Ennakkotilaus - Preorder

Vuonna matematiikan , erityisesti jotta teoriassa , eli ennakkotilauspalveluineen tai quasiorder on binäärirelaatio joka on refleksiivinen ja transitiivinen . Ennakkotilaukset ovat yleisempiä kuin vastaavuussuhteet ja (ei-tiukat) osajärjestykset , jotka molemmat ovat ennakkotilauksen erikoistapauksia: epäsymmetrinen ennakkotilaus on osittainen järjestys ja symmetrinen ennakkotilaus on vastaavuussuhde.

Ennakkotilauksen nimi tulee ajatuksesta, että ennakkotilaukset (jotka eivät ole ositilauksia) ovat "melkein" (osittaisia) tilauksia, mutta eivät aivan; ne eivät välttämättä ole epäsymmetrisiä tai epäsymmetrisiä . Koska ennakkotilaus on binäärisuhde, symbolia voidaan käyttää relaation merkintälaitteena. Kuitenkin, koska ne eivät välttämättä ole epäsymmetrisiä, jotkin symboliin liittyvistä tavallisista intuitioista eivät välttämättä päde. Toisaalta ennakkotilausta voidaan käyttää suoraviivaisesti osittaisen järjestyksen ja vastaavuussuhteen määrittämiseen. Sen tekeminen ei kuitenkaan ole aina hyödyllistä tai kannattavaa, riippuen tutkittavasta ongelma -alueesta. ${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$

Sanoin, kun voidaan sanoa, että b kattaa tai edeltää b , tai että b vähentää ja . Toisinaan merkintätapaa ← tai asemesta käytetään${\ displaystyle a \ leq b,}$ ${\ displaystyle \, \ lesssim \,}$${\ displaystyle \, \ leq.}$

Jokaiselle ennakkotilaukselle on suunnattu kuvaaja , jossa joukon elementit vastaavat pisteitä, ja järjestyssuhde elementtiparien välillä, jotka vastaavat pisteiden välisiä suunnattuja reunoja. Päinvastoin ei pidä paikkaansa: useimmat suunnatut kaaviot eivät ole heijastavia eikä transitiivisia. Yleensä vastaavat kaaviot voivat sisältää jaksoja . Antisymmetrinen ennakkotilaus ei enää sisällä jaksoja; se on osittainen järjestys ja vastaa suunnattua asyklistä kuvaajaa . Symmetrinen ennakkotilaus on ekvivalenssisuhde; sen voidaan ajatella menettäneen suuntamerkit kaavion reunoilla. Yleensä ennakkotilauksen vastaava suunnattu kuvaaja voi sisältää monia irrotettuja komponentteja.

Muodollinen määritelmä

Harkitse homogeeninen suhteessa joissakin tietyn joukon jotta määritelmän mukaan on joitakin osajoukko ja merkintää käytetään sijasta Sitten kutsutaan ennakkotilausvaihtoehdon tai quasiorder jos se on refleksiivinen ja transitiivinen ; eli jos tyydyttää: ${\ displaystyle \, \ leq \,}$ ${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle P \ kertaa P}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle (a, b) \ in \, \ leq.}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$

1. Heijastuskyky : ja${\ displaystyle a \ leq a {\ text {for all}} a \ in P,}$
2. Transitiivisuus :${\ displaystyle {\ text {if}} a \ leq b {\ text {ja}} b \ leq c {\ text {then}} a \ leq c {\ text {for}}} a, b, c \ P-kirjaimessa.}$

Joukkoa, joka on varustettu ennakkotilauksella, kutsutaan ennakkotilattuksi sarjaksi (tai prosetiksi ). Tiukkojen ennakkotilausten korostamiseksi tai vastakohtana ennakkotilausta voidaan kutsua myös ei-tiukkaa ennakkotilausta varten .

Jos refleksiivisyys korvataan refleksiviteetillä (samalla kun transitiivisyys säilyy ), tulosta kutsutaan tiukkaa ennakkotilausta varten; nimenomaisesti, joka on tiukka preorder päällä on homogeeninen binäärirelaatio siitä , että täyttää seuraavat ehdot: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle P}$

1. Irreflexivity tai Anti-refleksiivisyyden: se on, ja${\ displaystyle {\ textit {not}} \; a <a \; {\ text {for all}} a \ in P;}$${\ displaystyle \, <a \; {\ text {is}} {\ textit {false}} {\ text {for all}} a \ in P,}$
2. Transitiivisuus :${\ displaystyle {\ text {if}} a <b {\ text {ja}} b <c {\ text {then}} a <c {\ text {for all}} a, b, c \ P. }$

Binäärirelaatio on tiukka ennakkotilattavissa jos ja vain jos se on tiukka osittaisjärjestys . Määritelmän mukaan tiukka osittainen järjestys on epäsymmetrinen tiukka ennakkotilaus, jota kutsutaan epäsymmetriseksi, jos kaikille. Toisaalta jokainen tiukka ennakkotilaus on tiukka osittaisjärjestys, koska jokainen transitiivinen epärefleksiivinen suhde on välttämättä epäsymmetrinen . Vaikka ne ovat samanarvoisia, termi "tiukka osittainen järjestys" on tyypillisesti parempi kuin "tiukka ennakkotilaus" ja lukijat viitataan artiklaan tiukoista osittaisista tilauksista saadakseen lisätietoja tällaisista suhteista. Toisin kuin tiukat ennakkotilaukset, on monia (ei-tiukkoja) ennakkotilauksia, jotka eivät ole (ei-tiukkoja) ositilauksia . ${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle a <b {\ text {merkitsee}} {{textit {not}} \ b <a}$${\ displaystyle a, b.}$

Aiheeseen liittyviä määritelmiä

Jos ennakkotilausvaihtoehdon on myös antisymmetrinen , että on, ja merkitsee sen jälkeen se on osittainen järjestyksessä . ${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle b \ leq a}$${\ displaystyle a = b,}$

Toisaalta, jos se on symmetrinen , toisin sanoen jos se tarkoittaa, se on vastaavuussuhde . ${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle b \ leq a,}$

Ennakkotilaus on yhteensä, jos tai kaikki${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle b \ leq a}$${\ displaystyle a, b \ s.}$

Käsite ennakkotilata joukko voidaan formuloida kategorinen puitteissa kuin ohut luokka ; eli luokana, jossa on enintään yksi morfismi esineestä toiseen. Tässä objektit vastaavat elementtejä ja on yksi morfismi kohteille, jotka liittyvät toisiinsa, muuten nolla. Vaihtoehtoisesti ennakkotilattu sarja voidaan ymmärtää rikastettuna luokana , joka on rikastettu luokan yli${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P,}$${\ displaystyle 2 = (0 \ - 1).}$

Ennakkotilata luokka on luokka varustettu ennakkotilausta. Jokainen sarja on luokka, joten jokainen ennakkotilattu sarja on ennakkotilattu luokka.

Esimerkkejä

Tavoitettavuutta suhde tahansa suunnatun verkon (mahdollisesti sisältää sykliä) synnyttää ennakkotilauksen, jossa on ennakkotilauskauden, jos ja vain jos on olemassa polku x ja y on suunnattu kaavio. Kääntäen, jokainen ennakkotilauspalveluineen on tavoitettavuutta suhde suunnattu graafi (esimerkiksi graafin, jolla on reunan x ja y ja jokainen pari ( x , y ) kanssa on kuitenkin monia erilaisia kuvaajia voi olla sama tavoitettavuutta ennakkotilauksen kuin toisiaan. Samalla tavalla kohdennettujen asyklisten kaavioiden , joissa ei ole syklejä , saavutettavissa olevat osiot synnyttävät osittain järjestettyjä joukkoja (ennakkotilaukset, jotka täyttävät lisäsymmetriaominaisuuden). ${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle x \ leq y.}$

Jokainen äärellinen topologinen avaruus synnyttää ennakkotilattavissa sen pistettä määrittelemällä jos ja vain jos x kuuluu jokaiselle naapuruston ja y . Jokainen rajallinen ennakkotilaus voidaan muodostaa tällä tavalla topologisen tilan erikoistumisen ennakkotilauksena . Toisin sanoen, on olemassa yksi-yhteen vastaavuus välillä rajallinen topologioita ja rajallinen preorders. Suhde loputtomien topologisten tilojen ja niiden erikoistumisen ennakkotilausten välillä ei kuitenkaan ole yksi yhteen. ${\ displaystyle x \ leq y}$

Verkko on suunnattu ennakkotilauksen, että on, kunkin parin elementtien on yläraja . Verkon kautta tapahtuvan lähentymisen määritelmä on tärkeä topologiassa , jossa ennakkotilauksia ei voi korvata osittain järjestetyillä sarjoilla menettämättä tärkeitä ominaisuuksia.

Muita esimerkkejä:

• Suhde, jonka määrittelee jos missä f on funktio johonkin ennakkotilaukseen.${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle f (x) \ leq f (y),}$
• Suhde on määritelty , jos on olemassa jokin injektio välillä x ja y . Injektio voidaan korvata surjektio , tai minkä tahansa rakenteen säilyttämiseksi toiminto, kuten rengas homomorfismi , tai permutaatio .${\ displaystyle x \ leq y}$
• Embedding suhde mitattavissa yhteensä orderings .
• Kuvaaja suurten sukulainen graafiteoria .
• Luokka , jossa on korkeintaan yksi morfismi mistä tahansa esinettä x ja muuta esinettä y on ennakkotilattavissa. Tällaisia ​​luokkia kutsutaan ohuiksi . Tässä mielessä luokat "yleistävät" ennakkotilauksia sallimalla useamman kuin yhden suhteen objektien välillä: jokainen morfismi on erillinen (nimetty) ennakkotilaussuhde.

Tietotekniikasta löytyy esimerkkejä seuraavista ennakkotilauksista.

• Monet yksi ja Turingin vähennykset ovat ennakkotilauksia monimutkaisuusluokissa.
• Alatyypitys suhteet ovat yleensä preorders.
• Simulaation ennakkotilaukset ovat ennakkotilauksia (tästä nimi).
• Vähentäminen suhteet vuonna abstrakti kirjoittamasta järjestelmissä .
• Encompassment preorder on joukko ehtoja , on määritelty jos subterm ja t on korvaaminen esimerkiksi on n .${\ displaystyle s \ leq t}$

Esimerkki kokonaistilauksesta :

• Etusija tavallisten mallien mukaan.

Käyttää

Ennakkotilauksilla on keskeinen rooli useissa tilanteissa:

• Jokaiselle ennakkotilaukselle voidaan antaa topologia, Aleksandrovin topologia ; ja todellakin, jokainen sarjan ennakkotilaus on henkilökohtaisessa kirjeenvaihdossa Aleksandrovin topologian kanssa.
• Ennakkotilauksia voidaan käyttää sisätilojen algebrojen määrittämiseen .
• Ennakkotilaukset tarjoavat Kripken semantiikan tietyille modaalilogiikan tyypeille .
• Ennakkotilaukset käytetään pakottavat vuonna joukko-oppi todistaa yhdenmukaisuuden ja riippumattomuus tuloksia.

Rakenteet

Jokainen binäärirelaatio joukkoon voidaan pidentää ennakkotilattavissa ottamalla transitiivisten sulkemisesta ja refleksiivinen sulkeminen , transitiivisen sulkeminen osoittaa polkua yhteys jos ja vain jos on olemassa - tie välillä ja${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R^{+=}.}$${\ displaystyle R: xR^{+} y}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y.}$

Binäärisuhteen aiheuttama vasen ennakkotilaus

Annetaan binäärirelaatio Komplementoitu koostumus muodostaa ennakkotilausvaihtoehdon nimeltään vasen jäljellä , missä tarkoittaa päinvastainen suhde on ja tarkoittaa täydennys suhde taas tarkoittaa suhteessa koostumuksen . ${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle R \ backslash R = {\ overline {R^{\ textf {T}} \ circ {\ overline {R}}}}}$${\ displaystyle R^{\ textf {T}}}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle {\ overline {R}}}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle \ circ}$

Osioiden ennakkotilaukset ja ositilaukset

Annetaan ennakkotilausvaihtoehdon päälle voidaan määritellä ekvivalenssirelaatio päälle siten, että ${\ displaystyle \, \ lesssim \,}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \, \ sim \,}$${\ displaystyle S}$

Tuloksena oleva suhde on refleksiivinen, koska ennakkotilaus on refleksiivinen, transitiivinen soveltamalla ennakkotilauksen transitiivisuutta kahdesti ja symmetrinen määritelmän mukaan. ${\ displaystyle \, \ sim \,}$

Tätä suhdetta käyttämällä on mahdollista rakentaa osittainen järjestys ekvivalenssin osamääräjoukkoon, joka on kaikkien ekvivalenssiluokkien joukko , jos ennakkotilaus on - syklin vastaavuusluokkien joukko : jos ja vain jos tai on -syklissä kanssa Joka tapauksessa, on mahdollista määritellä Tämän määritelmän rakenteen perusteella se on riippumaton valituista edustajista ja vastaava suhde on todellakin hyvin määritelty. On helppo varmistaa, että tästä saadaan osittain järjestetty sarja. ${\ displaystyle S/\ sim,}$${\ displaystyle \, \ sim.}$${\ displaystyle R^{+=},}$ ${\ displaystyle S/\ sim}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle x \ in [y]}$${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle S/\ sim,}$${\ displaystyle [x] \ leq [y] {\ text {jos ja vain jos}} x \ lesssim y.}$${\ displaystyle \, \ sim,}$

Käänteisesti, osittaisen tilauksen osion joukko voidaan rakentaa ennakkotilattavissa on yksi-yhteen vastaavuus välillä preorders ja parien (osio, osittainen järjestyksessä). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$

Esimerkki : Antaa olla muodollinen teoria , joka on joukko lauseita, joilla on tiettyjä ominaisuuksia (joiden yksityiskohdat löytyvät aihetta koskevasta artikkelista ). Se voi esimerkiksi olla ensimmäisen kertaluvun teoria (kuten Zermelo-Fraenkel-joukkoteoria ) tai yksinkertaisempi nollajärjestyksen teoria . Yksi monista ominaisuuksista on se, että se on suljettu loogisten seurausten alla, joten esimerkiksi jos lause sisältää loogisesti jonkin lauseen, joka kirjoitetaan välttämättä ja silloin välttämättä Suhde on ennakkotilaus päällä, koska aina pitää ja milloin ja molemmat niin tekee lisäksi Lisäksi, jos ja vain ; toisin sanoen kaksi virkettä vastaavat, jos ja vain jos ne ovat loogisesti vastaavia . Tämä erityisesti ekvivalenssirelaatio on yleisesti merkitty sen oma oma erityinen symboli ja niin tämä symboli voidaan käyttää sen sijaan, että vastaavuus luokan lauseen merkitty koostuu kaikista lauseita , jotka vastaavat loogisesti (eli kaikki sellainen, että ). Osittaiselle järjestykselle, jolla indusoidaan myös samalla symbolilla, on tunnusomaista silloin ja vain, jos oikeanpuoleinen ehto on riippumaton edustajien valinnasta ja vastaavuusluokista. Kaikki, mitä tähän mennessä on sanottu, voidaan sanoa myös sen käänteissuhteesta . Ennakkotilattu joukko on suunnattu joukko, koska jos ja jos merkitsee loogisen yhdistelmän muodostamaa lausetta silloin ja missä Osittain järjestetty joukko on siten myös suunnattu joukko. Katso asiaan liittyvä esimerkki Lindenbaumin – Tarskin algebrasta . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A \ in S}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle A \ Rightarrow B}$${\ displaystyle B \ Vasen nuoli A,}$${\ displaystyle B \ in S.}$${\ displaystyle \, \ Vasen nuoli \,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A \ Vasen nuoli A}$${\ displaystyle A \ Vasen nuoli B}$${\ displaystyle B \ Vasen nuoli C}$${\ displaystyle A \ Vasen nuoli C.}$${\ displaystyle A, B \ in S,}$ ${\ displaystyle A \ sim B}$${\ displaystyle A \ Vasen nuoli B {\ text {ja}} B \ Vasen nuoli A}$${\ displaystyle \, \ Vasen nuoli \,}$${\ displaystyle A \ sim B}$${\ displaystyle A \ iff B,}$${\ displaystyle \, \ iff \,}$${\ displaystyle \, \ sim.}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle [A],}$${\ displaystyle B \ in S}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B \ in S}$${\ displaystyle A \ iff B}$${\ displaystyle S/\ sim}$${\ displaystyle \, \ Vasen nuoli, \,}$${\ displaystyle \, \ Vasen nuoli, \,}$${\ displaystyle [A] \ Vasen nuoli [B]}$${\ displaystyle A \ Vasen nuoli B,}$${\ displaystyle A \ kohteessa [A]}$${\ displaystyle B \ in [B]}$${\ displaystyle \, \ Vasen nuoli \,}$ ${\ displaystyle \, \ Rightarrow. \,}$${\ displaystyle (S, \ Vasen nuoli)}$${\ displaystyle A, B \ in S}$${\ displaystyle C: = A \ kiila B}$ ${\ displaystyle \, \ kiila, \,}$${\ displaystyle A \ Vasen nuoli C}$${\ displaystyle B \ Vasen nuoli C}$${\ displaystyle C \ in S.}$${\ displaystyle \ left (S/\ sim, \ Vasen nuoli \ oikea)}$

Ennakkotilaukset ja tiukat ennakkotilaukset

Ennakkotilauksen aiheuttama tiukka ennakkotilaus

Ennakkotilauksen perusteella uusi suhde voidaan määritellä ilmoittamalla, että jos ja vain jos tai vastaavasti, käyttämällä edellä esitettyä vastaavuussuhdetta, jotta suhde täyttää ${\ displaystyle \, \ lesssim,}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle (a \ lesssim b {\ text {and not}} b \ lesssim a),}$${\ displaystyle (a \ lesssim b {\ text {and not}} a \ sim b)}$

Suhde on tiukka osittainen järjestys ja jokainen tiukka osittainen järjestys voi olla seurausta tällaisesta rakenteesta. Jos ennakkotilaus on epäsymmetrinen ja siten osittainen järjestys, vastaavuus on tasa -arvo (eli ), joten suhde tämä määritelmä voidaan toistaa seuraavasti: ${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle \, \ lesssim \,}$${\ displaystyle a \ sim b {\ text {jos ja vain jos}} a = b}$${\ displaystyle \, <\,}$

$${\ displaystyle a <b \ quad {\ text {jos ja vain jos}} \ quad (a \ leq b {\ text {ja}} a \ neq b) \ quad \ quad ({\ text {if}} \ lesssim {\ text {on epäsymmetrinen}}).}$$

Mutta mikä tärkeintä, tämä ei ole suhteen yleinen määritelmä (eli sitä ei ole määritelty seuraavasti: jos ja vain jos ), koska jos ennakkotilaus ei ole epäsymmetrinen, tuloksena oleva suhde ei olisi transitiivinen (ajattele kuinka vastaavat ei-yhtä suuret elementit liittyä). Tämä on syy käyttää symboli " " eikä "vähemmän kuin tai yhtä kuin" symboli " ", joka saattaa aiheuttaa sekaannusta ennakkotilausvaihtoehdon, joka ei ole antisymmetrinen, koska se voi harhaanjohtava ehdottaa, että merkitsee${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle (a \ lesssim b {\ text {and}} a \ neq b)}$${\ displaystyle \, \ lesssim \,}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle \ lesssim}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a <b {\ text {or}} a = b.}$

Tiukan ennakkotilauksen aiheuttamat ennakkotilaukset

Tällä rakenteella useat ennakkotilaukset " " voivat johtaa samaan suhteeseen tiukkaan ennakkotilaukseen, joten ilman lisätietoa, kuten vastaavuussuhdetta " " ei voida rekonstruoida " ". Mahdollisia ennakkotilauksia ovat seuraavat: ${\ displaystyle \, \ lesssim \,}$${\ displaystyle \, <, \,}$${\ displaystyle \, \ lesssim \,}$${\ displaystyle <}$

• Määrittele nimellä (eli ota relaation heijastava sulkeminen). Tämä antaa osittaisen järjestyksen, joka liittyy tiukkaan osittaiseen järjestykseen " " heijastavan sulkemisen kautta; tässä tapauksessa vastaavuus on tasa -arvo, joten emme tarvitse merkintöjä ja${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a <b {\ text {or}} a = b}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle \, \ lesssim \,}$${\ displaystyle \, \ sim.}$
• Määrittele " " (eli ota suhteen käänteinen täydennys), joka vastaa määritelmää "ei "; nämä suhteet ja ovat yleensä ole transitiivinen; jos ne ovat, on kuitenkin vastaavuus; siinä tapauksessa " " on

tiukka heikko järjestys . Tuloksena oleva ennakkotilaus yhdistetään (aiemmin nimeltään yhteensä), eli yhteensä ennakkotilaus .${\ displaystyle a \ lesssim b}$${\ displaystyle {\ text {not}} b <a}$${\ displaystyle a \ sim b}$${\ displaystyle a <b {\ text {nor}} b <a}$${\ displaystyle \, \ lesssim \,}$${\ displaystyle \, \ sim \,}$${\ displaystyle \, \ sim \,}$${\ displaystyle <}$

Ennakkotilausten määrä

Lukumäärä n -elementin Binäärirelaatioita erityyppisiä

Elementit	Minkä tahansa	Transitiivinen	Refleksiivinen	Ennakkotilaus	Osittainen järjestys	Ennakkotilaus yhteensä	Tilaus yhteensä	Vastaavuussuhde
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65 536	3 994	4 096	355	219	75	24	15
n	2 n 2		2 n 2 - n			${\ texttyle \ summa _ {k = 0}^{n} k!}$S ( n , k )	n !	${\ texttyle \ summa _ {k = 0}^{n}}$S ( n , k )
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Kuten edellä on selitetty, ennakkotilausten ja parien välillä on 1: 1-vastaavuus (osio, osittainen järjestys). Ennakkotilausten määrä on siis osioiden ositettujen tilausten määrän summa. Esimerkiksi:

• varten ${\ displaystyle n = 3:}$
  • 1 osio 3, antaa 1 ennakkotilauksen
  • 3 osiota 2 + 1 , antaa ennakkotilauksia${\ displaystyle 3 \ kertaa 3 = 9}$
  • 1 osio 1 + 1 + 1 , jolloin 19 ennakkotilausta
  Eli yhteensä 29 ennakkotilausta.
• varten ${\ displaystyle n = 4:}$
  • 1 osio 4, mikä antaa 1 ennakkotilauksen
  • 7 osiota kahdella luokalla (4 3 + 1 ja 3 2 + 2 ), jotka antavat ennakkotilauksia${\ displaystyle 7 \ kertaa 3 = 21}$
  • 6 osiota 2 + 1 + 1 , jotka antavat ennakkotilauksia${\ displaystyle 6 \ kertaa 19 = 114}$
  • 1 osio 1 + 1 + 1 + 1 , jolloin saadaan 219 ennakkotilausta
  Eli yhteensä 355 ennakkotilausta.

Väli

Sillä

väli on pisteiden joukko x täyttävän ja myös kirjoittanut Se sisältää vähintään pistettä ja b . Määritelmän voi laajentaa kaikkiin pareihin. Kaikki lisävälit ovat tyhjiä. ${\ displaystyle a \ lesssim b,}$ ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle a \ lesssim x}$${\ displaystyle x \ lesssim b,}$${\ displaystyle a \ lesssim x \ lesssim b.}$${\ displaystyle (a, b)}$

Käyttämällä vastaavaa tiukkaa suhdetta " " voidaan myös määritellä aikaväli pistejoukkoksi

x, joka täyttää ja myös kirjoitetaan . Avoin väli voi olla tyhjä, vaikka${\ displaystyle <}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle a <x}$${\ displaystyle x <b,}$${\ displaystyle a <x <b.}$${\ displaystyle a <b.}$

Myös ja voidaan määritellä samalla tavalla. ${\ displaystyle [a, b)}$${\ displaystyle (a, b]})$

Katso myös

• Osittainen järjestys - ennakkotilaus, joka on epäsymmetrinen
• Ekvivalenssisuhde -

symmetrinen ennakkotilaus

Yhteensä ennakkotilaus - kokonaistilaus

Kokonaistilaus - ennakkotilaus, joka on epäsymmetrinen ja yhteensä

Ohjattu setti

Ennakkotilattujen sarjojen luokka

Ennakkotilaus

Hyvin lähes järjestys

Huomautuksia

1. ^ Katso "proset" esim. Eklund, Patrik; Gähler, Werner (1990), "Yleistetyt Cauchy -tilat", Mathematische Nachrichten , 147 : 219–233, doi : 10.1002/mana.19901470123 , MR  1127325.
2. ^ Pierce, Benjamin C. (2002). Tyypit ja ohjelmointikielet . Cambridge, Massachusetts/Lontoo, Englanti: The MIT Press. s. 182 s. ISBN 0-262-16209-1.
3. ^ Kunen, Kenneth (1980), Set Theory, An Introduction to Independence Proofs , Studies in logiikka ja matematiikan perusta, 102 , Amsterdam, Alankomaat: Elsevier.
4. ^ Tässä yhteydessä "" ei tarkoita "asetettua eroa".${\ displaystyle \ backslash}$

Viitteet

• Schmidt, Gunther, "Suhteellinen matematiikka", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, voi. 132, Cambridge University Press, 2011, ISBN  978-0-521-76268-7
• Schröder, Bernd SW (2002), Ordered Sets: An Introduction , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9