Looginen vastaavuus - Logical equivalence

Vuonna logiikan ja matematiikan , lausuntoja ja sanotaan olevan loogisesti vastaavia , jos ne ovat todistettavissa toisistaan alle joukko aksioomat, tai on sama totuusarvo jokaisessa mallissa . Looginen vastaavuus ja on joskus ilmaistaan , , , tai , riippuen merkintää käytetään. Näitä symboleja käytetään kuitenkin myös aineelliseen vastaavuuteen , joten oikea tulkinta riippuu kontekstista. Looginen ekvivalenssi eroaa aineellisesta ekvivalenssista, vaikka nämä kaksi käsitettä ovat luontaisesti yhteydessä toisiinsa. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ equiv q}$${\ displaystyle p :: q}$${\ displaystyle {\ textf {E}} pq}$${\ displaystyle p \ iff q}$

Loogiset vastaavuudet

Logiikassa on monia yleisiä loogisia vastaavuuksia, ja ne luetellaan usein laeina tai ominaisuuksina. Seuraavat taulukot kuvaavat joitain näistä.

Yleiset loogiset vastaavuudet

Vastaavuus	Nimi
${\ displaystyle p \ wedge \ top \ equiv p}$ ${\ displaystyle p \ vee \ bot \ equiv p}$	Identiteettilakit
${\ displaystyle p \ vee \ top \ equiv \ top}$ ${\ displaystyle p \ wedge \ bot \ equiv \ bot}$	Ylivaltaa koskevat lait
${\ displaystyle p \ vee p \ equiv p}$ ${\ displaystyle p \ wedge p \ equiv p}$	Idempotenttiset tai tautologiset lait
${\ displaystyle \ neg (\ neg p) \ equiv p}$	Kaksinkertainen negaation laki
${\ displaystyle p \ vee q \ equiv q \ vee p}$ ${\ displaystyle p \ wedge q \ equiv q \ wedge p}$	Kommutatiiviset lait
${\ displaystyle (p \ vee q) \ vee r \ equiv p \ vee (q \ vee r)}$ ${\ displaystyle (p \ wedge q) \ wedge r \ equiv p \ wedge (q \ wedge r)}$	Assosiaatiolakit
${\ displaystyle p \ vee (q \ wedge r) \ equiv (p \ vee q) \ wedge (p \ vee r)}$ ${\ displaystyle p \ wedge (q \ vee r) \ equiv (p \ wedge q) \ vee (p \ wedge r)}$	Jakelulakit
${\ displaystyle \ neg (p \ wedge q) \ equiv \ neg p \ vee \ neg q}$ ${\ displaystyle \ neg (p \ vee q) \ equiv \ neg p \ wedge \ neg q}$	De Morganin lait
${\ displaystyle p \ vee (p \ wedge q) \ equiv p}$ ${\ displaystyle p \ wedge (p \ vee q) \ equiv p}$	Imeytymislait
${\ displaystyle p \ vee \ neg p \ equiv \ top}$ ${\ displaystyle p \ wedge \ neg p \ equiv \ bot}$	Negatiiviset lait

Ehdollisia lauseita sisältävät loogiset vastaavuudet

1. ${\ displaystyle p \ merkitsee q \ equiv \ neg p \ vee q}$
2. ${\ displaystyle p \ merkitsee q \ equiv \ neg q \ implises \ neg p}$
3. ${\ displaystyle p \ vee q \ equiv \ neg p \ implises q}$
4. ${\ displaystyle p \ wedge q \ equiv \ neg (p \ merkitsee \ neg q)}$
5. ${\ displaystyle \ neg (p \ merkitsee q) \ equiv p \ wedge \ neg q}$
6. ${\ displaystyle (p \ merkitsee q) \ wedge (p \ implises r) \ equiv p \ implises (q \ wedge r)}$
7. ${\ displaystyle (p \ merkitsee q) \ vee (p \ merkitsee r) \ equiv p \ implises (q \ vee r)}$
8. ${\ displaystyle (p \ merkitsee r) \ wedge (q \ merkitsee r) \ equiv (p \ vee q) \ merkitsee r}$
9. ${\ displaystyle (p \ merkitsee r) \ vee (q \ merkitsee r) \ equiv (p \ kiila q) \ merkitsee r}$

Loogiset ekvivalenssit, joihin liittyy kaksitekijöitä

1. ${\ displaystyle p \ iff q \ equiv (p \ merkitsee q) \ wedge (q \ merkitsee p)}$
2. ${\ displaystyle p \ iff q \ equiv \ neg p \ iff \ neg q}$
3. ${\ displaystyle p \ iff q \ equiv (p \ wedge q) \ vee (\ neg p \ wedge \ neg q)}$
4. ${\ displaystyle \ neg (p \ iff q) \ equiv p \ iff \ neg q}$

Esimerkkejä

Logiikassa

Seuraavat lauseet vastaavat loogisesti:

1. Jos Lisa on Tanskassa , hän on Euroopassa (lomake ).${\ displaystyle d \ tarkoittaa e}$
2. Jos Lisa ei ole Euroopassa, hän ei ole Tanskassa (ilmoitus lomakkeesta ).${\ displaystyle \ neg e \ merkitsee \ neg d}$

Syntaktisesti, (1) ja (2) ovat johdettavissa toisiinsa sääntöjä contraposition ja kaksinkertainen negaatio . Semanttisesti (1) ja (2) ovat totta täsmälleen samoissa malleissa (tulkinnat, arvostukset); nimittäin ne, joissa Lisa on Tanskassa, ovat väärät tai Lisa ovat Euroopassa, ovat totta.

(Huomaa, että tässä esimerkissä oletetaan klassinen logiikka . Jotkut ei-klassiset logiikat eivät pidä (1) ja (2) loogisesti vastaavina.)

Matematiikassa

Matematiikassa kaksi lausetta ja niiden sanotaan usein olevan loogisesti samanarvoisia, jos ne voidaan todistaa toisistaan ​​antamalla joukko aksiomia ja oletuksia. Esimerkiksi lausetta " on jaollinen 6: lla" voidaan pitää vastaavana lausekkeella " on jaettavissa kahdella ja 3: lla", koska ensimmäinen voidaan todistaa jälkimmäisestä (ja päinvastoin) käyttämällä jonkin verran tietoa perusnumeroteoriasta . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Suhde aineelliseen vastaavuuteen

Looginen vastaavuus eroaa aineellisesta vastaavuudesta. Kaavat ja ovat loogisesti vastaavia vain ja vain, jos niiden aineellisen vastaavuuden lausunto ( ) on tautologia. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ iff q}$

Aineellinen vastaavuus ja (usein kirjoitettu nimellä ) on itsessään toinen lausunto samalla objektikielellä kuin ja . Tämä lausunto ilmaisee ajatuksen "" vain ja vain, jos "". Erityisesti totuuden arvo voi muuttua mallista toiseen. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ vasenkätinen nuoli q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ vasenkätinen nuoli q}$

Toisaalta väite siitä, että kaksi kaavaa ovat loogisesti samanarvoisia, on metakielen lause , joka ilmaisee suhteen kahden lausekkeen ja . Lausunnot ovat loogisesti samanarvoisia, jos niillä on jokaisessa mallissa sama totuusarvo. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Katso myös

• Loppu
• Yhdenmukaisuus
• Jos ja vain jos
• Looginen kaksikonditsionaalinen
• Looginen tasa-arvo
• ≡ iff-symboli (U + 2261 IDENTICAL TO )
• ∷ on b , kuten c on d symboli (U + 2237 OSUUS )
• ⇔ kaksinkertainen iski Biconditional (U + 21D4 VASEN OIKEA kaksoisnuolen )
• ↔ kaksisuuntainen nuoli (U + 2194 VASEN OIKEA NUOLI )

Viitteet