute pentru a se alungi atunci când sunt supuse unei sarcini. Rotirile lor se ating în mod normal între ele în poziția descărcată și au un cârlig, un ochi sau alte mijloace de atașare la fiecare capăt.
  • Arcuri de compresie , concepute pentru a se scurta la încărcare. Bobinele lor nu se ating în poziția descărcată și nu au nevoie de puncte de fixare.
  • Arcurile cu tub tubular pot fi arcuri de extensie sau arcuri de compresie. Țeava goală este umplută cu ulei, a cărui presiune hidrostatică este controlată de o membrană sau un piston miniatural, permițând arcului să se întărească sau să se relaxeze, la fel ca presiunea apei într-un furtun de grădină. Alternativ, secțiunea transversală a tubului este aleasă astfel încât aria sa să se schimbe atunci când tubul este supus unei deformări de torsiune. Modificarea ariei secțiunii transversale se traduce printr-o modificare a volumului intern al tubului și fluxul de ulei în/din arc poate fi controlat de o supapă, reglând astfel rigiditatea acestuia. Există multe astfel de modele care pot modifica rigiditatea la orice frecvență dorită, permițând modificarea calităților arcului.
• Arc volute – Un arc de compresie elicoidal în formă de con , astfel încât, sub compresie, bobinele nu se lovesc unele de altele, permițând o cursă mai lungă.
• Arc de reglare – Un arc spiralat delicat folosit la ceasuri , galvanometre și mecanisme în care electricitatea trebuie transportată către dispozitive care se rotesc parțial, cum ar fi volanul , fără a împiedica rotația.
• Suspensie cu arc cu lamelă – Un arc cu lamelă utilizat în suspensiile vehiculelor , întrerupătoarele electrice și arcurile .
• Arc în V – folosit în mecanismele vechi ale armelor de foc , cum ar fi blocajul roții . Folosit și la zăvoarele tradiționale mai simple ale ușilor. ]

Alte tipuri:

• Arc Belleville – un arc în formă de disc folosit în mod obișnuit pentru a aplica tensiune pe un șurub (și, de asemenea, în declanșatorul acționat de presiune al minelor antipersonal ).
• Arc cu forță constantă – O bandă elastică înfășurată strâns care exercită o forță aproape constantă pe măsură ce se desfășoară.
• Arc de gaz – Un volum de gaz comprimat.
• Arc de putere – Un arc spiralat în formă de panglică, folosit ca sursă de energie pentru a antrena mecanismele de ceas utilizate în ceasuri , cutii muzicale sau jucării de vânt .
• Arc cu bară : format dintr-o bandă subțire de metal ușor concavă în secțiune transversală. Când este rulat, capătă o secțiune transversală plană, dar când este derulat revine la curba anterioară, producând astfel o forță constantă pe tot parcursul călătoriei, blocând tendința de derulare. Cea mai obișnuită aplicație este bandă de măsură din oțel . ]
• Arc elicoidal cu viteză progresivă – Un arc elicoidal cu viteză variabilă, obținut de obicei printr-un joc inegal , astfel încât atunci când arcul este comprimat, una sau mai multe bobine se sprijină pe bobinele învecinate.
• Bandă de cauciuc - Unde este stocată energia prin întinderea materialului.
• Șaibă elastică – Folosită pentru a aplica o forță constantă de tragere pe axa unei ancore .
• Arc de torsiune – orice arc conceput pentru a fi răsucit mai degrabă decât comprimat sau extins. Folosit în sistemele de suspensie ale vehiculelor , cum ar fi barele de torsiune .
• Arc ondulat - Oricare dintre multele arcuri, șaibe și expansoare în formă de undă, de obicei realizate din sârmă sau discuri plate, care sunt marcate în termeni industriali, de obicei prin perforare, primind un model de val obișnuit. Există și arcuri cu sârmă rotundă. Tipurile includ șaibe ondulate, arcuri ondulate cu o singură rotație, arcuri ondulate cu mai multe rotații, arcuri ondulate liniare, expansoare Marcel, arcuri ondulate cu interblocare și arcuri ondulate imbricate.

Model teoretic:

• Arc ideal – Un arc teoretic folosit în fizică care nu are greutate, nu are masă și nu are pierderi de amortizare. Forța exercitată de arc este proporțională cu distanța la care arcul este întins sau comprimat din poziția sa relaxată. ]

Utilizări

• Vehicule : suspensii elicoidale , suspensii cu arc cu lame , bare de torsiune
• Ceasuri – Reglarea arcului în ceasurile mecanice și barele cu arc pentru atașarea brățărilor și închizătoarelor
• ace de siguranță
• Bijuterii : mecanisme de închidere
• Mecanisme de închidere – recunoașterea cheii și pentru coordonarea mișcărilor diferitelor părți ale unei încuietori
• Tavi mecanice: CD playere , casetofone
• Pixuri
• saltele cu arcuri
• Slinky , primăvară de jucărie
• Pat elastic
• săritură pogo
• Reverberaţie
• Tastaturi cu arcuri de flambaj
• arcuri de tapițerie
• Jucării
• Educaţie
• pistoale cu aer comprimat
• Arme de foc
• Reverb pe organele electronice
• Tachelajul de ancorare a unei bărci

Fizica primăverii

Teorie

În fizica clasică , un arc poate fi privit ca un dispozitiv care stochează energia potențială , în special energia de deformare , prin încordarea legăturilor dintre atomi dintr-un material elastic .

Legea elasticității lui Hooke spune că extensia unei bare elastice (lungimea sa extinsă minus lungimea sa relaxată) este liniar proporțională cu tensiunea acesteia , forța aplicată pentru a o întinde. În mod similar, contracția (extensia negativă) este proporțională cu compresia (tensiunea negativă).

Această lege se aplică într-adevăr doar aproximativ și numai atunci când deformarea (extensia sau contracția) este mică în comparație cu lungimea totală a barei. Pentru deformații dincolo de limita elastică , legăturile atomice se rup sau se rearanjează, iar un arc se poate rupe, îndoi sau deforma permanent. Multe materiale nu au o limită elastică clar definită, iar legea lui Hooke nu poate fi aplicată în mod semnificativ acestor materiale. De asemenea, pentru materialele superelastice, relația liniară dintre forță și deplasare este adecvată doar în regiunea de stres scăzut.

Legea lui Hooke este o consecință matematică a faptului că energia potențială a barei este minimă atunci când lungimea sa este relaxată. Orice funcție infinit diferențiabilă a unei variabile aproximează o funcție pătratică atunci când este examinată suficient de aproape de punctul său minim, așa cum se poate observa examinând termenii seriei Taylor . Prin urmare, forța, care este derivata energiei în raport cu deplasarea, aproximează o funcție liniară .

Forța unui arc complet comprimat ia forma

$F_{max}={\frac {Ed^{4}(L-nd)}{16(1+\nu )(Dd)^{3}n}}\$

Simbol	Nume
$ȘI$	Modulul Young
$\Wildebeest$	coeficientul lui Poisson
$n$	Numărul de bucle active
$D$	Diametru exterior arc
$d$	Diametrul firului de arc
$L$	lungime liberă cu arc

Arcuri cu lungime zero

Arc cu lungime zero este un termen pentru un arc elicoidal special conceput care ar exercita forță zero dacă ar avea lungime zero. Dacă nu ar exista nicio constrângere din cauza diametrului finit al firului al unui astfel de arc elicoidal, acesta ar avea lungime zero în condiția neîntinsă. Adică, pe un grafic liniare al forței arcului în funcție de lungimea sa, linia ar trece prin origine. Evident, un arc elicoidal nu se poate contracta la lungimea zero, deoarece la un moment dat bobinele se ating între ele și arcul nu se mai poate scurta. Arcurile de lungime zero sunt realizate folosind un arc elicoidal cu tensiune încorporată (se introduce o răsucire în sârmă pe măsură ce acesta este înfășurat în timpul producției, ceea ce funcționează deoarece un arc elicoidal „se desfășoară” pe măsură ce este întins), astfel încât s- ar putea contracta chiar și mai mult, deci punctul de echilibru al arcului, punctul în care forța sa de restabilire este zero, are loc la lungimea zero. În practică, arcurile de lungime zero sunt realizate prin combinarea unui arc de lungime negativă , realizat cu și mai multă tensiune, astfel încât punctul său de echilibru să fie de lungime „negativă”, cu o bucată de material inelastic de lungimea corespunzătoare, astfel încât punctul de zero. forța este situată la lungimea zero.

Un arc de lungime zero poate fi atașat la o masă dintr-un braț de legătură în așa fel încât forța asupra greutății să fie aproape exact echilibrată de componenta verticală a forței arcului, indiferent de poziția brațului. Acest lucru creează un „pendul” orizontal cu o perioadă de oscilație foarte lungă . Aceste pendule permit seismografelor să detecteze undele mai lente ale cutremurelor. Suspensia LaCoste cu arcuri de lungime zero este folosită și în gravimetre , deoarece este foarte sensibilă la modificările gravitației. Arcurile de închidere a ușii sunt adesea de aproximativ zero în lungime, așa că exercită forță chiar și atunci când ușa este aproape închisă, astfel încât să o poată ține ferm închisă.

Energia de deformare

Cel mai simplu mod de a analiza fizic un izvor este prin modelul său ideal global și în ipoteza că respectă Legea lui Hooke . stabilește astfel ecuația arcului, unde forța F exercitată asupra acestuia este legată de alungirea/contracția sau alungirea „x” produsă, astfel:

$F=-kx\,$, fiind    $k={\frac {AE}{L}}$

$F=-kx\$

Simbol	Nume
$k$	Constanta de resort a resortului
$X$	Alungire (alungire produsă)
$A$	Secțiunea cilindrului imaginar care înconjoară izvorul
$ȘI$	Modulul de elasticitate al arcului (a nu se confunda cu modulul de elasticitate al materialului)

Energia de deformare sau energia potențială elastică asociată cu întinderea sau scurtarea unui arc liniar este dată de integrarea muncii efectuate pentru fiecare modificare infinitezimală a lungimii sale:$U_{k}$$dx\,$

$U_{k}=-\int{0}^{x}F(x)\ dx=-\int{0}^{x}-k(x)x\ dx\ ={\frac {1 {2}}kx^{2}$

Dacă arcul nu este liniar, atunci rigiditatea arcului depinde de deformarea sa și în acest caz avem o formulă ceva mai generală:

$U_{k}=\int{0}^{x}k(x)\cdot x\dx$

Ecuație diferențială și ecuație de undă

Vom defini acum o constantă intrinsecă a arcului independent de lungimea acestuia și vom stabili astfel legea diferențială constitutivă a unui arc. Înmulțind cu lungimea totală și numind produsul ok intrinsec, avem: $k$$k_{i}$

$k_{i}=AE\,$    Unde   $k={\frac {k_{i}}{L}}$

Vom numi tensiunea dintr-o secțiune a arcului situată la distanță de unul dintre capetele acestuia, pe care o vom considera fixă ​​și pe care o vom lua drept origine de coordonate, constanta unei lungimi mici de arc la aceeași distanță și alungirea acelei piese mici sub aplicarea forţei . După legea primăverii pline: $F(x)\,$$X\,$$k_{\Delta x}$$\Delta x\,$$\delta​​\Delta x}\,$$F(x)\,$

$F(x)=-k_{\Delta x}\delta​​\Delta x}=k_{i}{\frac {\delta​​\Delta x}}{\Delta x}}$

Luând limita:

$F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}$

care prin principiul suprapunerii are ca rezultat:

$F\left(x\right)=-k_{i}{\frac {d{\delta}}{dx}}=-AE{\frac {d\delta}}{dx}}$

Dacă presupunem, de asemenea, că atât secțiunea, cât și modulul de elasticitate pot varia cu distanța de la origine, ecuația devine:

$F\left(x\right)=-k_{i}\left(x\right){\frac {d{\delta}}{dx}}=-A\left(x\right)E\ stânga(x\dreapta){\frac {d\delta }{dx}}$

Care este ecuația diferențială completă a arcului. Dacă este integrată pentru tot x, se obține ca rezultat valoarea alungirii unitare totale. F(x) poate fi considerat în mod normal constant și egal cu forța totală aplicată. Când F (x) nu este constantă și inerția sa este inclusă în raționament, se ajunge la ecuația de undă unidimensională care descrie fenomenele ondulatorii.

Să presupunem, pentru simplitate, că atât secțiunea arcului, cât și densitatea acestuia (înțelegând densitatea ca masa unei secțiuni de arc împărțită la volumul cilindrului imaginar din jur) și modulul său de elasticitate sunt constante pe tot parcursul arcului și că arcul este cilindric. Să numim deplasarea unei secțiuni cu arc. Acum să luăm o întindere diferențială a arcului de lungime (dx). Masa acelei porțiuni va fi dată de: $\Psi \left(x\right)$

$dm=\rho Adx$

Aplicând a doua lege a lui Newton la acea secțiune:

$F\left(x\right)-F(x+dx)\left(x\right)=-dm{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^ {2}}}=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}$

Și anume:

${\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}} \rightarrow {\frac {\partial F}{\partial x}}=-\rho A{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}$

Pe de altă parte, este ușor să deducem asta

$d\delta =\Psi \left(x+dx\right)-\Psi \left(x\right)={\frac {\partial \Psi }{\partial x}}dx$

Introducând, așadar, această expresie în ecuația diferențială a resortului dedusă anterior, ajungem la:

$F\left(x\right)=-AE{\frac {\partial \Psi }{\partial d}}$

Diferențiând această expresie față de x, obținem:

${\frac {\partial F}{\partial x}}=-AE{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial x}^{2}}}$

Punând împreună expresia temporală cu expresia spațială, se deduce în final ecuația generală a unui arc cilindric de secțiune, densitate și elasticitate constante, care coincide exact cu ecuația undei longitudinale :

${\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial t}^{2}}}={\frac {E}{\rho } }\times {\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial x}^{2}}}$

Din care viteza de propagare a perturbațiilor într-un dig ideal se deduce astfel:

$c={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$

Izvor cu masă suspendată

În cazul unui arc cu o masă suspendată,

${\begin{cases}F=-kx\ \Rightarrow \ m{\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\\{\cfrac {dx(0) }{dt}}=v_{0}\end{cases}}$

A cărui soluție este , adică masa realizează o mișcare armonică simplă de amplitudine și frecvență unghiulară . Diferențierea și înlocuirea: $x=(v_{0}/\omega )\sin {\omega t}$ $A_{0}=v_{0}/\omega$ $\omega$

$\ \displaystyle -\omega 2}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t=-{\frac {k}{m}}{\frac {v_{ 0} }{\omega }}\sin \omega t$

Simplificare:

$\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Această ecuație leagă frecvența naturală cu rigiditatea arcului și masa elastică.

Arc cu densitate variabilă

Pentru un arc cu densitate variabilă, modul de elasticitate variabil și secțiune variabilă a carcasei, ecuația de perturbare generalizată este următoarea:

${\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x,t\right)}{{\partial t}^{2}}}={\frac {1}{\rho \ stânga(x\right)}}\left[{\frac {\partial A\left(x\right)}{\partial x}}{\frac {E\left(x\right)}{A\left( x\right)}}+{\frac {\partial E\left(x\right)}{\partial x}}\right]{\frac {\partial \Psi \left(x,t\right)}{ \partial x}}+{\frac {E\left(x\right)}{\rho \left(x\right)}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi \left(x, t\dreapta)}{{\partial x}^{2}}}$

Într-un izvor cu aceste caracteristici, unda care călătorește și-ar modifica viteza și, prin urmare, lungimea de undă pe parcurs. În plus, în unele zone ale debarcaderului amplitudinea sa ar fi mai mare decât în ​​altele, adică soluția depinde de trei funcții arbitrare:

$\Psi (x,t)=A_{0}(x){\frac {f(x+c(x)t)+f(xc(x)t)}{2}}$

În analiza unui arc real, de-a lungul și de-a lungul bobinelor apar și unde longitudinale, transversale și de torsiune care se propagă cu o viteză care depinde de rădăcina pătrată a modulului de elasticitate E al materialului pentru longitudinalele modulului de elasticitate transversal. G al materialului pentru cele transversale și al modulului de torsiune al buclei pentru cele de torsiune, toate împărțite la densitatea materialului.

Soluții la ecuația undelor pe un arc

Soluție la condițiile inițiale sinusoidale

Soluția generală a ecuației diferențiale parțiale a arcului simplificat de lungime infinită este descrisă mai jos. Având în vedere condițiile inițiale:

$\Psi (x,0)=f(x)\,$

${\Psi }_{t}(x,0)=g(x)\,$

unde , soluția funcției D'Alembert a ecuației de undă poate fi scrisă ca: ${\Psi }_{t}={\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\,$

$\Psi (x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int​​x- ct}^{x+ct}g(s)ds$

O astfel de soluție admite că F și G pot fi orice clasă de funcții continue și când . $\scriptstyle f(x)\in C^{k}$$\scriptstyle g(x)\in C^{k-1}$$\scriptstyle u(t,x)\in C^{k}$

---

Pentru un arc de lungime finită L cu capetele ancorate, problema devine o problemă la graniță care poate fi rezolvată prin separarea variabilelor cu teoria Sturm-Liouville . Având în vedere condițiile inițiale descrise mai sus și condițiile la limită ale extremelor fixe. Condițiile inițiale pot fi extinse într-o serie Fourier după cum urmează:

$f\left(x\right)=\sum​​n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right )}$

$g\left(x\right)=\sum​​n=1}^{\infty }B_{n}{\frac {cn\pi }{L}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\dreapta)}$

Unde coeficienții Fourier sunt obținuți după integrarea funcțiilor f și g după cum urmează:

$A_{n}={\frac {2}{L}}\int{0}^{L}f\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x } {L}}\dreapta)}dx$

$B_{n}={\frac {2}{n\pi c}}\int{0}^{L}g\left(x\right)\sin {\left({\frac {n \ pi x}{L}}\right)}dx$

pentru$n=1,2,...$

Rezolvarea acestei probleme este scrisă după cum urmează:

$\Psi (x,t)=\sum​​n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\dreapta) }\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}+\sum​​n=1}^{\infty }B_{n}\sin {\left({\ frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}$

Vezi și

• Legea elasticității lui Hooke
• modul de elasticitate

Link- uri externe

• Wikimedia Commons găzduiește o galerie media despre izvoare .
• Institutul de tehnologie a primăverii
• Institutul producătorilor de primăvară
• (în engleză) mașină de fabricare a arcurilor