Pachet normal - Normal bundle

În geometria diferențială , un câmp al matematicii , un pachet normal este un fel particular de pachet vectorial , complementar cu pachetul tangent și care provine dintr-o încorporare (sau imersiune ).

Definiție

Colector Riemannian

Să fie o varietate riemanniană și un submanifold riemannian . Definiți, pentru un anumit , un vector care să fie normal de fiecare dată pentru toți (deci este ortogonal la ). Setul de toate acestea este numit apoi spațiul normal la at . ${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle S \ subset M}$${\ displaystyle p \ in S}$${\ displaystyle n \ in \ mathrm {T} _ {p} M}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle g (n, v) = 0}$${\ displaystyle v \ in \ mathrm {T} _ {p} S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {T} _ {p} S}$${\ displaystyle \ mathrm {N} _ {p} S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle p}$

La fel cum spațiul total al mănunchiului tangent la o galerie este construit din toate spațiile tangente la galerie, spațiul total al pachetului normal de a fi definit ca fiind ${\ displaystyle \ mathrm {N} S}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ mathrm {N} S: = \ coprod _ {p \ in S} \ mathrm {N} _ {p} S}$.

Pachetul conormal este definit ca pachetul dublu față de pachetul normal. Poate fi realizat în mod natural ca un sub-pachet al pachetului cotangent .

Definiție generală

Mai abstract, având în vedere o imersiune (de exemplu un embedding), se poate defini un pachet normal N în M , de la fiecare punct de N , luând spațiul câtul al spațiului tangent la M prin spatiul tangent pe N . Pentru o varietate riemanniană se poate identifica acest coeficient cu complementul ortogonal, dar în general nu se poate (o astfel de alegere este echivalentă cu o secțiune a proiecției ). ${\ displaystyle i \ colon N \ to M}$${\ displaystyle V \ to V / W}$

Astfel, pachetul normal este, în general, un coeficient al mănunchiului tangent al spațiului ambiant restrâns la subspațiu.

Formal, pachetul normal la N în M este un pachet de cote din pachetul tangent pe M : unul are secvența exactă scurtă de pachete vectoriale pe N :

${\ displaystyle 0 \ to TN \ to TM \ vert _ {i (N)} \ to T_ {M / N}: = TM \ vert _ {i (N)} / TN \ to 0}$

unde este restricția pachetului tangent de la M la N (corect, retragerea pachetului tangent de pe M la un pachet vectorial pe N prin hartă ). Fibra pachetului normal din este denumită spațiul normal la (de la ). ${\ displaystyle TM \ vert _ {i (N)}}$${\ displaystyle i ^ {*} TM}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle T_ {M / N} {\ overset {\ pi} {\ twoheadrightarrow}} N}$${\ displaystyle p \ in N}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$

Pachetul conormal

În cazul în care este o submanifold buna a unei galerii , putem alege coordonatele locale în jurul astfel încât este definit la nivel local de către ; apoi cu această alegere a coordonatelor ${\ displaystyle Y \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ puncte, x_ {n})}$${\ displaystyle p \ in Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x_ {k + 1} = \ dots = x_ {n} = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} T_ {p} X & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} | _ {p}, \ puncte , {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\ T_ {p} Y & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} | _ {p}, \ dots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \ \ {T_ {X / Y}} _ {p} & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k + 1}}} | _ {p}, \ dots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\\ end {aliniat}}}$

iar foaia ideală este generată local de . Prin urmare, putem defini o împerechere nedegenerată ${\ displaystyle x_ {1}, \ puncte, x_ {k}}$

${\ displaystyle (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) _ {p} \ times {T_ {X / Y}} _ {p} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$

care induce un izomorfism al cojilor . Putem reformula acest fapt introducând pachetul conormal definit prin secvența exactă conormală${\ displaystyle T_ {X / Y} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) ^ {\ vee}}$

${\ displaystyle 0 \ to T_ {X / Y} ^ {*} \ rightarrowtail \ Omega _ {X} ^ {1} | _ {Y} \ twoheadrightarrow \ Omega ^ {1} Y \ to 0}$.

apoi , viz. secțiunile mănunchiului conormal sunt vectorii cotangenți pentru a dispărea . ${\ displaystyle T_ {X / Y} ^ {*} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle TY}$

Când este un punct, atunci foaia ideală este cea a germenilor netezi care dispar, iar izomorfismul se reduce la definirea spațiului tangent în termeni de germeni cu funcții netede pe${\ displaystyle Y = \ lbrace p \ rbrace}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle T_ {X / \ lbrace p \ rbrace} ^ {*} \ simeq (T_ {p} X) ^ {\ vee} \ simeq {\ frac {{\ mathfrak {m}} _ {p}} { {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {2}}}}$.

Pachet normal stabil

Colectiile abstracte au un pachet tangent canonic , dar nu au un pachet normal: doar o înglobare (sau imersie) a unui colector într-o alta produce un pachet normal. Cu toate acestea, din moment ce fiecare colecție poate fi încorporată , prin teorema de încorporare a lui Whitney , fiecare colectiv admite un pachet normal, având în vedere o astfel de încorporare. ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$

În general, nu există o alegere naturală de încorporare, dar pentru o dată M , orice două încorporari în N suficient de mari sunt homotopice obișnuite și, prin urmare, induc același pachet normal. Clasa rezultată de pachete normale (este o clasă de pachete și nu un pachet specific, deoarece N ar putea varia) se numește pachet normal stabil . ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$

Pachetul dual-tangent

Pachetul normal este dublu față de pachetul tangent în sensul teoriei K : prin secvența exactă de mai sus,

${\ displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = [TM]}$

în grupul Grothendieck . În cazul unei imersiuni în interior, mănunchiul tangent al spațiului ambiental este banal (deoarece este contractibil, deci paralelizabil ), deci și astfel . ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$${\ displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = 0}$${\ displaystyle [T_ {M / N}] = - [TN]}$

Acest lucru este util în calculul claselor caracteristice și permite unul să dovedească limite mai mici în ceea ce privește imersibilitatea și încorporarea multiplelor în spațiul euclidian .

Pentru varietăți simplectice

Să presupunem că o varietate este încorporată într-o varietate simplectică , astfel încât retragerea formei simplectice are un rang constant . Apoi se poate defini pachetul normal simplectic la X ca pachetul vectorial peste X cu fibre ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (M, \ omega)}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega} / (T_ {i (x)} X \ cap (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega}), \ quad x \ in X,}$

unde denotă încorporarea. Observați că starea de rang constant asigură că aceste spații normale se potrivesc pentru a forma un pachet. Mai mult, orice fibră moștenește structura unui spațiu vector simplectic.${\ displaystyle i: X \ rightarrow M}$

Prin teorema lui Darboux , încorporarea de rang constant este determinată local de . Izomorfismul ${\ displaystyle i ^ {*} (TM)}$

${\ displaystyle i ^ {*} (TM) \ cong TX / \ nu \ oplus (TX) ^ {\ omega} / \ nu \ oplus (\ nu \ oplus \ nu ^ {*}), \ quad \ nu = TX \ cap (TX) ^ {\ omega},}$

a pachetelor de vector simplectice implică faptul că pachetul normal simplectic determină deja încorporarea gradului constant. Această caracteristică este similară cu cazul Riemannian. ${\ displaystyle X}$

Referințe