Navigationsfunktion - Navigation function

Die Navigationsfunktion bezieht sich normalerweise auf eine Funktion von Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit, die zum Planen von Robotertrajektorien durch die Umgebung verwendet wird. Im Allgemeinen besteht das Ziel einer Navigationsfunktion darin, praktikable, sichere Pfade zu erstellen, die Hindernissen ausweichen und es einem Roboter ermöglichen, von seiner Startkonfiguration zu seiner Zielkonfiguration zu wechseln.

Mögliche Funktionen als Navigationsfunktionen

Eine mögliche Funktion. Stellen Sie sich vor, Sie lassen einen Marmor auf die Oberfläche fallen. Es wird die drei Hindernisse umgehen und schließlich die Zielposition in der Mitte erreichen.

Mögliche Funktionen setzen voraus, dass die Umgebung oder der Arbeitsbereich bekannt ist. Hindernissen wird ein hoher Potentialwert zugewiesen, und der Zielposition wird ein niedriges Potential zugewiesen. Um die Zielposition zu erreichen, muss ein Roboter nur dem negativen Gradienten der Oberfläche folgen .

Wir können dieses Konzept mathematisch wie folgt formalisieren: Sei der Zustandsraum aller möglichen Konfigurationen eines Roboters. Lassen Sie das Ziel Bereich des Zustandsraums bezeichnen. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {g} \ subset X}$

Dann wird eine mögliche Funktion als (machbare) Navigationsfunktion bezeichnet, wenn ${\ displaystyle \ phi (x)}$

1. ${\ displaystyle \ phi (x) = 0 \ \ forall x \ in X_ {g}}$
2. ${\ displaystyle \ phi (x) = \ infty}$ genau dann, wenn kein Punkt von erreichbar ist . ${\ displaystyle {X_ {g}}}$${\ displaystyle x}$
3. Für jeden erreichbaren Zustand erstellt der lokale Betreiber einen Zustand, für den . ${\ displaystyle x \ in X \ setminus {X_ {g}}}$${\ displaystyle x '}$${\ displaystyle \ phi (x ') <\ phi (x)}$

Probabilistische Navigationsfunktion

Die probabilistische Navigationsfunktion ist eine Erweiterung der klassischen Navigationsfunktion für statische stochastische Szenarien. Die Funktion wird durch die zulässige Kollisionswahrscheinlichkeit definiert, die das Risiko während der Bewegung begrenzt. Die in der klassischen Definition verwendete Minkowski-Summe wird durch eine Faltung der Geometrien und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von Orten ersetzt. Die probabilistische Navigationsfunktion bezeichnet die Zielposition mit: wobei eine vordefinierte Konstante wie bei der klassischen Navigationsfunktion ist, die die Morse-Natur der Funktion sicherstellt. ist die Entfernung zur Zielposition und berücksichtigt alle Hindernisse, definiert als wo basiert auf der Wahrscheinlichkeit einer Kollision vor Ort . Die Wahrscheinlichkeit einer Kollision ist durch einen vorgegebenen Wert begrenzt , was bedeutet: und, ${\ displaystyle x_ {d}}$${\ displaystyle {\ varphi} (x) = {\ frac {\ gamma _ {d} (x)} {{\ left [{\ gamma _ {d} ^ {K} (x) + \ beta \ left ( x \ right)} \ right]} ^ {\ frac {1} {K}}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ gamma _ {d} (x)}$${\ displaystyle {|| x- {x_ {d}} | {| ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ beta \ left (x \ right)}$${\ displaystyle \ beta \ left (x \ right) = \ prod \ limitiert _ {i = 0} ^ {N_ {o}} {{\ beta _ {i}} \ left (x \ right)}}$${\ displaystyle \ beta _ {i} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ beta _ {i} (x) = \ Delta -p ^ {i} \ left (x \ right)}$${\ displaystyle \ beta _ {0} (x) = - \ Delta + p ^ {0} \ left (x \ right)}$

Wo ist die Wahrscheinlichkeit, mit dem i-ten Hindernis zu kollidieren? Eine Karte wird als probabilistische Navigationsfunktion bezeichnet, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt: ${\ displaystyle p ^ {i} (x)}$${\ displaystyle \ varphi}$

1. Es ist eine Navigationsfunktion.
2. Die Wahrscheinlichkeit für eine Kollision ist durch eine vordefinierte Wahrscheinlichkeit begrenzt . ${\ displaystyle \ Delta}$

Navigationsfunktion in optimaler Steuerung

Während für bestimmte Anwendungen eine realisierbare Navigationsfunktion ausreicht, ist es in vielen Fällen wünschenswert, eine optimale Navigationsfunktion in Bezug auf eine bestimmte Kostenfunktion zu haben . Als optimales Kontrollproblem formalisiert, können wir schreiben ${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle {\ text {minimieren}} J (x_ {1: T}, u_ {1: T}) = \ int \ begrenzt _ {T} L (x_ {t}, u_ {t}, t) dt }}$

${\ displaystyle {\ text {vorbehaltlich}} {\ dot {x_ {t}}} = f (x_ {t}, u_ {t})}$

Dabei ist der Zustand, die anzuwendende Steuerung, die Kosten in einem bestimmten Zustand, wenn wir eine Steuerung anwenden , und die Übergangsdynamik des Systems modelliert. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$

Unter Anwendung des Bellmanschen Optimalitätsprinzips wird die optimale Cost-to-Go-Funktion definiert als

${\ displaystyle \ displaystyle \ phi (x_ {t}) = \ min _ {u_ {t} \ in U (x_ {t})} {\ Big \ {} L (x_ {t}, u_ {t}) + \ phi (f (x_ {t}, u_ {t})) {\ Big \}}}$

Zusammen mit den oben definierten Axiomen können wir die optimale Navigationsfunktion als definieren

1. ${\ displaystyle \ phi (x) = 0 \ \ forall x \ in X_ {g}}$
2. ${\ displaystyle \ phi (x) = \ infty}$ genau dann, wenn kein Punkt von erreichbar ist . ${\ displaystyle {X_ {G}}}$${\ displaystyle x}$
3. Für jeden erreichbaren Zustand erstellt der lokale Betreiber einen Zustand, für den . ${\ displaystyle x \ in X \ setminus {X_ {G}}}$${\ displaystyle x '}$${\ displaystyle \ phi (x ') <\ phi (x)}$
4. ${\ displaystyle \ displaystyle \ phi (x_ {t}) = \ min _ {u_ {t} \ in U (x_ {t})} {\ Big \ {} L (x_ {t}, u_ {t}) + \ phi (f (x_ {t}, u_ {t})) {\ Big \}}}$

Selbst wenn eine Navigationsfunktion ein Beispiel für eine reaktive Steuerung ist, kann sie auch für optimale Steuerungsprobleme verwendet werden, einschließlich Planungsfunktionen.

Stochastische Navigationsfunktion

Wenn wir die Übergangsdynamik des Systems oder die Kostenfunktion als rauschbedingt annehmen, erhalten wir ein stochastisches Problem der optimalen Steuerung mit Kosten und Dynamik . Im Bereich des Verstärkungslernens werden die Kosten durch eine Belohnungsfunktion und die Dynamik durch die Übergangswahrscheinlichkeiten ersetzt . ${\ displaystyle J (x_ {t}, u_ {t})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R (x_ {t}, u_ {t})}$${\ displaystyle P (x_ {t + 1} | x_ {t}, u_ {t})}$

Siehe auch

• Kontrolltheorie
• Optimale Kontrolle
• Robotersteuerung
• Bewegungsplanung
• Verstärkungslernen

Verweise

Quellen

• LaValle, Steven M. (2006), Planungsalgorithmen (Erstausgabe), Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-86205-9
• Laumond, Jean-Paul (1998), Roboterbewegungsplanung und -steuerung (Erstausgabe), Springer, ISBN   3-540-76219-1

Externe Links

• NFsim : MATLAB Toolbox für die Bewegungsplanung mithilfe von Navigationsfunktionen.