Normalna bundle - Normal bundle

W geometrii różniczkowej , pole matematyki , A normalny pakiet jest szczególnym rodzajem wektora wiązki , komplementarne do wiązki stycznej , i które pochodzą z osadzania (lub zanurzania ).

Definicja

rozmaitość riemannowska

Niech będzie rozmaitość riemannowska i riemannowski podrozmaitością . Określić, dla danego , wektor będzie normalnie do gdy dla wszystkich (tak, że jest prostopadły do ). Zbiór wszystkich takich jest wtedy nazywany normalną przestrzeń do w . ${\ Displaystyle (M, G)}$${\ Displaystyle S \ K} podzbiór$${\ Displaystyle s \ in S}$${\ Displaystyle n \ w \ operatorname {T} _ {s} M}$${\ S} displaystyle$${\ Displaystyle g (N, V) = 0}$${\ Displaystyle v \ w \ operatorname {T} _} P {S}$${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle \ operatorname {T} _} P {S}$${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {s} S}$${\ N} displaystyle$${\ S} displaystyle$${\ P} displaystyle$

Podobnie jak całkowita przestrzeń wiązki stycznej do kolektora jest wykonana ze wszystkich miejsc stycznych do rozdzielacza, całkowita przestrzeń w normalnym pakiecie na określa się jako ${\ Displaystyle \ operatorname {N} S}$${\ S} displaystyle$

${\ Displaystyle \ operatorname {N} S: = \ coprod _ {s \ in S} \ operatorname {N} _ {s} S}$,

Conormal wiązka jest definiowana jako podwójnej wiązce do normalnego pakietu. Może on być realizowany w sposób naturalny jako sub-pakiet po pakiecie cotangens .

Ogólna definicja

Abstract więcej, biorąc pod uwagę to zanurzenie (na przykład z obszaru wstawiania), można określić prawidłowy pakiet N W M , przez co każdy punkt N , zajmując przestrzeń iloraz przestrzeni stycznej M od powierzchni stycznej N . Dla Riemanna kolektora można zidentyfikować iloraz z ortogonalnym dopełniacza, ale generalnie nie można (taki wybór jest równoważne części występu ). ${\ I \ displaystyle okrężnicy n \ M}$${\ Displaystyle V \ v / w}$

W ten sposób normalny pakiet jest na ogół iloraz wiązki stycznej powierzchni otoczenia ograniczone do podprzestrzeni.

Formalnie, normalny pakiet do N w M jest wiązka iloraz wiązki stycznej M : jedna ma krótki dokładną sekwencję wiązek wektorowych na N :

${\ Displaystyle 0 \ Tn \ Tm vert \ _ {(n)} \ do T_ {M / N} = TM \ zielony _ {(n)} / TN \ 0}$

gdzie jest ograniczenie wiązki stycznej M do N (odpowiednio, pullback wiązki stycznej M w wiązkę wektora na N poprzez mapie ). Włókno normalnego wiązki w określa się jako normalne miejsce w (z w ). ${\ Displaystyle TM \ zielony _ {(n)}}$${\ Displaystyle i ^ {} *} TM$${\ I} displaystyle$${\ Displaystyle T_ {M / N} {\ zakryta {\ pi} {\ twoheadrightarrow}}} N$${\ Displaystyle s \ w N}$${\ P} displaystyle$${\ Displaystyle N}$${\} M displaystyle$

Conormal wiązka

Jeśli jest gładka podrozmaitość kolektora , możemy odebrać lokalnych współrzędnych wokół tak, że jest lokalnie zdefiniowane ; Następnie z tego wyboru współrzędnych ${\ Displaystyle Y \ X} subseteq$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (x_ {1}, \ punktów, x_ {n})}$${\ Displaystyle s \ w y}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle x_ {k + 1} = \ kropki = x_ {n} = 0}$

${\ displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T_ {s} X = \ mathbb {R} {\ Wielkie \ lbrace} {\ frac {\ częściowe} {\ częściowy x_ {1}}} | _ {s}, \ kropki {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {n}}} | _ {s} {\ Wielkie \ rbrace} \\ T_ {s} Y = \ mathbb {R} {\ Wielkie \ lbrace} {\ Frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} | _ {p}, \ dots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \ \ {T_ {x / y}} _ {s} i = \ mathbb {R} {\ Wielkie \ lbrace} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {k + 1}}} | _ {s}, \ kropki {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {n}}} | _ {s} {\ Wielkie \ rbrace} \\\ koniec {wyrównane}}}$

a idealnym snop lokalnie generowanych przez . Dlatego możemy zdefiniować powiązanie non-zdegenerowanego ${\ Displaystyle x_ {1}, \ punktów, x_ {k}}$

${\ Displaystyle (I_ {T} / I_ {T} ^ {2}) _ {s} \ razy {T_ {x / y}} _ {s} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$

który indukuje izomorfizmem krążków . Można dokonać zmiany ten fakt przez wprowadzenie wiązki conormal zdefiniowany przez conormal dokładnej kolejności${\ Displaystyle T_ {x / y} \ simeq (I_ {T} / I_ {T} ^ {2}) ^ {\ Vee}}$

${\ Displaystyle 0 \ do T_ {X / Y {} *} ^ \ rightarrowtail \ omega _ {X} ^ {1} | _ {T} \ twoheadrightarrow \ omega ^ {1} Y \ 0}$,

potem , a mianowicie. sekcje wiązki conormal są wektory cotangent do zanikających na . ${\ T_ displaystyle {X / Y {} *} ^ \ simeq (I_ {T} / I_ {T} ^ {2})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle TY}$

Gdy jest to punkt, a idealna wiązka jest wiązka gładkich zarazków zanikających na i Izomorfizm redukuje się do określenia powierzchni stycznej pod względem zarazków gładkimi funkcjami${\ Displaystyle Y = \ lbrace s \} rbrace$${\ P} displaystyle$${\ Displaystyle X}$

${\ T_ displaystyle {X / \ lbrace P \ rbrace} ^ {*} \ simeq (T_ {s} X) ^ {\ Vee} \ simeq {\ Frac {{\ mathfrak {m}} _ {t}} { {\ mathfrak {m}} _ {s} ^ {2}}}}$,

Stabilny normalny pakiet

Abstrakt rozdzielacze posiadają kanoniczne wiązka styczna, ale nie mają normalny wiązki: jedynie osadzania (lub zanurzenie), w rozdzielaczu, w innym wydajnością normalnym pakiecie. Jednakże, ponieważ każdy rozdzielacz może być osadzona w , przez osadzanie twierdzenia Whitney , każdy kolektor przyjmuje normalny pakiet, biorąc pod uwagę takie osadzanie. ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {A}}$

Nie ma w ogóle żadnym naturalnym wyborem osadzania, ale dla danego M , dowolne dwa zanurzeń w dla dostatecznie dużych N są regularne homotopijne , a tym samym wywołać tę samą normalną paczkę. Otrzymaną klasę normalnych pakietów (to grupa pęczków i nie specyficzny wiązki, ponieważ N może się zmieniać) nazywany jest stabilnym normalny pakiet . ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {A}}$

Podwójny aby wiązka styczna

Normalny pakiet jest podwójny do wiązki stycznej w tym sensie, K-teorii : powyższym krótkim takiej kolejności,

${\ Displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = [TM]}$

w grupie Grothendieck . W przypadku zanurzenia w wiązka styczna przestrzeni otoczenia jest trywialne (ponieważ to kurczliwe, stąd parallelizable ), a więc i w ten sposób . ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {A}}$${\ Displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = 0}$${\ Displaystyle [T_ {M / N}] = - [TN]}$

Jest to przydatne przy obliczaniu charakterystycznych klas , i pozwala udowodnić dolne granice na immersibility i twardych cząstek rozmaitości w przestrzeni euklidesowej .

Do rozdzielaczy symplektycznych

Załóżmy, że kolektor jest osadzony w do symplektyczna kolektora tak, że wycofywanie się banków formy symplektyczna ma stałą pozycję na . Następnie można określić symplektycznych normalny pakiet X jako wiązki Wektor nad X z włókna ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle (M \ omega)}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle (T_ {I (x)} X) ^ {\ omega} / (T_ {I (x)} X \ Czapka (T_ {I (x)} X) ^ {\ omega}) \ quad x \ X}$

gdzie oznacza wstawiania. Zauważ, że stan stały stopień zapewnia, że te normalne przestrzenie łączą się ze sobą, aby utworzyć pakiet. Ponadto, każde włókno dziedziczy strukturę symplektyczna przestrzeń wektorową.${\ Displaystyle I: X \ K} rightarrow$

Przez twierdzenia Darboux jest , stała pozycja wbudowania lokalnie określić . izomorfizmu ${\ Displaystyle i * (TM)}$

${\ Displaystyle i ^ {*} (TM) \ Cong TX / \ v \ Oplus (TX) ^ {\ omega} / \ v \ Oplus (\ v \ Oplus \ v ^ {*}) \ quad \ v = TX \ Czapka (TX) ^ {\ omega}}$

z symplektycznych wektor wiązki ponad oznacza, że symplektycznych normalny pakiet już określa stałą pozycję osadzania lokalnie. Ta funkcja jest podobna do riemannowskiej sprawy. ${\ Displaystyle X}$

Referencje