Normal bunt - Normal bundle

I differensialgeometri , et matematikkfelt , er et normalt bunt en spesiell type vektorbunt , komplementær til tangentbunten , og kommer fra en innebygning (eller nedsenking ).

Definisjon

Riemannisk manifold

La være en Riemann-manifold og en Riemann-undermanifold . Definer, for en gitt , en vektor som skal være normal for når som helst for alle (så det er ortogonalt for ). Settet av alle slike kalles da den normale plass til på . ${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle S \ subset M}$${\ displaystyle p \ in S}$${\ displaystyle n \ in \ mathrm {T} _ {p} M}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle g (n, v) = 0}$${\ displaystyle v \ in \ mathrm {T} _ {p} S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {T} _ {p} S}$${\ displaystyle \ mathrm {N} _ {p} S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle p}$

Akkurat som den totale plassen til tangentbunten til en manifold er konstruert fra alle tangentrom til manifolden, blir det totale rommet for normalbuntet til definert som ${\ displaystyle \ mathrm {N} S}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ mathrm {N} S: = \ coprod _ {p \ in S} \ mathrm {N} _ {p} S}$.

Den konormale bunten er definert som dobbeltbunten til den vanlige bunten. Det kan realiseres naturlig som et underbunt av cotangentbunten .

Generell definisjon

Mer abstrakt, gitt en nedsenkning (for eksempel en innstøping), kan man definere en vanlig bunt av N i M , ved i hvert punkt av N , ta kvotienten plass til tangenten på plass M av tangenten på plass N . For en Riemann-manifold kan man identifisere denne kvotienten med det ortogonale komplementet, men generelt kan man ikke (et slikt valg tilsvarer en del av projeksjonen ). ${\ displaystyle i \ colon N \ to M}$${\ displaystyle V \ to V / W}$

Normalt bunt er således generelt en kvotient av tangentbunten i omgivelsesområdet begrenset til underområdet.

Formelt sett er det normale buntet til N i M et kvotientbunt av tangentbunten på M : man har den korte eksakte sekvensen av vektorbunter på N :

${\ displaystyle 0 \ to TN \ to TM \ vert _ {i (N)} \ to T_ {M / N}: = TM \ vert _ {i (N)} / TN \ to 0}$

hvor er begrensningen av tangentbunten på M til N (riktig, tilbaketrekkingen av tangentbunten på M til en vektorbunt på N via kartet ). Fiberen fra det normale buntet i blir referert til som det normale rommet ved (av inn ). ${\ displaystyle TM \ vert _ {i (N)}}$${\ displaystyle i ^ {*} TM}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle T_ {M / N} {\ overset {\ pi} {\ twoheadrightarrow}} N}$${\ displaystyle p \ in N}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$

Vanlig bunt

Hvis er en jevn undermanifold av en manifold , kan vi velge lokale koordinater rundt slikt som er lokalt definert av ; da med dette valget av koordinater ${\ displaystyle Y \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle p \ in Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x_ {k + 1} = \ prikker = x_ {n} = 0}$

${\ displaystyle {\ begynne {linje} T_ {p} X & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} | _ {p}, \ dots , {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\ T_ {p} Y & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ delvis} {\ delvis x_ {1}}} | _ {p}, \ prikker, {\ frac {\ delvis} {\ delvis x_ {k}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \ \ {T_ {X / Y}} _ {p} & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ parti} {\ delvis x_ {k + 1}}} | _ {p}, \ prikker, {\ frac {\ delvis} {\ delvis x_ {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\\ slutten {justert}}}$

og den ideelle skjeven genereres lokalt av . Derfor kan vi definere en ikke-degenerert sammenkobling ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$

${\ displaystyle (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) _ {p} \ ganger {T_ {X / Y}} _ {p} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$

som induserer en isomorfisme av skjær . Vi kan omformulere dette faktum ved å introdusere det konormale buntet som er definert via den konormale eksakte sekvens${\ displaystyle T_ {X / Y} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) ^ {\ vee}}$

${\ displaystyle 0 \ to T_ {X / Y} ^ {*} \ rightarrowtail \ Omega _ {X} ^ {1} | _ {Y} \ twoheadrightarrow \ Omega ^ {1} Y \ to 0}$,

da , nemlig seksjonene av den konormale bunten er de cotangente vektorene å forsvinne på . ${\ displaystyle T_ {X / Y} ^ {*} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle TY}$

Når er et poeng, så er den ideelle skjæven kysten av glatte bakterier som forsvinner ved, og isomorfismen reduserer til definisjonen av tangensrommet når det gjelder bakterier med glatte funksjoner på${\ displaystyle Y = \ lbrace p \ rbrace}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle T_ {X / \ lbrace p \ rbrace} ^ {*} \ simeq (T_ {p} X) ^ {\ vee} \ simeq {\ frac {{\ mathfrak {m}} _ {p}} { {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {2}}}}$.

Stabil normal bunt

Abstrakte manifolder har et kanonisk tangentbunt, men har ikke et normalt bunt: bare en innebygning (eller neddykking) av en manifold i en annen gir et normalt bunt. Men siden hver manifold kan være innebygd , ved Whitney innebygde teorem , innrømmer hver manifold et normalt bunt, gitt en slik innebygning. ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$

Det er generelt ingen naturlig valg for innebygging, men for en gitt M , hvilke som helst to forsenkninger i for tilstrekkelig stor N er vanlig homotopic , og følgelig fremkalle den samme normale bunten. Den resulterende klasse av normale pakker (det er en klasse av bunter og ikke en spesifikk bunt fordi N kan variere) kalles stabil normal bunten . ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$

Dobbelt til tangentbunt

Det normale buntet er dobbelt for tangentbunten i betydningen K-teori : av den ovennevnte korte eksakte sekvens,

${\ displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = [TM]}$

i Grothendieck-gruppen . I tilfelle en fordypning i , er tangentbunten i omgivelsesområdet trivielt (siden er sammentrekkelig, derav parallelliserbar ), så og dermed . ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$${\ displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = 0}$${\ displaystyle [T_ {M / N}] = - [TN]}$

Dette er nyttig i beregningen av karakteristiske klasser , og gjør det mulig å bevise lavere grenser for forgrenbarhet og forankring av manifolder i euklidisk rom .

For symplektiske manifolder

Anta at en grenrør er innebygd i en symplektisk manifold , slik at tilbaketrekkingen av den symplektiske formen har konstant rang . Så kan man definere det symplektiske normale buntet til X som vektorbunten over X med fibre ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (M, \ omega)}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega} / (T_ {i (x)} X \ cap (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega}), \ quad x \ i X,}$

hvor betegner innebygningen. Legg merke til at tilstanden med konstant rangering sikrer at disse normale rommene passer sammen for å danne en bunt. Videre arver enhver fiber strukturen til et symplektisk vektorrom.${\ displaystyle i: X \ rightarrow M}$

Ved Darboux 'teorem bestemmes den konstante rangeringens innbygging lokalt av . Isomorfismen ${\ displaystyle i ^ {*} (TM)}$

${\ displaystyle i ^ {*} (TM) \ cong TX / \ nu \ oplus (TX) ^ {\ omega} / \ nu \ oplus (\ nu \ oplus \ nu ^ {*}), \ quad \ nu = TX \ cap (TX) ^ {\ omega},}$

av symplektiske vektorbunter over impliserer at den symplektiske normale bunten allerede bestemmer den konstante rangingen innebygd lokalt. Denne funksjonen ligner på Riemannian-saken. ${\ displaystyle X}$

referanser