Regolarizzazione dimensionale - Dimensional regularization

Rinormalizzazione e regolarizzazione
rinormalizzazione Gruppo di rinormalizzazione Schema su shell Schema di sottrazione minima
regolarizzazione Regolarizzazione dimensionale Regolarizzazione Pauli-Villars Regolarizzazione reticolare Regolarizzazione funzione zeta Teoria delle perturbazioni causali Regolarizzazione Hadamard Regolarizzazione punto-suddivisione
v t e

In fisica teorica , la regolarizzazione dimensionale è un metodo introdotto da Giambiagi e Bollini nonché – in modo autonomo e più completo – da 't Hooft e Veltman per la regolarizzazione degli integrali nella valutazione dei diagrammi di Feynman ; in altre parole, assegnando loro dei valori che sono funzioni meromorfe di un parametro complesso d , la continuazione analitica del numero di dimensioni dello spaziotempo.

La regolarizzazione dimensionale scrive un integrale di Feynman come integrale dipendente dalla dimensione dello spaziotempo d e dalle distanze al quadrato ( x _i − x _j ) ² dei punti dello spaziotempo x _i , ... che compaiono in esso. Nello spazio euclideo , l'integrale spesso converge per −Re( d ) sufficientemente grande, e può essere analiticamente continuato da questa regione ad una funzione meromorfa definita per ogni complesso d . In generale, ci sarà un polo al valore fisico (solitamente 4) di d , che deve essere annullato mediante rinormalizzazione per ottenere quantità fisiche. Etingof (1999) ha mostrato che la regolarizzazione dimensionale è matematicamente ben definita, almeno nel caso di campi euclidei massivi, utilizzando il polinomio di Bernstein-Sato per eseguire la continuazione analitica.

Sebbene il metodo sia meglio compreso quando vengono sottratti i poli e d viene nuovamente sostituito da 4, ha anche portato ad alcuni successi quando si porta d avvicinarsi a un altro valore intero in cui la teoria sembra essere fortemente accoppiata come nel caso del Punto fisso Wilson-Fisher . Un ulteriore salto è prendere sul serio l'interpolazione attraverso le dimensioni frazionarie. Ciò ha portato alcuni autori a suggerire che la regolarizzazione dimensionale può essere utilizzata per studiare la fisica dei cristalli che macroscopicamente sembrano frattali .

È stato sostenuto che la regolarizzazione Zeta e la regolarizzazione dimensionale sono equivalenti poiché utilizzano lo stesso principio dell'uso della continuazione analitica affinché una serie o un integrale convergano.

Esempio

Supponiamo di voler regolarizzare dimensionalmente un integrale di ciclo che è logaritmicamente divergente in quattro dimensioni, come

${\displaystyle I=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2 }\destra)^{2}}}.}$

Innanzitutto, scrivi l'integrale in un numero generale non intero di dimensioni , dove in seguito verrà considerato piccolo,${\displaystyle d=4-\varepsilon}$${\displaystyle \varepsilon}$

Se l'integrando dipende solo da , possiamo applicare la formula${\displaystyle p^{2}}$Per dimensioni intere come , questa formula si riduce a integrali familiari su shell sottili come . Per le dimensioni non intere, definiamo il valore dell'integrale in questo modo per continuazione analitica. Questo da${\displaystyle d=3}$${\textstyle \int _{0}^{\infty}dp\,4\pi p^{2}f(p^{2})}$

$${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\ varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{ 2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{ \sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2 }}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).}$$

Si noti che l'integrale diverge ancora come , ma è finito per piccoli valori arbitrari . ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$

Appunti

Riferimenti

• Bollini, Carlos; Giambiagi, Juan Jose (1972), "Rinormalizzazione dimensionale: il numero di dimensioni come parametro di regolarizzazione". , Il Nuovo Cimento B , 12 (1): 20–26, doi : 10.1007/BF02895558 (inattivo 31 maggio 2021)Manutenzione CS1: DOI inattivo da maggio 2021 ( link )
• Etingof, Pavel (1999), "Nota sulla regolarizzazione dimensionale" , Campi e stringhe quantistiche: un corso per matematici, Vol. 1, (Princeton, NJ, 1996/1997) , Providence, RI: Amer. Matematica. Soc., pp. 597-607, ISBN 978-0-8218-2012-4, MR  1701608
• Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), "Regolarizzazione e rinormalizzazione dei campi di gauge", Fisica nucleare B , 44 (1): 189-213, Bibcode : 1972NuPhB..44..189T , doi : 10.1016/0550-3213(72) 90279-9 , hdl : 1874/4845 , ISSN  0550-3213