Navigatiefunctie - Navigation function

Navigatiefunctie verwijst meestal naar een functie van positie, snelheid, versnelling en tijd die wordt gebruikt om robottrajecten door de omgeving te plannen. Over het algemeen is het doel van een navigatiefunctie om haalbare, veilige paden te creëren die obstakels vermijden, terwijl een robot van zijn startconfiguratie naar zijn doelconfiguratie kan gaan.

Mogelijke functies als navigatiefuncties

Een mogelijke functie. Stel je voor dat je een knikker op het oppervlak laat vallen. Het zal de drie obstakels vermijden en uiteindelijk de doelpositie in het midden bereiken.

Mogelijke functies gaan ervan uit dat de omgeving of werkruimte bekend is. Obstakels krijgen een hoge potentiële waarde toegewezen en de doelpositie krijgt een lage potentiële waarde. Om de doelpositie te bereiken, hoeft een robot alleen de negatieve helling van het oppervlak te volgen.

We kunnen dit concept wiskundig formaliseren als volgt: Laat de toestandsruimte zijn van alle mogelijke configuraties van een robot. Laten we het doelgebied van de toestandsruimte aanduiden. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X_ {g} \ subset X}$

Dan wordt een potentiële functie een (haalbare) navigatiefunctie genoemd als ${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle \ phi (x) = 0 \ \ forall x \ in X_ {g}}$
${\ displaystyle \ phi (x) = \ infty}$ als en alleen als er geen point in bereikbaar is van . ${\ displaystyle {X_ {g}}}$ ${\ displaystyle x}$
Voor elke bereikbare staat, produceert de lokale operator een staat waarvoor . ${\ displaystyle x \ in X \ setminus {X_ {g}}}$ ${\ displaystyle x '}$ ${\ displaystyle \ phi (x ') <\ phi (x)}$

Probabilistische navigatiefunctie

De probabilistische navigatiefunctie is een uitbreiding van de klassieke navigatiefunctie voor statische stochastische scenario's. De functie wordt bepaald door de toegestane kans op een botsing, waardoor het risico tijdens beweging wordt beperkt. De Minkowski-som die in de klassieke definitie wordt gebruikt, wordt vervangen door een convolutie van de geometrieën en de waarschijnlijkheidsdichtheidsfuncties van locaties. Door de doelpositie aan te duiden met , wordt de probabilistische navigatiefunctie gedefinieerd als: waar is een vooraf gedefinieerde constante zoals in de klassieke navigatiefunctie, die de morse-aard van de functie garandeert. is de afstand tot de doelpositie en houdt rekening met alle obstakels, gedefinieerd als waar is gebaseerd op de kans op een botsing ter plaatse . De kans op een botsing wordt beperkt door een vooraf bepaalde waarde , dat wil zeggen: en, ${\ displaystyle x_ {d}}$ ${\ displaystyle {\ varphi} (x) = {\ frac {\ gamma _ {d} (x)} {{\ left [{\ gamma _ {d} ^ {K} (x) + \ beta \ left ( x \ right)} \ right]} ^ {\ frac {1} {K}}}}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {d} (x)}$ ${\ displaystyle {|| x- {x_ {d}} | {| ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle \ beta \ left (x \ right) = \ prod \ limieten _ {i = 0} ^ {N_ {o}} {{\ beta _ {i}} \ left (x \ right)}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i} (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i} (x) = \ Delta -p ^ {i} \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle \ beta _ {0} (x) = - \ Delta + p ^ {0} \ left (x \ right)}$

waar is de kans om in botsing te komen met het i-de obstakel. Een kaart is een probabilistische navigatiefunctie als deze aan de volgende voorwaarden voldoet: ${\ displaystyle p ^ {i} (x)}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

Het is een navigatiefunctie.
De kans op een botsing wordt begrensd door een vooraf gedefinieerde kans . ${\ displaystyle \ Delta}$

Navigatiefunctie in optimale controle

Terwijl het voor bepaalde toepassingen voldoende is om een haalbare navigatiefunctie te hebben, is het in veel gevallen wenselijk om een optimale navigatiefunctie te hebben met betrekking tot een gegeven kostenfunctionaliteit . Geformaliseerd als een optimaal controleprobleem , kunnen we schrijven ${\ displaystyle J}$

{\ displaystyle {\ text {minimaliseren}} J (x_ {1: T}, u_ {1: T}) = \ int \ limieten _ {T} L (x_ {t}, u_ {t}, t) dt }

{\ displaystyle {\ text {subject to}} {\ punt {x_ {t}}} = f (x_ {t}, u_ {t})}

waarbij is de staat, is de controle die moet worden toegepast, is een kostenpost bij een bepaalde staat als we een controle toepassen , en modelleert de overgangsdynamiek van het systeem. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle f}$

Door het optimaliteitsprincipe van Bellman toe te passen, wordt de optimale cost-to-go-functie gedefinieerd als

${\ displaystyle \ displaystyle \ phi (x_ {t}) = \ min _ {u_ {t} \ in U (x_ {t})} {\ Big \ {} L (x_ {t}, u_ {t}) + \ phi (f (x_ {t}, u_ {t})) {\ Groot \}}}$

Samen met de hierboven gedefinieerde axioma's kunnen we de optimale navigatiefunctie definiëren als

${\ displaystyle \ phi (x) = 0 \ \ forall x \ in X_ {g}}$
${\ displaystyle \ phi (x) = \ infty}$ als en alleen als er geen point in bereikbaar is van . ${\ displaystyle {X_ {G}}}$ ${\ displaystyle x}$
Voor elke bereikbare staat, produceert de lokale operator een staat waarvoor . ${\ displaystyle x \ in X \ setminus {X_ {G}}}$ ${\ displaystyle x '}$ ${\ displaystyle \ phi (x ') <\ phi (x)}$
${\ displaystyle \ displaystyle \ phi (x_ {t}) = \ min _ {u_ {t} \ in U (x_ {t})} {\ Big \ {} L (x_ {t}, u_ {t}) + \ phi (f (x_ {t}, u_ {t})) {\ Groot \}}}$

Zelfs als een navigatiefunctie een voorbeeld is voor reactieve besturing, kan deze ook worden gebruikt voor optimale besturingsproblemen, inclusief planningsmogelijkheden.

Stochastische navigatiefunctie

Als we aannemen dat de overgangsdynamiek van het systeem of de kostenfunctie onderhevig is aan ruis, verkrijgen we een stochastisch optimaal regelprobleem met een kostprijs en dynamiek . Op het gebied van bekrachtigingsleren worden de kosten vervangen door een beloningsfunctie en de dynamiek door de overgangskansen . ${\ displaystyle J (x_ {t}, u_ {t})}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle R (x_ {t}, u_ {t})}$ ${\ displaystyle P (x_ {t + 1} | x_ {t}, u_ {t})}$

Zie ook

Referenties

Bronnen

LaValle, Steven M. (2006), Planning Algorithms (eerste ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86205-9
Laumond, Jean-Paul (1998), Robot Motion Planning and Control (eerste ed.), Springer, ISBN 3-540-76219-1

Externe links

NFsim : MATLAB Toolbox voor bewegingsplanning met behulp van navigatiefuncties.

Languages

In other projects