Sinc funkció - Sinc function

A matematika , a fizika és a mérnöki , a sinc függvény , jelöljük sinc ( x ) , két formája, normalizálódott, és a nem-normált.

A normalizált sinc (kék) és a normalizálatlan sinc függvény (piros) ugyanazon a skálán látható

A matematikában a történelmi normalizálatlan sinc függvényt x ≠ 0 -ra határozza meg

${\ displaystyle \ operatornév {sinc} x = {\ frac {\ sin x} {x}}.}$

Alternatív megoldásként a nem normalizált sinc függvényt gyakran mintavételi függvénynek nevezik , amelyet Sa ( x ) jelöl .

A digitális jelfeldolgozásban és információelméletben a normalizált sinc függvényt általában x ≠ 0 esetén határozza meg

${\ displaystyle \ operatornév {sinc} x = {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}}.}$

Mindkét esetben az x = 0 értéket határozzák meg korlátozó értékként

${\ displaystyle \ operatornév {sinc} 0: = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (ax)} {ax}} = 1}$minden valódi a ≠ 0 .

A normalizálás hatására a függvénynek a valós számok fölötti határozott integrálja 1 lesz (míg a normalizálatlan sinc függvény azonos integráljának értéke π ). További hasznos tulajdonságként a normalizált sinc függvény nullái x nem egész számai .

A normalizált sinc függvény a téglalap alakú függvény Fourier -transzformációja skálázás nélkül. Ezt a koncepciót használják a folyamatos sávkorlátos jel rekonstruálására a jel egyenletesen elosztott mintáiból .

A két definíció között az egyetlen különbség a független változó ( x tengely ) π -es skálázásában rejlik . Mindkét esetben a függvény értéke az eltávolítható szingularitásnál nulla alatt az 1. határérték. A sinc függvény mindenhol analitikus , és így egy egész függvény .

A kifejezés sinc / s ɪ ŋ k / vezette be Philip M. Woodward az ő 1952 cikk „Információ elmélet és inverz valószínűség távközlési”, amelyben azt mondta, hogy a funkció „nem történik, ezért gyakran Fourier analízis és alkalmazásai, hogy úgy tűnik, megérdemel némi külön jelölést ", és 1953 -ban megjelent Valószínűség és információelmélet című könyve , Radar -alkalmazásokkal . Magát a függvényt először matematikailag Lord Rayleigh származtatta le ebben a formában az ő kifejezésében ( Rayleigh formulája ) az első típusú nulla rendű gömb alakú Bessel-függvényhez .

Tulajdonságok

A normalizálatlan, piros sinc függvény helyi maximumai és minimumai (kis fehér pontok) megfelelnek a kék koszinusz függvény metszéspontjainak .

A komplex sinc valódi része Re (sinc z ) = Re ( bűn z/z)

A komplex sinc képzelt része Im (sinc z ) = Im (bűn z/z)

Az abszolút érték | sinc z | = |bűn z/z|

A nullátmenetek a normált sinc vannak nem nulla egész számú többszörösei π , míg nullátmenetek a normalizált sinc fordul elő nem nulla egészek.

A normalizálatlan sinc lokális maximumai és minimumai megfelelnek a koszinuszfüggvény metszéspontjainak . Vagyisbűn ( ξ )/ξ= cos ( ξ ) minden olyan pontra ξ, ahol a származékabűn ( x )/xnulla, és így eléri a helyi szélsőséget. Ez a sinc függvény deriváltjából következik:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ operatornév {sinc} (x) = {\ frac {\ cos (x)-\ operatornév {sinc} (x)} {x}}.}$

Az első néhány kifejezések a végtelen sorozat a x koordinátája n -edik szélsőérték pozitív x koordináta is

${\ displaystyle x_ {n} = qq^{-1}-{\ frac {2} {3}} q^{-3}-{\ frac {13} {15}} q^{-5}-{ \ frac {146} {105}} q^{-7}-\ cdots,}$

ahol

${\ displaystyle q = \ left (n+{\ frac {1} {2}} \ right) \ pi,}$

és ahol a páratlan n helyi minimumhoz vezet, és páros n a helyi maximumhoz. Az y tengely körüli szimmetria miatt léteznek szélsőségek x koordinátákkal - x _n . Ezenkívül van egy abszolút maximum ξ ₀ = (0, 1) esetén .

A normalizált sinc függvény egyszerű ábrázolása a végtelen termék :

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ left (1-{\ frac {x^{2}} {n^{2}}} \ ugye)}$

és Euler reflexiós képletén keresztül kapcsolódik a ma ( x ) gammafüggvényhez :

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} = {\ frac {1} {\ Gamma (1+x) \ Gamma (1-x)}}.}$

Euler felfedezte

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ cos \ left ({\ frac {x} {2^{n}}} \jobb),}$

és a termék-összege azonosság miatt

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1}^{k} \ cos \ left ({\ frac {x} {2^{n}}} \ right) = {\ frac {1} {2^{k- 1}}} \ összeg _ {n = 1}^{2^{k-1}} \ cos \ bal ({\ frac {n-1/2} {2^{k-1}}} x \ jobb ), \ quad \ forall k \ geq 1,}$

az Euler terméke összegként átdolgozható

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1}^{N} \ cos \ bal ({\ frac {n-1/2} {N}} x \ jobb).}$

A normalizált sinc folytonos Fourier -transzformációja (normál frekvenciára) egyenes ( f ) :

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ operatornév {sinc} (t) \, e^{-i2 \ pi ft} \, dt = \ operatornév {rect} (f),}$

ahol a téglalap alakú függvény 1 az argumentum között -1/2 és 1/2, különben nulla. Ez megfelel annak a ténynek, hogy a sinc szűrő az ideális ( téglafal , azaz téglalap alakú frekvenciaválasz) aluláteresztő szűrő .

Ez a Fourier integrál, beleértve a speciális esetet is

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \, dx = \ operatornév {rect} (0) = 1}$

nem megfelelő integrál (lásd Dirichlet -integrál ), és nem konvergens Lebesgue integrál ,

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ bal | {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \ jobb | \, dx =+\ infty.}$

A normalizált sinc függvény olyan tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek ideálissá teszik a mintavételezett sávfüggvények interpolációjával kapcsolatban :

• Ez egy interpolációs függvény, azaz sinc (0) = 1 , és sinc ( k ) = 0 a nem nulla egész szám esetén .
• A funkciók x _k ( t ) = sinc ( t - k ) ( k egész szám) képez ortonormáiis bázis számára Sávkorlátozott funkciók a funkció térben L ² ( R ) , a legmagasabb körfrekvencia ω _H = π (azaz legmagasabb Ütemfrekvencia f _H =1/2).

A két sinc funkció egyéb tulajdonságai:

• A nem normalizált sinc az első típusú _nulla rendű gömb alakú Bessel-függvény , j ₀ ( x ) . A normalizált sinc j ₀ (π x ) .
• ahol Si ( x ) a szinuszintegrál ,
  $${\ displaystyle \ int _ {0}^{x} {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} \, d \ theta = \ operatornév {Si} (x).}$$

  
• λ sinc ( λx ) (nem normalizált) a lineáris rendes differenciálegyenlet két lineárisan független megoldásának egyike
  $${\ displaystyle x {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}}+2 {\ frac {dy} {dx}}+\ lambda^{2} xy = 0.}$$

  
  A másik az cos ( λx )/x, amely nincs korlátozva x = 0 -nál , ellentétben a sinc függvény párjával.
• Normalizált szinkron használatával,
  $${\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^{\ infty} {\ frac {\ sin ^{2} (\ theta)} {\ theta ^{2}}} \, d \ theta = \ pi \ quad \ Jobbra mutató \ quad \ int _ {-\ infty} ^{\ infty} \ operatornév {sinc} ^{2} (x) \, dx = 1,}$$

  
• ${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} \, d \ theta = \ int _ {-\ infty}^{\ infty } \ bal ({\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} \ jobb)^{2} \, d \ theta = \ pi.}$
• ${\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^{\ infty} {\ frac {\ sin ^{3} (\ theta)} {\ theta ^{3}}} \, d \ theta = {\ frac { 3 \ pi} {4}}.}$
• ${\ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^{\ infty} {\ frac {\ sin ^{4} (\ theta)} {\ theta ^{4}}} \, d \ theta = {\ frac { 2 \ pi} {3}}.}$
• A következő helytelen integrál magában foglalja a (nem normalizált) sinc függvényt:
  $${\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} {\ frac {dx} {x^{n} +1}} = 1+2 \ összeg _ {k = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{k+1}} {(kn)^{2} -1}} = {\ frac {1} {\ operatornév {sinc} ({\ frac {\ pi} {n}}) }}.}$$

  

Kapcsolat a Dirac -delta eloszlással

A normalizált sinc függvény születő delta függvényként használható , ami azt jelenti, hogy a következő gyenge határ érvényes:

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {\ pi x} {a}} \ right)} {\ pi x}} = \ lim _ {a \ ide: 0} {\ frac {1} {a}} \ operatornév {sinc} \ balra ({\ frac {x} {a}} \ jobbra) = \ delta (x).}$

Ez nem közönséges határ, mivel a bal oldal nem közeledik egymáshoz. Inkább azt jelenti

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ frac {1} {a}} \ operatornév {sinc} \ left ({\ frac {x} { a}} \ jobb) \ varphi (x) \, dx = \ varphi (0)}$

minden Schwartz -függvényre , amint az a Fourier -inverziós tételből is látható . A fenti kifejezés, mint a → 0 , a rezgések száma egységnyi hossza a sinc függvény végtelenhez közelít. Ennek ellenére a kifejezés mindig ± borítékban oszcillál1/π xFüggetlenül az értéke egy .

Ez bonyolítja a δ ( x ) informális képét , amely nulla minden x esetében, kivéve az x = 0 pontot , és szemlélteti azt a problémát, hogy a delta függvényt függvényként, nem pedig eloszlásként kell gondolni. Hasonló helyzet áll fenn a Gibbs -jelenségben is .

Összegzés

Ebben a részben az összes összeg a nem normalizált sinc függvényre vonatkozik.

A összege sinc ( n ) felett egész szám n 1-től ∞ egyenlőkπ - 1/2:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ operatornév {sinc} (n) = \ operatornév {sinc} (1)+\ operatornév {sinc} (2)+\ operatornév {sinc} (3 )+\ operatornév {sinc} (4)+\ cdots = {\ frac {\ pi -1} {2}}.}$

A négyzetek összege is egyenlő π - 1/2:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^{\ infty} \ operatornév {sinc} ^{2} (n) = \ operatornév {sinc} ^{2} (1)+\ operatornév {sinc} ^{2 } (2)+\ operatornév {sinc} ^{2} (3)+\ operatornév {sinc} ^{2} (4)+\ cdots = {\ frac {\ pi -1} {2}}.}$

Amikor az összeadások jelei váltakoznak és + -al kezdődnek, az összeg egyenlő1/2:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} (-1)^{n+1} \, \ operatornév {sinc} (n) = \ operatornév {sinc} (1)-\ operatornév {sinc } (2)+\ operatornév {sinc} (3)-\ operatornév {sinc} (4)+\ cdots = {\ frac {1} {2}}.}$

A négyzetek és kockák váltakozó összege is egyenlő 1/2:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^{\ infty} (-1) ^{n+1} \, \ operatornév {sinc} ^{2} (n) = \ operatornév {sinc} ^{2} (1)-\ operatnev 1} {2}},}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^{\ infty} (-1) ^{n+1} \, \ operatornév {sinc} ^{3} (n) = \ operatornév {sinc} ^{3} (1)-\ operatnev 1} {2}}.}$

Sorozatbővítés

A normalizálatlan sinc függvény Taylor sorozata a szinuszból kapható:

${\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n} x^{2n}} {(2n +1)!}} = 1-{\ frac {x^{2}} {3!}}+{\ Frac {x^{4}} {5!}}-{\ frac {x^{6} } {7!}}+\ Cdots}$

A sorozat minden x -re konvergál . A normalizált változat könnyen követhető:

${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ pi x} {\ pi x}} = 1-{\ frac {\ pi ^{2} x ^{2}} {3!}}+{\ frac {\ pi ^{4} x^{4}} {5!}}-{\ frac {\ pi^{6} x^{6}} {7!}}+\ Cdots}$

Euler híresen összehasonlította ezt a sorozatot a végtelen termékforma bővítésével a bázeli probléma megoldása érdekében .

Magasabb méretek

A terméket 1-D sinc funkciók könnyen biztosít többváltozós sinc funkció a négyzet derékszögű rácsot ( rács ): sinc _C ( x , y ) = sinc ( x ) sinc ( y ) , amelynek Fourier-transzformáció az indikátor függvénye egy négyzet a frekvenciatérben (azaz a 2-D térben meghatározott téglafal). A sinc függvény egy nem derékszögű rács (pl, hexagonális rács ) egy olyan függvény, amelynek Fourier-transzformációt az indikátor függvénye a Brillouin zóna az említett rács. Például, a sinc funkció a hexagonális rács egy függvény, amelynek Fourier-transzformációt az indikátor függvénye az egység hatszög a frekvencia térben. Nem derékszögű rács esetén ez a funkció nem érhető el egyszerű tenzortermékkel. A hatszögletű , testközpontú köbös , arcközpontú köbös és más magasabb dimenziós rácsok sinc-függvényének kifejezett képlete azonban kifejezetten levezethető a Brillouin-zónák geometriai tulajdonságainak és a zónotópokhoz való kapcsolódásuk felhasználásával .

Például hatszögletű rácsot lehet előállítani a vektorok (egész) lineáris tartományával

${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2}} \\ {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ end {bmatrix} } \ quad {\ text {és}} \ quad \ mathbf {u} _ {2} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2}} \\-{\ frac {\ sqrt {3} } {2}} \ end {bmatrix}}.}$

Jelölés

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ xi}} _ {1} = {\ tfrac {2} {3}} \ mathbf {u} _ {1}, \ quad {\ boldsymbol {\ xi}} _ {2} = {\ tfrac {2} {3}} \ mathbf {u} _ {2}, \ quad {\ boldsymbol {\ xi}} _ {3} =-{\ tfrac {2} {3}} (\ mathbf {u} _ {1}+\ mathbf {u} _ {2}), \ quad \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}},}$

ennek a hatszögletű rácsnak a sinc függvénye származtatható

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatornév {sinc} _ {\ text {H}} (\ mathbf {x}) = {\ tfrac {1} {3}} {\ big (} & \ cos \ left (\ pi {\ boldsymbol {\ xi}} _ {1} \ cdot \ mathbf {x} \ jobb) \ operatornév {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {2} \ cdot \ mathbf { x} \ jobb) \ operatornév {sinc} \ bal ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {3} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \\ & {}+\ cos \ left (\ pi {\ félkövér szimbólum {\ xi}} _ {2} \ cdot \ mathbf {x} \ jobb) \ operatornév {sinc} \ bal ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {3} \ cdot \ mathbf {x} \ jobb) \ operatornév {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {1} \ cdot \ mathbf {x} \ right) \\ & {}+\ cos \ left (\ pi {\ boldsymbol {\ xi} } _ {3} \ cdot \ mathbf {x} \ jobb) \ operatornév {sinc} \ bal ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {1} \ cdot \ mathbf {x} \ jobb) \ operatornév {sinc} \ left ({\ boldsymbol {\ xi}} _ {2} \ cdot \ mathbf {x} \ right) {\ big)}. \ end {aligned}}}$

Ez a konstrukció használható Lanczos ablak tervezésére általános többdimenziós rácsokhoz.

Lásd még

• Anti-aliasing szűrő
• Sink szűrő
• Lanczos újra mintavétel
• Whittaker – Shannon interpolációs képlet
• Shannon hullámvölgy
• Winkel hármas vetítés (térképészet)
• Trigonometrikus integrál
• A mátrixok trigonometrikus függvényei
• Borwein integrál
• Dirichlet integrál

Hivatkozások

Külső linkek

• Weisstein, Eric W. "Sinc Function" . MathWorld .