Algebrallinen funktio - Algebraic function

On matematiikka , algebrallinen funktio on funktio , joka voidaan määritellä juuri on polynomiyhtälön . Melko usein algebralliset funktiot ovat algebrallisia lausekkeita, jotka käyttävät äärellistä määrää termejä, joihin kuuluu vain algebrallisten toimintojen yhteenlasku, vähennys, kertolasku, jako ja korotus murto -osaan. Esimerkkejä tällaisista toiminnoista ovat:

• ${\ displaystyle f (x) = 1/x}$
• ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$
• ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ sqrt {1+x^{3}}} {x^{3/7}-{\ sqrt {7}} x^{1/3}}}}$

Joitakin algebrallisia funktioita ei kuitenkaan voida ilmaista tällaisilla rajallisilla lausekkeilla (tämä on Abel -Ruffinin lause ). Tämä koskee esimerkiksi Bring -radikaalia , jonka funktio on implisiittisesti määritelty

${\ displaystyle f (x)^{5}+f (x)+x = 0}$.

Täsmällisemmin, algebrallinen funktio astetta n yhden muuttujan x on funktio , joka on jatkuva sen domeenin ja joka täyttää polynomiyhtälön${\ displaystyle y = f (x),}$

${\ displaystyle a_ {n} (x) y^{n}+a_ {n-1} (x) y^{n-1}+\ cdots+a_ {0} (x) = 0}$

missä kertoimet _i ( x ) ovat polynomifunktiot on x , kanssa integer kertoimia. Voidaan osoittaa, että sama funktioluokka saadaan, jos algebralliset luvut hyväksytään a _i ( x ) : n kertoimille . Jos kertoimissa esiintyy transsendenttisia lukuja , funktio ei yleensä ole algebrallinen, mutta se on algebrallinen näiden kertoimien tuottaman kentän suhteen .

Algebrallisen funktion arvo rationaaliluvulla ja yleisemmin algebrallisella luvulla on aina algebrallinen luku. Joskus harkitaan kertoimia, jotka ovat renkaan R yli polynomisia , ja sitten puhutaan "algebrallisista funktioista R: n yli ". ${\ displaystyle a_ {i} (x)}$

Funktiota, joka ei ole algebrallista, kutsutaan transsendenttiseksi funktioksi , kuten esimerkiksi . Koostumus transsendentaalisen toimintoja voidaan antaa algebrallinen toiminto: . ${\ displaystyle \ exp x, \ tan x, \ ln x, \ Gamma (x)}$${\ displaystyle f (x) = \ cos \ arcsin x = {\ sqrt {1-x^{2}}}}$

Koska asteen n polynomiyhtälöllä on enintään n juurta (ja täsmälleen n juurta algebrallisesti suljetun kentän , kuten kompleksilukujen ) yli, polynomiyhtälö ei määrittele implisiittisesti yhtä funktiota, vaan enintään n funktiota, joita joskus kutsutaan myös oksat . Harkita esimerkiksi yhtälön yksikköympyrän : Tämä määrittää y , lukuun ottamatta ainoastaan enintään yleisen merkki; vastaavasti sillä on kaksi haaraa: ${\ displaystyle y^{2}+x^{2} = 1. \,}$${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {1-x^{2}}}. \,}$

Algebrallinen toiminto m muuttujat on samalla tavoin määritelty funktiona , joka ratkaisee polynomi yhtälö m  + 1 muuttujat: ${\ displaystyle y = f (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {m})}$

${\ displaystyle p (y, x_ {1}, x_ {2}, \ pisteitä, x_ {m}) = 0.}$

Normaalisti oletetaan, että p: n tulisi olla pelkistymätön polynomi . Implisiittisen funktion lause takaa sitten algebrallisen funktion olemassaolon .

Muodollisesti, algebrallisen funktion m muuttujien kentän K on osa algebrallinen sulkemisen kentän järkevä toimintoja K ( x ₁ , ...,  x _m ).

Algebralliset funktiot yhdessä muuttujassa

Johdanto ja yleiskatsaus

Algebrallisen funktion epävirallinen määritelmä tarjoaa useita vihjeitä niiden ominaisuuksista. Intuitiivisen ymmärryksen saamiseksi voi olla hyödyllistä pitää algebrallisia toimintoja funktioina, jotka voidaan muodostaa tavallisilla algebrallisilla toiminnoilla : yhteenlasku , kertolasku , jako ja n: nnen juuren ottaminen . Tämä on jotain yksinkertaistamista; koska olennainen lause, Galois theory , algebrafunktiot tarvitse olla ilmaistavissa radikaalit.

Huomaa ensin, että mikä tahansa polynomi -funktio on algebrallinen funktio, koska se on yksinkertaisesti ratkaisu y yhtälöön ${\ displaystyle y = p (x)}$

${\ displaystyle yp (x) = 0. \,}$

Yleisemmin mikä tahansa järkevä funktio on algebrallinen, koska se on ratkaisu ${\ displaystyle y = {\ frac {p (x)} {q (x)}}}$

${\ displaystyle q (x) yp (x) = 0.}$

Lisäksi minkä tahansa polynomin n. Juuri on algebrallinen funktio, joka ratkaisee yhtälön ${\ texttyle y = {\ sqrt [{n}] {p (x)}}}$

${\ displaystyle y^{n} -p (x) = 0.}$

Yllättäen algebrallisen funktion käänteisfunktio on algebrallinen funktio. Olettaen, että y on ratkaisu

${\ displaystyle a_ {n} (x) y^{n} +\ cdots +a_ {0} (x) = 0,}$

x : n jokaiselle arvolle , niin x on myös tämän yhtälön ratkaisu jokaiselle y: n arvolle . Itse asiassa vaihtamalla x: n ja y: n roolit ja keräämällä termejä,

${\ displaystyle b_ {m} (y) x^{m}+b_ {m-1} (y) x^{m-1}+\ cdots+b_ {0} (y) = 0.}$

Kirjoittamalla x y: n funktiona saadaan käänteisfunktio, myös algebrallinen funktio.

Kaikilla funktioilla ei kuitenkaan ole käänteistä. Esimerkiksi y  =  x ² epäonnistuu vaakasuoran viivan testissä : se ei ole yksi-yhteen . Käänteinen on algebrallinen "funktio" . Toinen tapa ymmärtää tämän, on se, että joukko oksat polynomiyhtälön määriteltäessä algebrallinen toiminto on kuvaaja, joka algebrallinen käyrä . ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {y}}}$

Kompleksilukujen rooli

Algebrallisesta näkökulmasta kompleksiluvut tulevat luonnollisesti algebrallisten toimintojen tutkimukseen. Ensinnäkin algebran peruslauseen mukaan kompleksiluvut ovat algebrallisesti suljettu kenttä . Näin ollen millä tahansa polynomisuhteella p ( y ,  x ) = 0 taataan vähintään yksi ratkaisu (ja yleensä useita ratkaisuja, jotka eivät ylitä p : n y -arvoa ) y : lle jokaisessa pisteessä x , jos sallimme y : n olettaa monimutkaisia ​​ja todellisia arvoja. Siten algebrallisen funktion alueeseen liittyvät ongelmat voidaan turvallisesti minimoida.

Kaavio algebrallisen funktion y kolmesta haarasta , jossa y ³  -  xy  + 1 = 0, alueen 3/2 ^2/3 < x <50 yli.

Lisäksi vaikka lopulta olisikin kiinnostunut todellisista algebrallisista funktioista, ei välttämättä ole keinoja ilmaista funktiota liittämisen, kertomisen, jakamisen ja n: nnen juuren ottamisen avulla turvautumatta monimutkaisiin lukuihin (ks. Casus irreducibilis ). Tarkastellaan esimerkiksi yhtälön määrittämää algebrallista funktiota

${\ displaystyle y^{3} -xy+1 = 0. \,}$

Käyttämällä kuutiokaavaa saamme

${\ displaystyle y =-{\ frac {2x} {\ sqrt [{3}] {-108+12 {\ sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\ frac {\ sqrt [{ 3}] {-108+12 {\ sqrt {81-12x^{3}}}}} {6}}.}$

Sillä neliöjuuri on todellinen ja kuutiojuuri on siten hyvin määritelty, mikä tarjoaa ainutlaatuisen todellisen juuren. Toisaalta neliöjuuri ei ole todellinen, ja neliöjuurelle on valittava joko muu kuin todellinen neliöjuuri. Siten kuutiomainen juuri on valittava kolmen ei-reaaliluvun joukosta. Jos samat valinnat tehdään kaavan kahdella termillä, kolme vaihtoehtoa kuutiojuurelle tarjoavat oheisen kuvan kolme haaraa. ${\ displaystyle x \ leq {\ frac {3} {\ sqrt [{3}] {4}}},}$${\ displaystyle x> {\ frac {3} {\ sqrt [{3}] {4}}},}$

Voidaan todistaa, että tätä funktiota ei voida ilmaista n: nnen juuren muodossa käyttämällä vain todellisia numeroita, vaikka tuloksena oleva funktio on reaaliarvoinen esitetyn kaavion alueella.

Merkittävämmällä teoreettisella tasolla kompleksilukujen käyttäminen mahdollistaa monimutkaisen analyysin tehokkaiden tekniikoiden käyttämisen keskustellakseen algebrallisista funktioista. Erityisesti argumenttiperiaatetta voidaan käyttää osoittamaan, että mikä tahansa algebrallinen funktio on itse asiassa analyyttinen funktio , ainakin moniarvoisessa mielessä.

Olkoon muodollisesti p ( x ,  y ) kompleksinen polynomi kompleksimuuttujissa x ja y . Oletetaan, että x ₀  ∈  C on sellainen, että y: n polynomilla p ( x ₀ ,  y ) on n erillistä nollaa. Osoitamme, että algebrallinen funktio on analyyttinen, joka naapurustossa on X ₀ . Valitse järjestelmä, jossa on n päällekkäisiä levyjä Δ _{i, jotka} sisältävät kukin näistä nollista. Sitten argumenttiperiaatteella

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ semi \ Delta _ {i}} {\ frac {p_ {y} (x_ {0}, y)} {p (x_ {0}, y)}} \, dy = 1.}$

Jatkuvuuden mukaan tämä pätee myös kaikkiin x : iin x ₀ : n naapurustossa . Erityisesti p ( x ,  y ): llä on vain yksi juuri Δ _{i: ssä} , jäännöslause :

${\ displaystyle f_ {i} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {i}} y {\ frac {p_ {y} (x, y )} {p (x, y)}} \, dy}$

joka on analyyttinen funktio.

Monodromia

Huomaa, että edellä esitetyn todiste analyticity johdettu lauseke järjestelmä n eri toiminnallisia osia f _i ( x ), edellyttäen, että x ei ole kriittinen piste on p ( x ,  y ). Kriittinen piste on piste, jossa useita eri nollia on pienempi kuin aste p , ja tämä tapahtuu vain silloin, kun paras mahdollinen aikavälillä p häviää, ja jossa erotteluanalyysi raja katoaa. Siksi tällaisia ​​pisteitä c ₁ , ...,  c _m on vain rajallisesti monia .

Kriittisten pisteiden lähellä olevien funktioelementtien f _i ominaisuuksien tarkkaa analyysiä voidaan käyttää osoittamaan, että monodromikansi on haarautunut kriittisten pisteiden (ja mahdollisesti äärettömän pisteen ) yli. Siten holomorphic laajentaminen f _i on pahimmillaan algebrallinen pylväät ja tavallisten algebrallisia haarautumien yli kriittisiä kohtia.

Huomaa, että kaukana kriittisistä kohdista meillä on

${\ displaystyle p (x, y) = a_ {n} (x) (y-f_ {1} (x)) (y-f_ {2} (x)) \ cdots (y-f_ {n} (x ))}$

koska f _i ovat määritelmänsä mukaan p: n erilliset nollat . Monodromy ryhmä toimii permutoimalla tekijöitä, ja siten muodostaa monodromy esitys on Galois-ryhmä on s . (Sen monodromy toiminta on universaali peitekuvaus liittyy kuitenkin erilainen käsitys teorian Riemannin pinta.)

Historia

Algebrallisia toimintoja koskevat ajatukset ulottuvat ainakin René Descartesiin asti . Ensimmäinen keskustelu algebrallisista funktioista näyttää olleen Edward Waringin julkaisussa 1794 An Essay on the Principles of Human Knowledge , jossa hän kirjoittaa:

olkoon ordinaattia merkitsevä määrä abskissan x algebrallinen funktio , käyttäen yhteisiä menetelmiä juurten jakamiseksi ja poimimiseksi, pienennä se äärettömäksi sarjaksi nousevaksi tai laskevaksi x: n mittojen mukaan ja löydä sitten kunkin integraali tuloksena olevista ehdoista.

Katso myös

• Algebrallinen lauseke
• Analyyttinen toiminto
• Monimutkainen toiminto
• Perustoiminto
• Toiminto (matematiikka)
• Yleinen toiminto
• Luettelo erikoistoiminnoista ja nimistä
• Luettelo toimintojen tyypeistä
• Polynomi
• Rationaalinen toiminto
• Erikoistoiminnot
• Transsendenttinen toiminto

Viitteet

• Ahlfors, Lars (1979). Monimutkainen analyysi . McGraw Hill.
• van der Waerden, BL (1931). Moderni algebra, osa II . Springer.

Ulkoiset linkit

• "Algebrallisen funktion" määritelmä Encyclopedia of Math
• Weisstein, Eric W. "Algebrallinen funktio" . MathWorld .
• Algebrallinen Toiminto klo PlanetMath .
• Määritelmä "Algebrallinen toiminnon" Arkistoidut 10.26.2020 klo Wayback Machine vuonna David J. Darling n Internet Encyclopedia of Science