Vaihto (logiikka) - Substitution (logic)

Substituutio on keskeinen käsite on logiikka . Korvaaminen on syntaktinen muunnos muodollisia ilmauksia. Ja sovelletaan vaihdon erään ilmaisu keinoja johdonmukaisesti korvata muuttuja, tai paikkamerkki, symboleja muita ilmaisuja. Tuloksena olevaa lauseketta kutsutaan alkuperäisen lausekkeen substituutio- tai lyhyeksi esiintymäksi .

Ehdotuslogiikka

Määritelmä

Jossa ψ ja cp edustavat kaavat ja lause- logiikan, ψ on korvaaminen esimerkiksi on φ jos ja vain jos ψ voidaan saada φ korvaamalla kaavat symbolien φ , korvaamalla kukin esiintyminen saman symbolin esiintyminen saman kaavan. Esimerkiksi:

(R → S) & (T → S)

on korvaava esiintymä:

P & Q

ja

(A ↔ A) ↔ (A ↔ A)

on korvaava esiintymä:

(A ↔ A)

Joissakin propositio-logiikan deduktiojärjestelmissä uusi lauseke ( propositio ) voidaan lisätä johdannaisen riville, jos se on johdannan edellisen rivin korvausilmentymä (Hunter 1971, s. 118). Näin uudet linjat otetaan käyttöön joissakin aksiomaattisissa järjestelmissä . Järjestelmissä, jotka käyttävät sääntöjä muutos , sääntö voi sisältää käytön korvaaminen esimerkiksi varten käyttöön tiettyjen muuttujien osaksi johtaminen.

In ensimmäisen kertaluvun logiikka , joka suljettu lause- kaava , joka voidaan johtaa avoimesta lause- kaavan substituoimalla sanotaan olevan vaihdon esimerkki . Jos on suljettu propositionaalinen kaava laskemme itse sen vain korvaaminen esimerkiksi.

Tautologiat

Lauseke on tautologia, jos se on totta sen predikaattisymbolien jokaisessa arvioinnissa (tai tulkinnassa ). Jos Φ on tautologia ja Θ on Φ: n korvausilmentymä, niin Θ on taas tautologia. Tämä tosiasia merkitsee edellisessä osassa kuvatun vähennyssäännön oikeellisuutta.

Ensiluokkainen logiikka

In ensimmäisen kertaluvun logiikan , joka on substituutio on yhteensä kartoitus σ : V → T välillä muuttujia ja ehdot ; monet, mutta eivät kaikki kirjoittajat vaativat lisäksi σ ( x ) = x kaikille, mutta lopullisesti monille muuttujille x . Merkintää { x 1  ↦  t 1 , ..., x k  ↦  t k } viittaa vaihdon kartoitus kunkin muuttujan x i vastaavaksi aikavälin t i , ja i = 1, ..., k , ja joka toinen muuttuja itse; x i on oltava pareittain erillisiä. Soveltamalla että substituutio termi t on kirjoitettu postfixin notaatio kuin t { x 1  ↦  t 1 , ..., x k  ↦  t k }; se tarkoittaa (samanaikaisesti) korvata jokaisen x i : n t esiintymän t : llä t i: llä . Tulosta tσ korvaamisen σ soveltamisesta termiin t kutsutaan kyseisen termin t esiintymäksi . Esimerkiksi soveltamalla termiin korvausta { x  ↦  z , z  ↦  h ( a , y )}

f ( z , a , g ( x ), y )   tuotot
f ( h ( a , y ) , a , g ( z ), y ) .

Verkkotunnuksen dom ( σ ) ja vaihdon σ on yleisesti määritellään joukko muuttujia itse asiassa korvasi, eli dom ( σ ) = { x ∈ V | xσ ≠ x }. Korvausta kutsutaan maa- korvaukseksi, jos se kartoittaa kaikki toimialueensa muuttujat maahan , ts. Muuttujatonta, termeihin. Vaihdosta esimerkiksi tσ jauhetusta substituutio on maa aikavälillä, jos kaikki t ' : n muuttujat ovat σ ' domain, eli jos vars ( t ) ⊆ dom ( σ ). Substituutio σ kutsutaan lineaarinen korvaamista, jos tσ on lineaarinen termi joillekin (ja siten jokainen) lineaarinen termi t , jotka sisältävät juuri muuttujat σ " domain, ts vars ( t ) = dom ( σ ). Substituutio σ kutsutaan tasainen substituutio jos xσ on muuttuja joka muuttuja x . Substituutio σ kutsutaan uudelleennimeäminen korvaamista, jos se on permutaatio on joukko kaikki muuttujat. Kuten jokaisessa permutaatiossa, uudelleennimeämisessä substituutiolla σ on aina käänteinen substituutio σ −1 siten, että tσσ −1 = t = tσ −1 σ jokaiselle termille t . Käänteistä ei ole kuitenkaan mahdollista määrittää mielivaltaiselle korvaukselle.

Esimerkiksi { x  ↦ 2, y  ↦ 3 + 4} on maadoituskorvaus, { x  ↦  x 1 , y  ↦ y 2 +4} on maaton  ja ei-tasainen, mutta lineaarinen, { x  ↦  y 2 , y  ↦  y 2 +4} on epälineaarinen ja ei-tasainen, { x  ↦  y 2 , y  ↦  y 2 } on tasainen, mutta epälineaarinen, { x  ↦  x 1 , y  ↦  y 2 } on sekä lineaarinen että tasainen, mutta ei uudelleennimeäminen, koska on kartoittaa molemmat y ja y 2 on y 2 ; jokaisella näistä korvauksista on joukko { x , y } toimialueena. Esimerkki uudelleennimeämisestä korvauksesta on { x  ↦  x 1 , x 1  ↦  y , y  ↦  y 2 , y 2  ↦  x }, sillä on käänteinen { x  ↦  y 2 , y 2  ↦  y , y  ↦  x 1 , x 1  ↦  x }.  Litteällä substituutiolla { x ↦  z , y  ↦  z } ei voi olla käänteistä arvoa, koska esim. ( X + y ) { x  ↦  z , y  ↦  z } = z + z , eikä jälkimmäistä termiä voida muuttaa takaisin arvoksi x + y , koska tiedot alkuperästä, josta z johtuu, menetetään.  Maakorvauksella { x ↦ 2} ei voi olla käänteistä johtuen samanlaisesta alkuperätiedon menetyksestä esim. ( X +2) { x  ↦ 2} = 2 + 2, vaikka vakioiden korvaaminen muuttujilla olisi sallittu jonkinlaisen fiktiivisen "yleistyneet korvaukset".

Kahta vaihtoa pidetään yhtä suuri , jos ne kartta jokaisen muuttujan rakenteellisesti yhtäläisiä tuloksen kannalta, muodollisesti: σ = τ jos xσ = xτ kunkin muuttujan x ∈ V . Koostumus on kahta vaihtoa σ = { x 1  ↦  t 1 , ..., x k  ↦  t k } ja τ = { y 1  ↦  u 1 , ..., y l  ↦ u l } saadaan poistamalla vaihdosta { x 1  ↦  t 1 τ ,…, x k  ↦  t k τ , y 1  ↦  u 1 ,…, y l  ↦  u l } ne parit y i  ↦  u i , joille y i ∈ { x 1 ,…, x k }. Σ: n ja τ: n koostumusta merkitään στ: lla . Sommittelu on assosiatiivinen operaatio, ja se on yhteensopiva substituutiosovelluksen kanssa, ts. ( Ρσ ) τ = ρ ( στ ) ja ( tσ ) τ = t ( στ ) vastaavasti jokaiselle substituutiolle ρ , σ , τ ja jokaiselle termille t . Identiteetti substituutio , joka kartoittaa jokainen muuttuja itse on neutraali elementti korvaaminen koostumuksen. Substituutio σ kutsutaan idempotentti jos σσ = σ , ja siten tσσ = tσ jokaisen aikavälin t .  Korvaus { x 1 ↦  t 1 ,…, x k  ↦  t k } on idempotenttinen vain ja vain, jos mikään muuttujista x i ei esiinny missään t i: ssä . Korvauskoostumus ei ole kommutatiivinen, ts. Στ voi olla erilainen kuin τσ, vaikka σ ja τ olisivat idempotentteja.

Esimerkiksi { x  ↦ 2, y  ↦ 3 + 4} on yhtä suuri kuin { y  ↦ 3 + 4, x  ↦ 2}, mutta eroaa arvosta { x  ↦ 2, y  ↦ 7}.  Korvaus { x ↦  y + y } on idempotentti, esim. (( X + y ) { x ↦ y + y }) { x ↦ y + y } = (( y + y ) + y ) { x ↦ y + y } = ( y + y ) + y , kun taas korvaus { x  ↦  x + y } ei ole idempotenttinen, esim. (( x + y ) { x ↦ x + y }) { x ↦ x + y } = (( x + y ) + y ) { x ↦ x + y } = (( x + y ) + y ) + y . Esimerkki muuttamattomista korvauksista on { x  ↦  y } { y  ↦  z } = { x  ↦  z , y  ↦  z }, mutta { y  ↦  z } { x  ↦  y } = { x  ↦  y , y  ↦  z } .

Katso myös

Huomautuksia

Viitteet

Ulkoiset linkit