Funkce navigace - Navigation function

Navigační funkce se obvykle vztahuje k funkci polohy, rychlosti, zrychlení a času, která se používá k plánování trajektorií robota prostředím. Obecně je cílem navigační funkce vytvořit proveditelné a bezpečné cesty, které se budou vyhýbat překážkám a zároveň umožní robotovi přejít z počáteční konfigurace do konfigurace cíle.

Potenciální funkce jako navigační funkce

Potenciální funkce. Představte si, že na povrch upustíte mramor. Vyhne se třem překážkám a nakonec dosáhne cílové pozice ve středu.

Potenciální funkce předpokládají, že prostředí nebo pracovní prostor je znám. Překážkám je přiřazena vysoká hodnota potenciálu a cílové pozici je přiřazen nízký potenciál. K dosažení cílové pozice musí robot sledovat pouze negativní sklon povrchu.

Můžeme tento koncept matematicky formalizovat takto: Nechť je stavový prostor všech možných konfigurací robota. Nechť značí brankovou oblast stavového prostoru. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {g} \ podmnožina X}$

Pak se potenciální funkce nazývá (proveditelná) navigační funkce, pokud ${\ displaystyle \ phi (x)}$

1. ${\ displaystyle \ phi (x) = 0 \ \ celkem x \ v X_ {g}}$
2. ${\ displaystyle \ phi (x) = \ infty}$ právě tehdy, pokud není dosažitelný žádný bod . ${\ displaystyle {X_ {g}}}$${\ displaystyle x}$
3. Pro každý dosažitelný stav vytvoří místní operátor stav, pro který . ${\ displaystyle x \ v X \ setminus {X_ {g}}}$${\ displaystyle x '}$${\ displaystyle \ phi (x ') <\ phi (x)}$

Pravděpodobnostní navigační funkce

Pravděpodobnostní navigační funkce je rozšířením klasické navigační funkce pro statické stochastické scénáře. Funkce je definována povolenou pravděpodobností kolize, která omezuje riziko během pohybu. Minkowského součet použitý v klasické definici je nahrazen konvolucí geometrií a funkcí hustoty pravděpodobnosti míst. Označením cílové polohy pomocí je pravděpodobnostní navigační funkce definována jako: kde je předdefinovaná konstanta jako v klasické navigační funkci, která zajišťuje morseovskou povahu funkce. je vzdálenost do cílové polohy a bere v úvahu všechny překážky, definované jako místo, kde je založena na pravděpodobnosti kolize v místě . Pravděpodobnost kolize je omezena předem stanovenou hodnotou , což znamená: a, ${\ displaystyle x_ {d}}$${\ displaystyle {\ varphi} (x) = {\ frac {\ gamma _ {d} (x)} {{\ left [{\ gamma _ {d} ^ {K} (x) + \ beta \ left ( x \ right)} \ right]} ^ {\ frac {1} {K}}}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ gamma _ {d} (x)}$${\ displaystyle {|| x- {x_ {d}} | {| ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ beta \ vlevo (x \ vpravo)}$${\ displaystyle \ beta \ left (x \ right) = \ prod \ limits _ {i = 0} ^ {N_ {o}} {{\ beta _ {i}} \ left (x \ right)}}$${\ displaystyle \ beta _ {i} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ beta _ {i} (x) = \ Delta -p ^ {i} \ vlevo (x \ vpravo)}$${\ displaystyle \ beta _ {0} (x) = - \ Delta + p ^ {0} \ vlevo (x \ vpravo)}$

kde je pravděpodobnost srážky s i-tou překážkou. Mapa se považuje za pravděpodobnostní navigační funkci, pokud splňuje následující podmínky: ${\ displaystyle p ^ {i} (x)}$${\ displaystyle \ varphi}$

1. Jedná se o navigační funkci.
2. Pravděpodobnost kolize je omezena předdefinovanou pravděpodobností . ${\ displaystyle \ Delta}$

Funkce navigace v optimálním řízení

Zatímco pro určité aplikace postačuje mít proveditelnou navigační funkci, v mnoha případech je žádoucí mít optimální navigační funkci s ohledem na danou nákladovou funkci . Formalizován jako optimální kontrolní problém, můžeme psát ${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle {\ text {minimalizovat}} J (x_ {1: T}, u_ {1: T}) = \ int \ limity _ {T} L (x_ {t}, u_ {t}, t) dt }$

${\ displaystyle {\ text {subject to}} {\ dot {x_ {t}}} = f (x_ {t}, u_ {t})}$

přičemž je stav, je ovládací prvek, který se má použít, je cena v určitém stavu, pokud použijeme ovládací prvek , a modeluje dynamiku přechodu systému. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$

Při použití Bellmanova principu optimality je optimální funkce cost-to-go definována jako

${\ displaystyle \ displaystyle \ phi (x_ {t}) = \ min _ {u_ {t} \ v U (x_ {t})} {\ velký \ {} L (x_ {t}, u_ {t}) + \ phi (f (x_ {t}, u_ {t})) {\ Big \}}}$

Spolu s výše definovanými axiomy můžeme definovat optimální navigační funkci jako

1. ${\ displaystyle \ phi (x) = 0 \ \ celkem x \ v X_ {g}}$
2. ${\ displaystyle \ phi (x) = \ infty}$ právě tehdy, pokud není dosažitelný žádný bod . ${\ displaystyle {X_ {G}}}$${\ displaystyle x}$
3. Pro každý dosažitelný stav vytvoří místní operátor stav, pro který . ${\ displaystyle x \ v X \ setminus {X_ {G}}}$${\ displaystyle x '}$${\ displaystyle \ phi (x ') <\ phi (x)}$
4. ${\ displaystyle \ displaystyle \ phi (x_ {t}) = \ min _ {u_ {t} \ v U (x_ {t})} {\ velký \ {} L (x_ {t}, u_ {t}) + \ phi (f (x_ {t}, u_ {t})) {\ Big \}}}$

I když je navigační funkce příkladem pro reaktivní řízení, lze ji využít i pro optimální problémy s řízením, což zahrnuje možnosti plánování.

Stochastická navigační funkce

Pokud předpokládáme dynamiku přechodu systému nebo nákladovou funkci vystavenou šumu, získáme stochastický problém optimálního řízení s cenou a dynamikou . V oblasti učení posílení jsou náklady nahrazeny funkcí odměny a dynamika pravděpodobnostmi přechodu . ${\ displaystyle J (x_ {t}, u_ {t})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R (x_ {t}, u_ {t})}$${\ displaystyle P (x_ {t + 1} | x_ {t}, u_ {t})}$

Viz také

• Teorie řízení
• Optimální ovládání
• Ovládání robota
• Plánování pohybu
• Posílení učení

Reference

Zdroje

• LaValle, Steven M. (2006), Planning Algorithms (první vydání), Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-86205-9
• Laumond, Jean-Paul (1998), Robot Motion Planning and Control (první vydání), Springer, ISBN   3-540-76219-1

externí odkazy

• NFsim : MATLAB Toolbox pro plánování pohybu pomocí navigačních funkcí.