Navigationsfunktion - Navigation function

Navigationsfunktion refererer normalt til en funktion af position, hastighed, acceleration og tid, der bruges til at planlægge robotbaner gennem miljøet. Generelt er målet med en navigationsfunktion at skabe mulige, sikre stier, der undgår forhindringer, samtidig med at en robot bevæger sig fra sin startkonfiguration til sin målkonfiguration.

Potentielle funktioner som navigationsfunktioner

En potentiel funktion. Forestil dig at tabe en marmor på overfladen. Det undgår de tre forhindringer og når til sidst målpositionen i midten.

Potentielle funktioner antager, at miljøet eller arbejdsområdet er kendt. Hindringer tildeles en høj potentialværdi, og målpositionen tildeles et lavt potentiale. For at nå målpositionen behøver en robot kun at følge overfladens negative gradient .

Vi kan formalisere dette koncept matematisk som følger: Lad være tilstandsrummet for alle mulige konfigurationer af en robot. Lad betegne målområdet for statsrummet. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X_ {g} \ undersæt X}$

Derefter kaldes en potentiel funktion en (gennemførlig) navigationsfunktion, hvis ${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle \ phi (x) = 0 \ \ forall x \ i X_ {g}}$
${\ displaystyle \ phi (x) = \ infty}$ hvis og kun hvis intet punkt kan nås fra . ${\ displaystyle {X_ {g}}}$ ${\ displaystyle x}$
For hver tilgængelig tilstand producerer den lokale operatør en tilstand, for hvilken . ${\ displaystyle x \ i X \ setminus {X_ {g}}}$ ${\ displaystyle x '}$ ${\ displaystyle \ phi (x ') <\ phi (x)}$

Probabilistisk navigationsfunktion

Probabilistisk navigationsfunktion er en udvidelse af den klassiske navigationsfunktion til statiske stokastiske scenarier. Funktionen er defineret af tilladt kollisionssandsynlighed, som begrænser risikoen under bevægelse. Minkowski-summen, der anvendes til i den klassiske definition, erstattes med en sammenblanding af geometrier og sandsynlighedsdensitetsfunktioner af placeringer. Ved at angive målpositionen med defineres den probabilistiske navigationsfunktion som: hvor er en foruddefineret konstant som i den klassiske navigationsfunktion, hvilket sikrer funktionens morse-natur. er afstanden til målpositionen og tager højde for alle forhindringer defineret som hvor er baseret på sandsynligheden for en kollision på stedet . Sandsynligheden for en kollision er begrænset af en forudbestemt værdi , hvilket betyder: og, ${\ displaystyle x_ {d}}$ ${\ displaystyle {\ varphi} (x) = {\ frac {\ gamma _ {d} (x)} {{\ left [{\ gamma _ {d} ^ {K} (x) + \ beta \ left ( x \ right)} \ right]} ^ {\ frac {1} {K}}}}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {d} (x)}$ ${\ displaystyle {|| x- {x_ {d}} | {| ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ beta \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle \ beta \ left (x \ right) = \ prod \ limits _ {i = 0} ^ {N_ {o}} {{\ beta _ {i}} \ left (x \ right)}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i} (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i} (x) = \ Delta -p ^ {i} \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle \ beta _ {0} (x) = - \ Delta + p ^ {0} \ left (x \ right)}$

hvor er sandsynligheden for at kollidere med den i-hindring. Et kort siges at være en sandsynlig navigationsfunktion, hvis det opfylder følgende betingelser: ${\ displaystyle p ^ {i} (x)}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

Det er en navigationsfunktion.
Sandsynligheden for en kollision er afgrænset af en foruddefineret sandsynlighed . ${\ displaystyle \ Delta}$

Navigationsfunktion i optimal kontrol

Mens det for visse applikationer er det tilstrækkeligt at have en mulig navigationsfunktion, er det i mange tilfælde ønskeligt at have en optimal navigationsfunktion med hensyn til en given omkostningsfunktion . Formaliseret som et optimalt kontrolproblem , kan vi skrive ${\ displaystyle J}$

{\ displaystyle {\ text {minimize}} J (x_ {1: T}, u_ {1: T}) = \ int \ limits _ {T} L (x_ {t}, u_ {t}, t) dt }

{\ displaystyle {\ text {subject to}} {\ dot {x_ {t}}} = f (x_ {t}, u_ {t})}

hvorved er staten, er kontrollen, der skal anvendes, er en pris i en bestemt tilstand, hvis vi anvender en kontrol og modellerer systemets overgangsdynamik. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle f}$

Ved at anvende Bellmans princippet om optimalitet defineres den optimale cost-to-go-funktion som

${\ displaystyle \ displaystyle \ phi (x_ {t}) = \ min _ {u_ {t} \ i U (x_ {t})} {\ Big \ {} L (x_ {t}, u_ {t}) + \ phi (f (x_ {t}, u_ {t})) {\ Big \}}}$

Sammen med de ovenfor definerede aksiomer kan vi definere den optimale navigationsfunktion som

${\ displaystyle \ phi (x) = 0 \ \ forall x \ i X_ {g}}$
${\ displaystyle \ phi (x) = \ infty}$ hvis og kun hvis intet punkt kan nås fra . ${\ displaystyle {X_ {G}}}$ ${\ displaystyle x}$
For hver tilgængelig tilstand producerer den lokale operatør en tilstand, for hvilken . ${\ displaystyle x \ i X \ setminus {X_ {G}}}$ ${\ displaystyle x '}$ ${\ displaystyle \ phi (x ') <\ phi (x)}$
${\ displaystyle \ displaystyle \ phi (x_ {t}) = \ min _ {u_ {t} \ i U (x_ {t})} {\ Big \ {} L (x_ {t}, u_ {t}) + \ phi (f (x_ {t}, u_ {t})) {\ Big \}}}$

Selvom en navigationsfunktion er et eksempel på reaktiv kontrol, kan den også bruges til optimale kontrolproblemer, som inkluderer planlægningsfunktioner.

Stokastisk navigationsfunktion

Hvis vi antager systemets overgangsdynamik eller omkostningsfunktionen som udsat for støj, opnår vi et stokastisk optimalt kontrolproblem med en pris og dynamik . Inden for forstærkningslæring erstattes omkostningerne med en belønningsfunktion og dynamikken med overgangssandsynlighederne . ${\ displaystyle J (x_ {t}, u_ {t})}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle R (x_ {t}, u_ {t})}$ ${\ displaystyle P (x_ {t + 1} | x_ {t}, u_ {t})}$

Se også

Referencer

Kilder

LaValle, Steven M. (2006), Planning Algorithms (First ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86205-9
Laumond, Jean-Paul (1998), Robot Motion Planning and Control (First ed.), Springer, ISBN 3-540-76219-1

eksterne links

NFsim : MATLAB Værktøjskasse til bevægelsesplanlægning ved hjælp af navigationsfunktioner.

Languages

In other projects