Ziarno ciepła - Heat kernel

W matematycznym badaniu przewodnictwa cieplnego i dyfuzji , o jądro ciepła jest podstawowym rozwiązaniem dla równania ciepła na określonej domeny z odpowiednimi warunkami brzegowymi . Jest również jednym z głównych narzędzi w badaniu widma z operatorem Laplace'a , a zatem jakiegoś dodatkowego znaczenia w całej fizyki matematycznej . Jądro ciepła reprezentuje ewolucję temperatury w regionie, którego granica jest utrzymywana na stałym poziomie w określonej temperaturze (zwykle zero), tak że początkowa jednostka energii cieplnej jest umieszczana w punkcie w czasie t  = 0.

Podstawowe rozwiązanie jednowymiarowego równania ciepła. Czerwony: przebieg w czasie . Niebieski: przebiegi czasowe dla dwóch wybranych punktów. Wersja interaktywna.${\ Displaystyle \ Phi (x, t)}$${\ Displaystyle \ Phi (x_ {0}, t)}$

Najbardziej znanym jądrem ciepła jest jądro ciepła d- wymiarowej przestrzeni euklidesowej R ^d , które ma postać zmiennej w czasie funkcji Gaussa ,

${\ Displaystyle K (t, x, r) = {\ Frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t} \,}$

To rozwiązuje równanie ciepła

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe K} {\ częściowe t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y) \,}$

dla wszystkich t  > 0 i x , y  ∈  R ^d , gdzie Δ jest operatorem Laplaciana, z warunkiem początkowym

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)}$

gdzie δ jest rozkładem delta Diraca, a granica jest rozumiana w sensie rozkładów . Mówiąc krótko, dla każdej płynnej funkcji φ kompaktowego wsparcia ,

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ phi (y) \, dy = \ phi (x).}$

Na bardziej ogólnej domenie Ω w R ^d taki wyraźny wzór nie jest generalnie możliwy. Kolejne najprostsze przypadki dysku lub kwadratu obejmują odpowiednio funkcje Bessela i funkcje Jacobiego theta . Niemniej jednak jądro ciepła (dla, powiedzmy, problemu Dirichleta ) nadal istnieje i jest gładkie dla t > 0 na dowolnych domenach i rzeczywiście na dowolnej rozmaitości riemannowskiej z granicą , pod warunkiem, że granica jest wystarczająco regularna. Dokładniej, w tych bardziej ogólnych domenach jądro ciepła dla problemu Dirichleta jest rozwiązaniem początkowego problemu wartości brzegowej

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ Frac {\ częściowe K} {\ częściowe t}} (t, x, y) = \ Delta K (t, x, y) {\ tekst {dla wszystkich}} t> 0 {\ text {and}} x, y \ in \ Omega \\ [6pt] & \ lim _ {t \ to 0} K (t, x, y) = \ delta _ {x} (y) {\ text {dla wszystkich}} x, y \ in \ Omega \\ [6pt] & K (t, x, y) = 0, \ quad x \ in \ Partial \ Omega {\ text {lub}} y \ in \ częściowe \ Omega. \ end {aligned}}}$

Nie jest trudno wyprowadzić formalne wyrażenie dla jądra ciepła w dowolnej domenie. Rozważmy problem Dirichleta w podłączonym domeny (lub kolektora ramce) U . Niech λ _n będzie wartościami własnymi dla problemu Dirichleta laplackiego

${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {tablica} {ll} \ Delta \ phi + \ lambda \ phi = 0 i {\ tekst {in}} U \\\ phi = 0 i {\ tekst {on}} \ \ częściowe U. \ end {tablica}} \ right.}$

Niech φ _n oznacza powiązane funkcje własne , znormalizowane do ortonormalności w L ² ( U ) . Odwrotność Dirichleta Laplaciana Δ ⁻¹ jest operatorem zwartym i samosprzężonym , a więc twierdzenie spektralne implikuje, że wartości własne spełniają

${\ Displaystyle 0 <\ lambda _ {1} <\ lambda _ {2} \ równoważnik \ lambda _ {3} \ równoważnik \ cdots, \ quad \ lambda _ {n} \ do \ infty.}$

Jądro ciepła ma następujące wyrażenie:

${\ Displaystyle K (t, x, r) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ lambda _ {n} t} \ phi _ {n} (x) \ phi _ { n.} (y).}$

( 1 )

Formalne zróżnicowanie szeregu pod znakiem sumowania pokazuje, że powinno to spełniać równanie ciepła. Jednak zbieżność i regularność szeregu są dość delikatne.

Jądro ciepła jest również czasami identyfikowane z powiązaną transformacją całkową , zdefiniowaną dla kompaktowo obsługiwanego gładkiego φ przez

${\ Displaystyle T \ phi = \ int _ {\ Omega} K (t, x, r) \ phi (y) \ dy.}$

Twierdzenie spektralne odwzorowania daje reprezentację T w formie

${\ Displaystyle T = e ^ {t \ Delta}.}$

Istnieje kilka wyników geometrycznych dla jąder ciepła na rozgałęzieniach; powiedzmy, asymptotyki krótkotrwałe, asymptotyki długookresowe i górne / dolne granice typu Gaussa.

Zobacz też

• Podgrzej sygnaturę jądra
• Funkcja zeta Minakshisundaram – Pleijel
• Jądro Mehlera
• Transformacja Weierstrassa # Uogólnienia

Bibliografia

• Berline, Nicole; Getzler, E .; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag
• Chavel, Isaac (1984), wartości własne w geometrii riemannowskiej , matematyka czysta i stosowana, 115 , Boston, MA: Academic Press , ISBN   978-0-12-170640-1 , MR   0768584 .
• Evans, Lawrence C. (1998), Równania różniczkowe cząstkowe , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN   978-0-8218-0772-9
• Gilkey, Peter B. (1994), Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Theorem , ISBN   978-0-8493-7874-4
• Grigor'yan, Alexander (2009), Heat kernel and analysis on rozmaitości , AMS / IP Studies in Advanced Mathematics, 47 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN   978-0-8218-4935-4 , MR   2569498