Pakiet wektorowy — Vector bundle

(nieskończenie rozciągnięty) pasek Möbiusa jest wiązką liniową nad 1-sferą S ¹ . Lokalnie wokół każdego punktu na S ¹ , to wygląda U x R (gdzie U jest otwarte łuku tym punktem), ale całkowita wiązka jest inna S ¹ x R (jest to cylinder zamiast).

W matematyce , A wiązki wektor jest topologiczna konstrukcja sprawia, że dokładny koncepcję rodziny przestrzeni wektor sparametryzowanego innego miejsca X (na przykład, X może być topologii powierzchni , a kolektor , lub algebraiczną różne ): dla każdego punktu X na przestrzeń X kojarzymy (lub „doczepiamy”) przestrzeń wektorową V ( x ) w taki sposób, że te przestrzenie wektorowe dopasowują się do siebie, tworząc inną przestrzeń tego samego rodzaju co X (np. przestrzeń topologiczna, rozmaitość lub rozmaitość algebraiczna) , który jest następnie nazywany wiązką wektorów nad X .

Najprostszym przykładem jest przypadek, w którym rodzina przestrzeni wektorowych jest stała, tj. istnieje stała przestrzeń wektorowa V taka, że V ( x ) = V dla wszystkich x w X : w tym przypadku istnieje kopia V dla każdego x w X i te kopie dopasowują się do siebie, tworząc wiązkę wektorów X × V nad X . Mówi się, że takie wiązki wektorowe są trywialne . Bardziej skomplikowane (i prototypowa) klasa przykładów są wiązki styczne z gładkich (lub różniczkowalnych) kolektorów : dla każdego punktu takiego rozdzielacza kładziemy na powierzchni stycznej do kolektora w tym punkcie. Wiązki styczne nie są na ogół wiązkami trywialnymi. Na przykład wiązka styczna kuli nie jest trywialna według twierdzenia o włochatej kuli . Ogólnie mówi się, że rozmaitość jest paralelizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiązka styczna jest trywialna.

Wiązki wektorowe prawie zawsze muszą być jednak lokalnie trywialne , co oznacza, że są przykładami wiązek włókien . Ponadto przestrzenie wektorowe zwykle muszą znajdować się nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, w którym to przypadku wiązka wektorów jest określana jako wiązka rzeczywista lub złożona (odpowiednio). Złożone wiązki wektorów można oglądać jako rzeczywiste wiązki wektorów z dodatkową strukturą. W dalszej części skupimy się na rzeczywistych wiązkach wektorowych w kategorii przestrzeni topologicznych .

Definicja i pierwsze konsekwencje

Wiązka wektorowa nad bazą . Punkt na odpowiada pochodzenia włókna wiązki wektora , a to włókno jest mapowany do punktu przez występ .

{\ Displaystyle E}

{\ Displaystyle M}

m_{1}

{\ Displaystyle M}

{\ Displaystyle E_ {m_ {1}}}

{\ Displaystyle E}

m_{1}

{\ Displaystyle \ pi : E \ do M}

Prawdziwy wiązka wektorowa składa się z:

przestrzenie topologiczne X ( przestrzeń bazowa ) i E ( przestrzeń całkowita )
ciągły surjection $π$ : E → X ( wiązka występ )
dla każdego x w X , struktura skończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej na włóknie $π$ ^-1 ({ x })

gdzie spełniony jest warunek zgodności: dla każdego punktu p w X , istnieje otwarte sąsiedztwo U ⊆ X z p , liczba naturalna k i homeomorfizm

{\ Displaystyle \ varphi \ dwukropek U \ razy \ mathbf {R} ^ {k} \ do \ pi ^ {-1} (U)}

tak, że dla wszystkich x ∈ U ,

${\ Displaystyle (\ pi \ circ \ varphi ) (x, v) = x}$ dla wszystkich wektorów v w R ^k , oraz
odwzorowanie jest liniowym izomorfizmem między przestrzeniami wektorowymi R ^k i $π$ ⁻¹ ({ x }). ${\ Displaystyle v \ mapsto \ varphi (x, v)}$

Otwarte sąsiedztwo U wraz z homeomorfizmem nazywamy lokalną trywializacją wiązki wektorowej. Z trywializacji lokalnej wynika, że lokalnie mapa $π$ „wygląda jak” rzut U × R ^k na U . $\varphi$

Każde włókno $π$ ^-1 ({ x }) jest skończenie wymiarową rzeczywistą przestrzenią wektorową, a zatem ma wymiar k _x . Lokalne trivializations pokazują, że funkcja x ↦ k _x jest lokalnie stała , a zatem jest stała na każdym podłączonym urządzeniu z X . Jeśli k _x jest równe stałej k na wszystkich X , to k nazywamy rządem wiązki wektorowej, a E jest wiązką wektorów rzędu k . Często definicja wiązki wektorowej obejmuje to, że rząd jest dobrze zdefiniowany, więc k _x jest stałe. Wiązki wektorowe rangi 1 nazywane są wiązkami liniowymi , podczas gdy te o randze 2 są rzadziej nazywane wiązkami płaskimi.

Iloczyn X x R ^K , wyposażonej w projekcji X x R ^k → X , nazywany jest trywialne wiązkę Rank k nad X .

Funkcje przejścia

Dwie trywialne wiązki wektorowe nad otwartymi zbiorami i mogą być sklejone na przecięciu przez funkcje przejścia, które służą do sklejania zacienionych szarych obszarów razem po zastosowaniu transformacji liniowej do włókien (zwróć uwagę na transformację niebieskiego czworokąta pod wpływem ). Różne wybory funkcji przejścia mogą skutkować różnymi wiązkami wektorowymi, które nie są trywialne po zakończeniu klejenia.

{\ Displaystyle U_ {\ alfa}}

U_{\beta}

{\ Displaystyle U_ {\ alfa \ beta}}

{\ Displaystyle g_ {\ alfa \ beta}}

{\ Displaystyle g_ {\ alfa \ beta}}

Taśmy Möbiusa może być wykonana przez nietrywialną klejenia dwóch wiązek trywialne na otwartych podzbiorów U i V okręgu S ¹ . Przy sklejeniu trywialnym (przy g _UV =1 ) otrzymujemy wiązkę trywialną, ale przy nietrywialnym sklejeniu g _UV =1 na jednej zakładce i g _UV =-1 na drugiej zakładce, otrzymujemy nietrywialną wiązkę E , wstęga Möbiusa. Można to zobrazować jako „skręcenie” jednego z lokalnych wykresów.

Mając wiązkę wektorową E → X rzędu k , oraz parę otoczeń U i V, nad którymi wiązka trywializuje poprzez

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ varphi _ {U} \ dwukropek U \ razy \ mathbf {R} ^ {k} i \ mathrel {\ xrightarrow {\ cong}} \ pi ^ {-1} (U) ,\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbf {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{wyrównany}} }

funkcja złożona

{\ Displaystyle \ varphi _ {U} ^ {-1} \ circ \ varphi _ {V} \ dwukropek (U \ czapka V) \ razy \ mathbf {R} ^ {k} \ do (U \ czapka V) \ razy \mathbf {R} ^{k}}

jest dobrze zdefiniowany na nakładaniu i spełnia

{\ Displaystyle \ varphi _ {U} ^ {-1} \ circ \ varphi _ {V} (x, v) = \ lewo (x, g_ {UV} (x) v \ prawej)}

dla niektórych funkcji o wartościach GL( k )

{\ Displaystyle g_ {UV} \ dwukropek U \ czapka V \ do \ operatorname {GL} (k).}

Są to tak zwane funkcje przejścia (lub przekształcenia współrzędnych ) wiązki wektorowej.

Zbiór funkcji przejściowych tworzy kocykl Čecha w tym sensie, że

{\ Displaystyle g_ {UU} (x) = ja, \ quad g_ {UV} (x) g_ {VW} (x) g_ {WU} (x) = ja}

dla wszystkich U , V , W , nad którymi wiązka trywializuje zadowalająco . Zatem dane ( E , X , $π$ , R ^k ) definiują wiązkę włókien ; dodatkowe dane g _UV określają grupę struktur GL( k ), w której działanie na włókno jest działaniem standardowym GL( k ). ${\ Displaystyle U \ czapka V \ czapka W \ neq \ pusty zestaw}$

Z drugiej strony, ze względu na wiązki włókien ( E , X , $π$ , R ^k ) z GL ( k ) cocycle działającej w zwykły sposób na włókna R ^k , nie wiąże się wiązkę wektorowych. Jest to przykład twierdzenia o konstrukcji wiązki włókien dla wiązek wektorowych i może być traktowany jako alternatywna definicja wiązki wektorowej.

Podgrupy

Podwiązka liniowa wiązki wektorowej trywialnej rzędu 2 nad rozmaitością jednowymiarową .

{\ Displaystyle L}

{\ Displaystyle E}

{\ Displaystyle M}

Jedną z prostych metod konstruowania wiązek wektorowych jest pobranie podwiązek innych wiązek wektorowych. Biorąc pod uwagę pakiet wektor nad topologicznej przestrzeni, subbundle jest po prostu podprzestrzeń dla którego ograniczenie od celu daje strukturę wiązki wektorowej również. W tym przypadku światłowód jest podprzestrzenią wektorową dla każdego . ${\ Displaystyle \ pi : E \ do X}$ ${\ Displaystyle F \ podzbiór E}$ ${\ Displaystyle \ lewo. \ pi \ prawo | _ {F}}$ $\pi$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ lewo. \ pi \ prawo | _ {F}: F \ do X}$ ${\ Displaystyle F_ {x} \ podzbiór E_ {x}}$ ${\ Displaystyle x \ w X}$

Podwiązka wiązki trywialnej nie musi być trywialna i rzeczywiście każda rzeczywista wiązka wektorowa może być postrzegana jako podwiązka wiązki trywialnej o odpowiednio wysokiej randze. Na przykład wstęga Möbiusa , nietrywialna wiązka linii nad kołem, może być postrzegana jako podwiązka trywialnej wiązki drugiego rzędu nad kołem.

Morfizmy wiązki wektorowej

Morfizmem z wiązki wektora $gatunku$ ₁ : e ₁ → X ₁ do wiązki wektora $π$ ₂ : e ₂ → X ₂ jest przez parę ciągłych mapy f : E ₁ → E ₂ i g : X ₁ → X ₂ , takie że

g ∘

π

₁ =

π

₂ ∘ f

dla każdego x w X ₁ , odwzorowanie

π

₁^-1 ({ x }) →

π

₂^-1 ({ g ( x )}) indukowane przez f jest odwzorowaniem liniowym między przestrzeniami wektorowymi.

Zauważ, że g jest określane przez f (ponieważ $π$ ₁ jest surjektywne), i mówi się, że f obejmuje g .

Klasa wszystkich wiązek wektorowych wraz z morfizmami wiązek tworzy kategorię . Ograniczając się do wiązek wektorowych, dla których przestrzenie są rozmaitościami (a rzuty wiązek są gładkimi mapami) i gładkimi morfizmami wiązek, otrzymujemy kategorię gładkich wiązek wektorowych. Morfizmy wiązek wektorowych są szczególnym przypadkiem pojęcia mapy wiązkowej między wiązkami włókien i są również często nazywane homomorfizmami wiązek (wektorowych) .

Pakiet homomorfizm z e ₁ do E ₂ z odwrotności który jest również pakiet homomorfizm (od E ₂ do E ₁ ) nazywamy (wektor) wiązki Izomorfizm , a następnie e ₁ a E ₂ są uważane izomorficzne wiązki wektorowej. Izomorfizmem z (pozycja K ) wektor wiązka e się X z trywialne wiązki (z rang k nad X ) nazywamy Banalizacja od E , a E jest wówczas mówi się trywialne (lub trivializable ). Definicja wiązki wektorowej pokazuje, że dowolna wiązka wektorowa jest lokalnie trywialna .

Możemy również rozważyć kategorię wszystkich wiązek wektorowych nad ustaloną przestrzenią bazową X . Jako morfizmy w tej kategorii przyjmujemy te morfizmy wiązek wektorowych, których odwzorowanie na przestrzeni bazowej jest odwzorowaniem tożsamości na X . Czyli morfizmy wiązki, dla których komutuje następujący diagram :

(Zauważ, że ta kategoria nie jest abelowa ; jądro morfizmu wiązek wektorowych nie jest generalnie wiązką wektorów w żaden naturalny sposób.)

Morfizm wiązki wektorowej między wiązkami wektorowymi $π$ ₁ : E ₁ → X ₁ i $π$ ₂ : E ₂ → X ₂ pokrywający mapę g od X ₁ do X ₂ można również postrzegać jako morfizm wiązki wektorowej nad X ₁ od E ₁ do pullback wiązka g * e ₂ .

Sekcje i lokalnie wolne snopy

Wiązka wektorowa na podstawie z przekrojem .

{\ Displaystyle E}

{\ Displaystyle M}

s

Mapa łącząca normalną z każdym punktem na powierzchni może być traktowana jako przekrój. Powierzchnia jest przestrzenią X , aw każdym punkcie x jest wektor w przestrzeni wektorowej dołączony w x .

Biorąc pod uwagę, wektor wiązka $π$ : E → X i otwartym podzbiór U z X , można rozważyć sekcje o $Õ$ na U , to ciągłe funkcje S : U → E , gdzie złożony $π$ ∘ y jest taka, że ( $π$ ∘ s ) ( u ) = u dla wszystkich u w U . Zasadniczo sekcja przypisuje każdemu punktowi U wektor z dołączonej przestrzeni wektorowej w sposób ciągły. Na przykład odcinki wiązki stycznej rozmaitości różniczkowej są niczym innym jak polami wektorowymi na tej rozmaitości.

Niech F ( U ) będzie zbiorem wszystkich sekcjach dotyczących U . F ( U ) zawsze zawiera przynajmniej jeden element, a mianowicie sekcję zerową : funkcję s, która odwzorowuje każdy element x z U na element zerowy przestrzeni wektorowej $π$ ⁻¹ ({ x }). Dzięki dodawaniu punktowemu i mnożeniu odcinków przez skalar, F ( U ) staje się rzeczywistą przestrzenią wektorową. Zbiór tych przestrzeni wektorowych jest snopem przestrzeni wektorowych na X .

Jeśli s jest elementem F ( U ), a α: U → R jest odwzorowaniem ciągłym, to α s (mnożenie przez skalar punktowy) jest w F ( U ). Widać, że F ( u ) jest modułem przez pierścień ciągłych o wartościach rzeczywistych funkcji na U . Ponadto, jeśli O _X oznacza snop struktury ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych na X , wtedy F staje się snopem modułów O _X.

Nie każdy snop modułów O _X powstaje w ten sposób z wiązki wektorowej: robią to tylko te lokalnie wolne . (Powód: lokalnie szukamy odcinków rzutu U × R ^k → U ; są to dokładnie funkcje ciągłe U → R ^k , a taka funkcja jest k -krotką funkcji ciągłych U → R .)

Co więcej: kategoria rzeczywistych wiązek wektorowych na X jest równoważna kategorii lokalnie swobodnych i skończenie generowanych snopów modułów O _X.

Możemy więc myśleć o kategorii rzeczywistych wiązek wektorowych na X jako o mieszczącej się w kategorii snopów modułów O _X ; ta ostatnia kategoria jest abelowa, więc tutaj możemy obliczyć jądra i kokernele morfizmów wiązek wektorowych.

Wiązka wektorowa rzędu n jest trywialna wtedy i tylko wtedy, gdy ma n liniowo niezależnych sekcji globalnych.

Operacje na wiązkach wektorowych

Większość operacji na przestrzeniach wektorowych można rozszerzyć do wiązek wektorowych, wykonując operację na przestrzeni wektorowej włóknem .

Na przykład, jeśli E jest wiązką wektorów nad X , to istnieje wiązka E* nad X , zwana wiązką podwójną , której włókno w x ∈ X jest podwójną przestrzenią wektorową ( E _x )*. Formalnie E* można zdefiniować jako zbiór par ( x , φ), gdzie x ∈ X i φ ∈ ( E _x )*. Wiązka dualna jest lokalnie trywialna, ponieważ przestrzeń dualna odwrotności lokalnej trywializacji E jest lokalną trywializacją E* : kluczową kwestią jest tutaj to, że operacja wzięcia podwójnej przestrzeni wektorowej jest funkcyjna .

Istnieje wiele operacji funkcjonalnych, które można wykonać na parach przestrzeni wektorowych (na tym samym polu), a te rozciągają się bezpośrednio na pary wiązek wektorowych E , F na X (na danym polu). Oto kilka przykładów.

Suma Whitney (nazwany Hassler Whitney ) lub bezpośrednie suma wiązki o E i F jest wektorem wiązka E ⊕ F przez X , której włókna na X jest bezpośrednim suma e _x ⊕ M _x z przestrzeni wektorowej E _X i K _X .
Produkt napinacz wiązka E ⊗ F jest określony w podobny sposób, przy użyciu fiberwise tensorowy produkt przestrzeni wektorowej.
Hom wiązka hom ( E , F ) jest zestawem wektorów, których włókna w X jest przestrzeń map liniowych z E _x do F _x (która często jest oznaczana hom ( e _x , M _x ) lub l ( e _x , F _x )). Wiązka Hom jest tak zwana (i użyteczna), ponieważ istnieje bijektacja między homomorfizmami wiązki wektorowej od E do F przez X i sekcjami Hom( E , F ) przez X .
Bazując na poprzednim przykładzie, biorąc pod uwagę odcinek s wiązki endomorfizmu Hom( E , E ) i funkcję f : X → R , można skonstruować wiązkę własną , przejmując włókno nad punktem x ∈ X jako f ( x )- przestrzeń własna odwzorowania liniowego s ( x ): E _x → E _x . Chociaż ta konstrukcja jest naturalna, jeśli nie zostanie zachowana ostrożność, powstały obiekt nie będzie miał lokalnych trywializacji. Rozważmy przypadek, w którym s jest sekcją zerową, a f ma pojedyncze zera. Włókno nad tymi zerami w wynikowej „wiązce własnej” będzie izomorficzne z włóknem nad nimi w E , podczas gdy wszędzie indziej włókno jest trywialną 0-wymiarową przestrzenią wektorową.
Podwójny wektor wiązka E * jest hom wiązka hom ( E , R x X ) z wiązką Homomorfizmy E i trywialne wiązka R x X . Istnieje kanoniczny izomorfizm wiązki wektorowej Hom( E , F ) = E* ⊗ F .

Każda z tych operacji jest szczególnym przykładem ogólną cechą wiązek: że wiele operacji, które można wykonać w kategorii przestrzeni wektorowej można również przeprowadzić od kategorii wiązek wektorowych w functorial sposób. Jest to sprecyzowane w języku funktorów gładkich . Operacją o innym charakterze jest konstrukcja wiązki pullback . Mając wiązkę wektorów E → Y i ciągłą mapę f : X → Y można "wyciągnąć" E do wiązki wektorowej f*E nad X . Włókno nad punktem x ∈ X jest zasadniczo tylko włóknem nad f ( x ) ∈ Y . Stąd Whitneya sumującego e ⊕ M może być określona jako wiązki Pullback ukośnego mapie od X do X x X , gdzie wiązka nad X x X jest e x C .

Uwaga : Niech X będzie zwartą przestrzenią. Dowolna wiązka wektorowa E nad X jest bezpośrednim sumą wiązki trywialnej; tzn. istnieje wiązka E ' taka, że E ⊕ E ' jest trywialna. To się nie powiedzie, jeśli X nie jest zwarty: na przykład tautologiczna wiązka liniowa nad nieskończoną rzeczywistą przestrzenią rzutową nie ma tej własności.

Dodatkowe struktury i uogólnienia

Wiązki wektorowe mają często większą strukturę. Na przykład wiązki wektorowe mogą być wyposażone w metrykę wiązki wektorowej . Zwykle wymaga się, aby metryka ta była dodatnio określona , w którym to przypadku każde włókno E staje się przestrzenią euklidesową. Wiązka wektorowa o strukturze złożonej odpowiada złożonej wiązce wektorowej , co można również uzyskać zastępując rzeczywiste przestrzenie wektorowe w definicji przestrzeniami złożonymi i wymagając, aby wszystkie odwzorowania były zespolone liniowe we włóknach. Bardziej ogólnie, można zazwyczaj rozumieć dodatkową strukturę narzuconą na wiązkę wektorów w kategoriach wynikowej redukcji grupy struktur wiązki . Można również używać wiązek wektorowych nad bardziej ogólnymi polami topologicznymi .

Jeśli zamiast przestrzeni skończonej wymiarowy wektor, gdy włókno C rozpuszcza się przestrzeń Banacha następnie wiązka Banacha związku. W szczególności należy wymagać, aby lokalne trywializacje były izomorfizmami przestrzeni Banacha (a nie tylko izomorfizmami liniowymi) na każdym z włókien, a ponadto przejścia

{\ Displaystyle g_ {UV} \ dwukropek U \ czapka V \ do \ operatorname {GL} (F)}

są ciągłymi odwzorowaniami rozmaitości Banacha . W odpowiedniej teorii dla wiązek C ^p wszystkie odwzorowania muszą być C ^p .

Wiązki wektorowe to specjalne wiązki włókien , których włókna są przestrzeniami wektorowymi i których kocykl respektuje strukturę przestrzeni wektorowej. Można skonstruować bardziej ogólne wiązki włókien, w których włókno może mieć inne struktury; na przykład wiązki kulek są rozwłókniane przez kulki.

Gładkie wiązki wektorowe

Regularność funkcji przejścia opisujących wiązkę wektorów określa typ wiązki wektorów. Jeśli stosuje się ciągłe funkcje przejścia g _UV , wynikowa wiązka wektorów E jest tylko ciągła, ale nie gładka. Jeśli stosuje się płynne funkcje przejścia h _UV , to wynikowa wiązka wektorów F jest wiązką gładką wektorów.

Wiązka wektorowa ( E , p , M ) jest gładka , jeśli E i M są gładkimi rozmaitościami , p: E → M jest gładką mapą , a lokalne trywializacje są dyfeomorfizmami . W zależności od wymaganego stopnia gładkości, istnieją różne odpowiadające pojęcia wiązek C ^p , nieskończenie różniczkowalnych wiązek C ^∞ i rzeczywistych analitycznych wiązek C ^ω . W tej sekcji skoncentrujemy się na wiązkach C ^∞ . Najważniejszym przykładem wiązki C ^∞ -wektorowej jest wiązka styczna ( TM , $π$ _TM , M ) C ^∞ -rozmaitości M .

Gładką wiązkę wektorową można scharakteryzować tym, że dopuszcza opisane powyżej funkcje przejścia, które są funkcjami gładkimi na nakładaniu się wykresów trywializacji U i V . Oznacza to, że wiązka wektorowa E jest gładka, jeśli dopuszcza pokrycie przez trywializację zbiorów otwartych tak, że dla dowolnych dwóch takich zbiorów U i V funkcja przejścia

{\ Displaystyle g_ {UV}: U \ czapka V \ do \ operatorname {GL} (k \ mathbb {R})}

jest funkcją gładką w grupie macierzy GL(k, R ), która jest grupą Liego .

Podobnie, jeśli funkcje przejścia to:

C ^r następnie wiązka wektor jest C ^R wektor wiązki ,
rzeczywista analityczna wtedy wiązka wektorów jest rzeczywistą analityczną wiązką wektorów (wymaga to, aby grupa macierzy miała rzeczywistą strukturę analityczną),
holomorficzna to wiązka wektorów jest holomorficzną wiązką wektorów (wymaga to, aby grupa macierzy była złożoną grupą Liego ),
funkcje algebraiczne wtedy wiązka wektorów jest algebraiczną wiązką wektorów (wymaga to, aby grupa macierzy była grupą algebraiczną ).

C ^∞ -wektor zestawy ( E , P , K ) mają bardzo ważna właściwość nie jest dzielona przez bardziej ogólnym C ^∞ -fibre wiązek. Mianowicie, przestrzeń styczna T _V ( e _x ) w każdej v ∈ E _x może oczywiście być identyfikowane z włókna e _x się. Identyfikację tę uzyskuje się poprzez pionowe podniesienie vl _v : E _x → T _v ( E _x ), zdefiniowane jako

{\ Displaystyle \ operatorname {vl} _ {v} w [f]: = \ lewo {\ frac {d} {dt}} \ prawo | _ {t = 0} f (v + tw), \ quad f \in C^{\infty }(E_{x}).}

Podniesienie pionowe może być również postrzegane jako naturalny izomorfizm wiązki C ^∞ -wektorowej p*E → VE , gdzie ( p*E , p*p , E ) jest wiązką odciągającą ( E , p , M ) nad E przez p : E → M , oraz VE := Ker( p _* ) ⊂ TE jest pionową wiązką styczną , podwiązką wektorów naturalnych wiązki stycznej ( TE , $π$ _TE , E ) całkowitej przestrzeni E .

Całkowita przestrzeń E dowolnej gładkiej wiązki wektorowej niesie naturalne pole wektorowe V _v := vl _v v , znane jako kanoniczne pole wektorowe . Bardziej formalnie, V jest gładką częścią ( TE , $π$ _TE , E ) i może być również zdefiniowana jako nieskończenie mały generator działania grupy Liego ( t , v ) ↦ e ^t v dany przez włóknowe mnożenie skalarne. Kanoniczne pole wektorowe V całkowicie charakteryzuje gładką strukturę wiązki wektorowej w następujący sposób. Jako przygotowanie zauważ, że gdy X jest gładkim polem wektorowym na gładkiej rozmaitości M i x ∈ M takim, że X _x = 0, odwzorowanie liniowe

{\ Displaystyle C_ {x} (X): T_ {x} M \ do T_ {x} M; \ quad C_ {x} (X) Y = (\ nabla _ {Y} X) _ {x}}

nie zależy od wyboru liniowej pochodnej kowariantnej ∇ na M . Kanoniczne pole wektorowe V na E spełnia aksjomaty

Przepływ ( t , v ) → Φ ^t_V ( v ) V jest zdefiniowany globalnie.
Dla każdego v ∈ V istnieje jednoznaczne ograniczenie _t→∞ Φ ^t_V ( v ) ∈ V .
C _v ( V ) C _v ( V ) = C _v ( V ) zawsze, gdy V _v = 0.
Zbiór zer V jest gładką podrozmaitością E, której współwymiar jest równy rządowi C _v ( V ).

I odwrotnie, jeśli E jest dowolną gładką rozmaitością, a V jest gładkim polem wektorowym na E spełniającym 1-4, to istnieje unikalna struktura wiązki wektorowej na E, której kanoniczne pole wektorowe wynosi V .

Dla dowolnej gładkiej wiązki wektorowej ( E , p , M ) całkowita przestrzeń TE jej wiązki stycznej ( TE , $π$ _TE , E ) ma naturalną strukturę wtórnej wiązki wektorowej ( TE , p _* , TM ), gdzie p _* jest pchnięciem -przód rzutu kanonicznego p : E → M . Operacje na wiązkach wektorowych w tej wtórnej strukturze wiązki wektorowej to: push-forward + _* : T ( E × E ) → TE i λ _* : TE → TE pierwotnego dodawania +: E × E → E i mnożenie przez skalar λ: E → E .

K-teoria

Grupa K teorią $K (X)$ , o zwartej Hausdorffa topologii jest zdefiniowana jako grupa przemienna generowanego przez klasy Izomorfizm $[E]$ w złożonych wiązek wektora modulo związek że gdy mamy dokładną kolejność

0\do A\do B\do C\do 0

następnie

[B]=[A]+[C]

w topologicznej K-teorii . Teoria KO jest wersją tej konstrukcji, która uwzględnia rzeczywiste wiązki wektorowe. Można również zdefiniować teorię K ze zwartymi podporami , a także wyższe grupy teorii K.

Słynne twierdzenie o okresowości Raoula Botta twierdzi, że teoria K dowolnej przestrzeni $X$ jest izomorficzna z teorią $S 2 X$ , podwójną zawiesiną $X$ .

W geometrii algebraicznej rozpatruje się grupy K-teorii składające się z koherentnych snopów na schemacie $X$ , jak również K-teoryczne grupy wiązek wektorowych na schemacie z powyższą relacją równoważności. Te dwie konstrukcje są takie same, pod warunkiem, że podstawowy schemat jest gładki .

Zobacz też

Pojęcia ogólne

Grassmannian : klasyfikowanie przestrzeni dla wiązki wektorowej, wśród których są przestrzenie rzutowe dla wiązek liniowych
Klasa charakterystyczna
Zasada dzielenia
Stabilny pakiet

Topologia i geometria różniczkowa

Teoria cechowania : ogólne badanie związków na wiązkach wektorowych i wiązkach głównych oraz ich relacji do fizyki.
Połączenie : pojęcie potrzebne do rozróżnienia odcinków wiązek wektorowych.

Geometria algebraiczna i analityczna

Uwagi

Źródła

Abraham, Ralph H .; Marsden, Jerrold E. (1978), Podstawy mechaniki , Londyn: Benjamin-Cummings, patrz rozdział 1.5, ISBN 978-0-8053-0102-1.
Hatcher, Allen (2003), pakiety wektorowe i teoria K (wyd. 2.0).
Jost, Jürgen (2002), Geometria Riemanna i Analiza Geometryczna (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1, patrz rozdział 1.5.
Lang, Serge (1995), rozmaitości różniczkowe i riemannowskie , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94338-1.
Lee, Jeffrey M. (2009), Rozmaitości i geometria różniczkowa , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 107, Providence: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-4815-9 |volume=ma dodatkowy tekst ( pomoc ).
Lee, John M. (2003), Wprowadzenie do Smooth Manifolds , New York: Springer, ISBN 0-387-95448-1 patrz rozdz.5
Rubei, Elena (2014), Geometria algebraiczna, słownik zwięzły , Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3.

Languages

In other projects