pacote Normal - Normal bundle

Na geometria diferencial , um campo de matemática , um pacote normal, é um tipo particular de feixe vector , complementares para o feixe de tangente , e proveniente de uma incorporação (ou imersão ).

Definição

colector riemannian

Vamos ser um colector de Riemannian , e uma subvariedade Riemannianos . Definir, para um dado , um vector para ser normal, para sempre por todos (de modo que é ortogonal a ). O conjunto de todas essas é então chamado o espaço normal para a . ${\ Displaystyle (M, g)}$${\ Displaystyle S \ H} subconjunto$${\ Displaystyle p \ em S}$${\ Displaystyle n \ no \ mathrm {T} _ {p} H}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle g (n, v) = 0}$${\ Displaystyle v \ in \ mathrm {T} _ {p} S}$${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle \ mathrm {T} _ {p} S}$${\ Displaystyle \ mathrm {N} _ {P} S}$${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle p}$

Da mesma forma que o espaço total do feixe tangente a um colector é construído a partir de todos os espaços de tangência para o colector, o espaço total do pacote normal, a é definido como ${\ Displaystyle \ mathrm {N} S}$${\ Displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ mathrm {N} S: = \ COPROD _ {p \ em S} \ mathrm {N} _ {P} S}$.

O feixe conormal é definido como o duplo feixe para o pacote normal. Ele pode ser realizado naturalmente como um sub-feixe do feixe co-tangente .

definição geral

Mais em abstracto, dada uma imersão (por exemplo, uma incorporação), pode-se definir um pacote normal do N em H , por em cada ponto de N , tendo o espaço quociente do espaço tangente em M pelo espaço tangente em N . Para um colector Riemannianos pode-se identificar este quociente com o complemento ortogonal, mas em geral não é possível (uma tal escolha é equivalente a uma secção da projecção ). ${\ I \ displaystyle cólon N \ a M}$${\ Displaystyle V \ a V / W}$

Assim, o pacote normal é em geral um quociente do feixe tangente do espaço ambiente restrito ao subespaço.

Formalmente, o pacote normal N em H é um feixe quociente do feixe tangente em H : uma tem a sequência exacta curto de feixes do vetor no N :

${\ Displaystyle 0 \ a TN \ a TM \ vert _ {I (n)} \ a T_ {M / N}: = TM \ vert _ {I (n)} / TN \ a 0}$

onde é a restrição do feixe tangente em M para N (adequadamente, o recuo do feixe tangente em M para um feixe de vector em N através do mapa ). A fibra do feixe normais em é referida como o espaço normal em (de em ). ${\ Displaystyle TM \ vert _ {I (n)}}$${\ Displaystyle i ^ {*} TM}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle T_ {M / N} {\ excesso de tipos {\ pi} {\ twoheadrightarrow}} N}$${\ Displaystyle p \ em N}$${\ Displaystyle p}$${\ N} displaystyle$${\ Displaystyle M}$

pacote Conormal

Se é uma subvariedade suave de um colector , podemos escolher coordenadas locais em torno de tal modo que é localmente definida por ; em seguida, com esta escolha de coordenadas ${\ Displaystyle Y \ X} subseteq$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (x_ {1}, \ pontos, x_ {n})}$${\ Displaystyle p \ em Y}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle x_ {k + 1} = \ pontos = x_ {n} = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} T_ {p} X & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partial} {\ x_ parcial {1}}} | _ {p}, \ dots , {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\ T_ {p} Y & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partial} {\ x_ parcial {1}}} | _ {p}, \ pontos, {\ frac {\ partial} {\ x_ parcial {k}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \ \ {T_ {X / Y}} _ {p} & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {k + 1}}} | _ {p}, \ pontos, {\ frac {\ partial} {\ x_ parcial {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\\ end {alinhado}}}$

eo molho ideal é gerado localmente por . Portanto, podemos definir um emparelhamento não degenerado ${\ Displaystyle x_ {1}, \ pontos, x_ {k}}$

${\ Displaystyle (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) _ {p} \ vezes {T_ {X / Y}} _ {p} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$

que induz um isomorfismo dos feixes . Podemos reformular este facto, introduzindo o maço conormal definido através da sequência exacta conormal${\ Displaystyle T_ {X / Y} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) ^ {\ vee}}$

${\ Displaystyle 0 \ a T_ {X / Y} ^ {*} \ rightarrowtail \ Omega _ {X} ^ {1} | _ {Y} \ twoheadrightarrow \ Omega ^ {1} Y \ to 0}$,

em seguida , viz. as seções do pacote conormal são os vetores cotangente a desaparecer em . ${\ Displaystyle T_ {X / Y ^} {*} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle TY}$

Quando é um ponto, em seguida, o molho ideal é o maço de germes lisas de fuga na ea isomorfismo reduz para a definição do espaço tangente em termos de germes de funções suaves sobre${\ Displaystyle Y = \ lbrace p \} rbrace$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle T_ {X / \ lbrace p \ rbrace} ^ {*} \ simeq (T_ {p} X) ^ {\ vee} \ simeq {\ frac {{\ mathfrak {m}} _ {p}} { {\ mathfrak {m}} p {_} ^ {2}}}}$.

fibrado normal estável

Abstract colectores tem um canónica feixe tangente, mas não têm um pacote normal de: somente uma incorporação (ou imersão) de um colector na outra rendimentos um pacote normal. No entanto, uma vez que cada tubo de distribuição pode ser incorporada em , pelo teorema da imersão Whitney , cada colector admite um pacote normal, dada uma tal incorporação. ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$

Não é, em geral, nenhuma escolha natural de incorporar, mas para um dado H , quaisquer duas incorporações em para suficientemente grande N são homotópicas regulares , e, portanto, induzir o mesmo pacote normal. A classe resultante de feixes normais (isto é uma classe de pacotes e não um feixe específico porque N pode variar) é chamado o fibrado normal estável . ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$

Dupla à tangente pacote

O pacote normal é duplo para o feixe tangente no sentido de K-teoria : pela sequência exacta curta acima,

${\ Displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = [TM]}$

no grupo Grothendieck . No caso de uma imersão em , o feixe tangente do espaço ambiente é trivial (uma vez que é contraível, daí paralelizável ), de modo , e, assim, . ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$${\ Displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = 0}$${\ Displaystyle [T_ {M / N}] = - [TN]}$

Isto é útil no cálculo de classes características , e permite provar limites inferiores em imersibilidade e embeddability de manifolds em espaço euclidiano .

Para variedades simpléticas

Suponhamos que um colector está embutido em uma variedade simpléctica , de tal modo que a retirada da forma simpléctica tem posto constante no . Em seguida, pode-se definir o feixe normais simpléctica a X como o feixe ao longo do vector X com fibras ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle (H, \ omega)}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega} / (T_ {i (x)} X \ tampa (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega}), \ quad x \ em X,}$

onde indica a incorporação. Note-se que a condição de posto constante assegura que estes espaços normais se encaixam para formar um pacote. Além disso, qualquer fibra herda a estrutura de um espaço vectorial simpléctica.${\ Displaystyle i: X \ rightarrow M}$

Pelo teorema de Darboux , o posto incorporação constante é localmente determinado pelo . o isomorfismo ${\ Displaystyle i * (TM)}$

${\ Displaystyle i ^ {*} (TM) \ cong TX / \ nu \ oplus (TX) ^ {\ omega} / \ nu \ oplus (\ nu \ oplus \ nu ^ {*}), \ quad \ nu = TX \ cap (TX) ^ {\ omega},}$

de simpléctica vector feixes sobre implica que o pacote normal de simpléctica já determina o posto constante incorporar localmente. Este recurso é similar ao caso de Riemann. ${\ Displaystyle X}$

Referências