Heterogeeninen suhde - Heterogeneous relation

On matematiikka , joka on heterogeeninen suhteessa on binaarinen suhteessa , joka on osajoukko on karteesinen tulo x B , jossa ja B ovat erillisiä joukkoja. Etuliite hetero on kreikkalaisesta ἕτερος ( heteros , "muu, toinen, erilainen").

Heterogeeninen suhde on kutsuttu suorakulmainen suhteessa , mikä viittaa siihen, että se ei ole neliö-symmetria homogeeninen suhteessa on joukko , jossa = B . Kommentoidessaan binäärisuhteiden kehitystä homogeenisten suhteiden ulkopuolella, tutkijat kirjoittivat: "... teoriasta on kehittynyt muunnos, joka käsittelee suhteita alusta alkaen heterogeenisiksi tai suorakulmaisiksi , eli suhteiksi , joissa normaalissa tapauksessa ne ovat suhteita. erilaisia ​​sarjoja. "

Algebrallisen logiikan kehitys on helpottanut binaarisuhteiden käyttöä. Hammaskiven suhteiden sisältää algebran sarjaa , pidentää koostumus suhteet ja käytön päinvastainen suhteet . Sisältö R ⊆ S , mikä tarkoittaa, että aRb merkitsee aSb: tä , asettaa kohtauksen suhteiden ristikkoon . Mutta koska sisällyttämissymboli on tarpeeton. Kuitenkin koostumus suhteet ja manipuloinnin toimijoiden mukaan Schröder sääntöjen , tarjoaa hammaskiven työskennellä asetetulla teholla ja × B . ${\ displaystyle P \ subseteq Q \ equiv (P \ cap {\ bar {Q}} = \ lakkaus) \ equiv (P \ cap Q = P),}$

Toisin kuin homogeeniset suhteet, suhteiden toiminnan kokoonpano on vain osittainen tehtävä . Välttämättömyys matching valikoima verkkotunnus koostuvat suhteissa on päätelty, että tutkimus heterogeeninen suhteiden on luku luokan teoriassa kuin luokan sarjaa , paitsi että morphisms tästä ovat suhteita. Esineet Luokan Rel ovat joukkoja, ja suhde-morphisms säveltää vaadittavien luokkaan .

Esimerkkejä

Meret ja mantereet

1) Olkoon A = {Intian, Arktisen alueen, Atlantin, Tyynenmeren alue, maapallon valtameret ja B = {NA, SA, AF, EU, AS, OC, AA}, maanosat . Olkoon ARB edustavat että meressä rajoja mantereella b . Tällöin tämän suhteen looginen matriisi on:

${\ displaystyle R = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Maaplaneetan liitettävyyttä voidaan tarkastella RR ^{T: n} ja R ^T R: n kautta , joista ensimmäinen on 4 × 4-suhde A: lla , joka on universaali suhde ( A × A tai kaikkien looginen matriisi). Tämä universaali suhde heijastaa sitä tosiasiaa, että jokainen valtameri erotetaan muista vain yhdellä mantereella. Toisaalta, R ^T R on relaatio B × B , joka ei olevan yleistä, koska ainakin kahden valtameren läpi on kuljettava jotta matkallaan Eurooppaan ja Oseaniassa .

2) Suhteiden visualisointi perustuu graafiteoriaan : Joukon suhteille (homogeeniset suhteet) suunnattu kaavio kuvaa suhdetta ja graafi symmetristä suhdetta. Heterogeenisissä suhteissa hypergraafilla on reunat, joissa on mahdollisesti enemmän kuin kaksi solmua, ja se voidaan havainnollistaa kaksiosaisella kuvaajalla .

Aivan kuten klikki on olennainen joukon suhteille, niin bikeleitä käytetään kuvaamaan heterogeenisiä suhteita; todellakin, ne ovat "käsitteitä", jotka synnyttävät suhteeseen liittyvän hilan.

Erilaiset t- akselit edustavat aikaa liikkuville tarkkailijoille, vastaavat x- akselit ovat heidän samanaikaisia ​​viivojaan

3) Hyperbolinen ortogonaalisuus : Aika ja tila ovat eri luokkia, ja ajalliset ominaisuudet ovat erillään spatiaalisista ominaisuuksista. Ajatus samanaikaisista tapahtumista on yksinkertainen absoluuttisessa ajassa ja tilassa, koska joka kerta t määrittää samanaikaisen hypertason kyseisessä kosmologiassa. Herman Minkowski muutti sitä, kun hän ilmaisi suhteellisen samanaikaisuuden käsitteen , joka esiintyy, kun paikkatapahtumat ovat "normaaleja", nopeudelle ominaiseen aikaan. Hän käytti määrittelemätöntä sisäistä tuloa ja tarkensi, että aikavektori on normaali avaruusvektorille, kun kyseinen tulo on nolla. Määrittelemätön sisäinen tuote koostumusalgebrassa saadaan

${\ displaystyle <x, z> \ = \ x {\ bar {z}} + {\ bar {x}} z}$  missä yläpalkki tarkoittaa konjugaatiota.

Joidenkin ajallisten tapahtumien ja joidenkin paikkatapahtumien välisenä suhteena hyperbolinen ortogonaalisuus (kuten jaettuina kompleksilukuina ) on heterogeeninen suhde.

4) Geometristä konfiguraatiota voidaan pitää suhteena sen pisteiden ja viivojen välillä. Suhde ilmaistaan ilmaantuvuutena . Mukana ovat äärelliset ja äärettömät projektii- ja affinitasot. Jakob Steiner oli edelläkävijä kokoonpanojen luetteloinnissa Steiner-järjestelmien S ( t, k, n ) kanssa, joissa on n-elementtijoukko S ja joukko k-elementtisiä alajoukkoja, joita kutsutaan lohkoiksi , niin että t- elementtinen osajoukko on vain yhdessä lohkossa . Nämä esiintymisrakenteet on yleistetty lohkomalleilla . Ilmaantuvuus matriisi , joita käytetään näissä geometriset yhteyksissä vastaa loogista käytetyn matriisin yleisesti binary suhteita.

Esiintyvyys rakenne on kolminkertainen D = ( V , B , I ), jossa V ja B ovat mitkä tahansa kaksi erilliseen joukkoon, ja I on binäärinen suhde V ja B , toisin sanoen I ⊆ V x B . V: n elementtejä kutsutaan pisteiksi , B- lohkojen ja I-lippujen elementeiksi .

Indusoitu käsitehila

Heterogeenisiä suhteita on kuvattu niiden aiheuttamien käsitehilojen kautta : Käsite C ⊂ R täyttää kaksi ominaisuutta: (1) C: n looginen matriisi on loogisten vektorien ulompi tulo

${\ displaystyle C_ {ij} \ = \ u_ {i} v_ {j}, \ quad u, v}$ loogiset vektorit. (2) C on maksimaalinen, ei sisällä mitään muuta ulkotuotetta. Siten C: tä kuvataan suurentumattomana suorakulmiona.

Annetulle suhteelle R : X → Y käsitteiden joukko, joka on laajentunut niiden liittymisillä ja kohtaamisilla, muodostaa "indusoidun käsitteiden ristikon", johon inkluusio muodostaa ennakkotilauksen . ${\ displaystyle \ sqsubseteq}$

MacNeille loppuun lauseen (1937) (joka osittaisen järjestystä voidaan upottaa täydellinen ristikko ) on mainittu on 2013 tutkimuksessa artikkelissa "Hajoaminen suhteiden käsitteestä ristikoita". Hajoaminen on

${\ displaystyle R \ = \ f \ E \ g ^ {T},}$ missä f ja g ovat funktioita , joita tässä yhteydessä kutsutaan kartoituksiksi tai vasemman ja summan yhtäläisiksi suhteiksi. "Indusoitu käsitehila on isomorfinen osittaisen järjestyksen E leikkausvalmiudelle, joka kuuluu relaation R minimaaliseen hajoamiseen ( f, g, E ) ".

Erityistapauksia tarkastellaan jäljempänä: E- kokonaisjärjestys vastaa Ferrers-tyyppiä ja E- identiteetti vastaa difunktionaalista, vastaavuuden suhteen yleistämistä joukolle.

Suhteet voidaan luokitella Schein-listalla, joka laskee suhteiden kattamiseksi tarvittavien käsitteiden määrän. Rakenteellinen analyysi suhteista käsitteisiin tarjoaa lähestymistavan tiedon louhintaan .

Erityiset suhteet

• Lause : Jos R on sarjasuhde ja R ^T on sen transponoitava, missä on m × m- identtisyyssuhde. ${\ displaystyle I \ subseteq R ^ {T} R}$${\ displaystyle I}$
• Lause : Jos R on surjektiivinen suhde , niin missä on n × n- identtisyyssuhde. ${\ displaystyle I \ subseteq RR ^ {T}}$${\ displaystyle I}$

Toimimaton

Joukon homogeenisten suhteiden joukossa ekvivalenssisuhteet erotetaan kyvynsä jakaa sarja. Heterogeenisissä suhteissa ajatus on jakaa objektit erottamalla määritteet. Yksi tapa tehdä tämä on väliintuleva joukko Z = { x, y, z , ...} indikaattoreita . Ositus suhde R = FG ^T on koostumus suhteet käyttäen yksivalenssisia suhteet F ⊆ × Z ja G ⊆ B × Z .

Looginen matriisi Tällaisen suhde R voidaan uudelleen järjestetty lohko matriisi , jossa lohkojen niitä pitkin lävistäjä. Suhteiden laskennan suhteen vuonna 1950 Jacques Riguet osoitti, että tällaiset suhteet tyydyttävät osallisuuden

${\ displaystyle R \ R ^ {T} \ R \ \ subseteq \ R.}$

Hän nimesi nämä suhteet difunktionaalisiksi, koska koostumus FG ^T sisältää yksiarvoisia suhteita, joita kutsutaan yleisesti toiminnoiksi .

Käyttämällä merkintää { y : xRy } = xR , difunktionaalinen suhde voidaan luonnehtia myös suhteeksi R siten, että missä tahansa x ₁ R: llä ja x ₂ R: llä on tyhjä leikkauspiste, nämä kaksi joukkoa yhtyvät; muodollisesti x ₁ R ∩ x ₂ R ≠ ∅ merkitsee x ₁ R = x ₂ R .

Vuonna 1997 tutkijat havaitsivat "binäärisen hajotuksen hyödyllisyyden perustuen difunktionaalisiin riippuvuuksiin tietokantojen hallinnassa". Lisäksi difunktionaaliset suhteet ovat olennaisia bisimulaatioiden tutkimuksessa .

Homogeenisten suhteiden yhteydessä osittainen ekvivalenssisuhde on difunktionaalinen.

In automaattien teoria , termi suorakulmainen suhteessa on myös käytetty tarkoittamaan difunktionaalisten suhteen. Tämä terminologia muistuttaa tosiasian, että kun ne esitetään loogisena matriisina, difunktionaalisen suhteen sarakkeet ja rivit voidaan järjestää lohkojen diagonaalimatriiseiksi, joissa on suorakulmaiset lohkot tosi (epäsymmetrisessä) päädiagonaalissa.

Ferrers-tyyppi

Tiukka järjestys joukkoon on homogeeninen suhteessa syntyvien järjestyksessä teoriassa . Vuonna 1951 Jacques Riguet hyväksyi kokonaisluvun osion järjestyksen , nimeltään Ferrers-kaavio , järjestyksen laajentamiseksi heterogeenisiin suhteisiin.

Heterogeenisen suhteen vastaavassa loogisessa matriisissa on rivejä, jotka päättyvät ei-kasvavaan sekvenssiin. Siten Ferrerin kaavion pisteet muutetaan pisteiksi ja kohdistetaan matriisin oikealle puolelle.

Ferrers-tyyppisuhteelle R vaadittava algebrallinen käsky on

${\ displaystyle R {\ bar {R}} ^ {T} R \ subseteq R.}$

Jos jokin suhteista on Ferrers-tyyppisiä, niin ne kaikki ovat. ${\ displaystyle R, \ {\ bar {R}}, \ R ^ {T}}$

Ottaa yhteyttä

Olettaa B on voima joukko on , joukon kaikkien osajoukkojen on . Sitten relaatio g on kontaktisuhde, jos se täyttää kolme ominaisuutta:

1. ∀ x on , Y = { x } merkitsee x g Y .
2. Y ⊆ Z ja xg Y tarkoittaa xg Z: tä .
3. ∀ y on Y , yg Z ja x g Y merkitsee xg Z .

Asetettu jäsenyys suhde, ε = "on osa", täyttää nämä ominaisuudet niin ε on kosketuksessa suhteessa. Georg Aumann otti käyttöön käsitteen yleisestä kontaktisuhteesta vuonna 1970.

Suhteiden laskennan kannalta riittävät ehdot kosketussuhteelle ovat

${\ displaystyle C ^ {T} {\ bar {C}} \ \ subseteq \ \ ni {\ bar {C}} \ \ \ equiv \ C \ {\ overline {\ ni {\ bar {C}}}} \ \ subseteq \ C,}$ missä on asetetun jäsenyyden (∈) päinvastainen. ${\ displaystyle \ ni}$

Ennakkotilaa R \ R

Jokainen suhde R tuottaa ennakkotilauksen R \ R, joka on vasen jäännös . Suhteen päinvastainen ja komplementtien, Muotoilu lävistäjä , vastaava rivi R ^T ja sarakkeessa on vastakkaisten loogisten arvojen, joten lävistäjä on kaikki nollia. Sitten ${\ displaystyle R \ taaksepäiviiva R \ \ equiv \ {\ overline {R ^ {T} {\ bar {R}}}}.}$${\ displaystyle R ^ {T} {\ bar {R}}}$${\ displaystyle {\ bar {R}}}$

${\ displaystyle R ^ {T} {\ bar {R}} \ subseteq {\ bar {I}} \ \ merkitsee \ I \ subseteq {\ overline {R ^ {T} {\ bar {R}}}} \ = \ R \ taaksepäin viiva R,}$ niin että R \ R on refleksiivinen suhde .

Näyttämään transitiivisuus , yksi edellyttää, että ( R \ R ) ( R \ R ) ⊂ R \ R . Muista, että X = R \ R on suurin suhteessa siten, että RX ⊂ R . Sitten

${\ displaystyle R (R \ taaksepäin viiva R) \ subseteq R}$

${\ displaystyle R (R \ Backslash R) (R \ Backslash R) \ subseteq R}$ (toistaa)

${\ displaystyle \ equiv R ^ {T} {\ bar {R}} \ subseteq {\ overline {(R \ Backslash R) (R \ Backslash R)}}}$ (Schröderin sääntö)

${\ displaystyle \ equiv (R \ taaksepäin viiva R) (R \ taaksoviiva R) \ subseteq {\ overline {R ^ {T} {\ bar {R}}}}}$ (täydentäminen)

${\ displaystyle \ equiv (R \ taaksepäin viiva R) (R \ taaksoviiva R) \ subseteq R \ taaksoviiva R.}$ (määritelmä)

Sisällyttäminen suhteessa Ω on asetetulla teholla ja U voidaan saada tällä tavalla kuin jäsenyys suhteessa ∈ on osajoukkoja U :

${\ displaystyle \ Omega \ = \ {\ overline {\ ni {\ bar {\ in}}}}} = = \ in \ taaksepäin vinoviiva sisään.}$

Suhteen rajaus

Kun otetaan huomioon suhde R , alisuhde, jota kutsutaan sen reunaksi, määritellään seuraavasti

${\ displaystyle \ operaattorinimi {fringe} (R) = R \ cap {\ overline {R {\ bar {R}} ^ {T} R}}.}$

Kun R on osittainen identiteetti suhteessa, difunktionaalisia tai lohkodiagonaalisen suhteessa, sitten hapsut ( R ) = R . Muuten reuna operaattori valitsee rajaa ala-suhde on kuvattu suhteessa sen loogisen matriisi: hapsut ( R ) on puoli lävistäjä jos R on ylhäällä oikealla kolmion lineaarinen järjestys tai tiukka järjestyksessä . Fringe ( R ) on lohkoreuna, jos R on heijastamaton ( ) tai oikean yläkulman lohko kolmion muotoinen. Fringe ( R ) on raja suorakulmioiden sarja, kun R on Ferrers-tyyppinen. ${\ displaystyle R \ subseteq {\ bar {I}}}$

Toisaalta Fringe ( R ) = ∅, kun R on tiheä , lineaarinen, tiukka järjestys.

Matemaattiset kasat

Annetaan kaksi ja B , joukko binary niiden väliset suhteet voidaan varustaa kolmen komponentin toiminta , jossa b ^T merkitsee päinvastainen suhde on b . Vuonna 1953 Viktor Wagner käytti tämän kolmikomponenttisen operaation ominaisuuksia määrittelemään puolihoitoja, kasoja ja yleisiä kasoja. Heterogeenisten ja homogeenisten suhteiden kontrasti korostuu seuraavilla määritelmillä: ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (A, B)}$ ${\ displaystyle [a, \ b, \ c] \ = \ ab ^ {T} c}$

Wagnerin työssä on miellyttävä symmetria toisaalta kasojen, puolijauhojen ja yleistettyjen kasojen sekä toisaalta ryhmien, puoliryhmien ja yleistettyjen ryhmien välillä. Pohjimmiltaan erilaisten semiheaps näkyviin aina pidämme Binäärirelaatioita (ja osittaisena kartoitukset) välillä eri sarjaa ja B , kun taas erilaiset semigroups näkyvät siinä tapauksessa = B .

-  Christopher Hollings, "Matematiikka rautaesiripun yli: puoliryhmien algebrallisen teorian historia"

Katso myös

• Suhteiden luokka
• Allegoria (luokan teoria)

Viitteet

• Schmidt, Gunther ; Ströhlein, Thomas (2012). "Luku 3: Heterogeeniset suhteet" . Suhteet ja kaaviot: Diskreetti matematiikka tietojenkäsittelytieteen tutkijoille . Springer Science & Business Media. ISBN   978-3-642-77968-8 . CS1 maint: ei suositeltu parametri ( linkki )
• Ernst Schröder (1895) Algebra der Logik, Band III , Internet-arkiston kautta