Algebrallisten lajikkeiden morfismi - Morphism of algebraic varieties

On algebrallinen geometria , joka on funktio siitä lähes affine erilaisia sen taustalla kenttä , on säännöllinen funktio jos mielivaltainen piste on olemassa avoin -osassa U ympäri, että kohta siten, että f voidaan ilmaista osa, kuten jossa ovat polynomeja, on ympäröivän affinisen tilan niin, että h ei ole missään nollassa U: ssa . Säännöllinen kartta mielivaltaisesta erilaisia ja affiiniset tila on kartta annetaan n-tuple säännöllisen toimintoja. Morfismi kahden lajiketta on jatkuva kartan kaltainen siten, että jokaiselle avoimessa joukossa ja jokainen säännöllinen toimivat kuten , toiminto on säännöllistä. Morfismien koostumus on morfismeja, joten ne muodostavat luokan . Tässä luokassa käänteistä morfismia kutsutaan isomorfismiksi . Sanomme, että kaksi lajiketta ovat isomorfisia, jos niiden välillä on isomorfismia, tai vastaavasti, jos niiden koordinaattirenkaat ovat isomorfisia (eli ) algebroina niiden taustalla olevien kenttien päällä. ${\ displaystyle f \ kaksoispiste Y \ - k}$ ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle g/h}$${\ displaystyle g, h}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle \ varphi \ kaksoispiste X \ Y: lle}$${\ displaystyle V \ subseteq Y}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste V \ - k}$${\ displaystyle f \ circ \ varphi \ kaksoispiste \ varphi ^{-1} (V) \-k}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle A (X) \ cong A (Y)}$

Silverman määritellään morfismi kuin rationaalinen kartan , joka on säännöllisesti joka kohdassa.

Määritelmä

Jos X ja Y ovat suljetussa subvarieties on ja (niin, että ne ovat affine lajikkeet ), sitten säännöllisesti kartta on rajoitus on polynomin kartta Erikseen, se on muotoa: ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{m}}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste X \ - Y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n} \ to \ mathbb {A} ^{m}}$

${\ displaystyle f = (f_ {1}, \ pisteitä, f_ {m})}$

jossa s ovat koordinoida rengas on X : ${\ displaystyle f_ {i}}$

${\ displaystyle k [X] = k [x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}]/I,}$

jossa I on ihanteellinen määrittävä X (huom. kaksi polynomia f ja g määrittelevät saman funktion X: llä vain ja vain, jos f  -  g on I: ssä ). Kuva f ( x ) piilee Y , ja siten täyttää määritellään yhtälöt Y . Toisin sanoen säännöllinen kartta on sama kuin polynomikartan rajoitus, jonka komponentit täyttävät määrittävän yhtälön . ${\ displaystyle f: X \ Y}$${\ displaystyle Y}$

Yleisemmin kartan f : X → Y kahden lajikkeiden on säännöllinen pisteessä x , jos on naapurustossa U on x ja naapuruston V on f ( x ) siten, että f ( U ) ⊂ V ja Rajoitettu funktio f : U → V on säännöllinen funktio joissakin U- ja V -affiinikaavioissa . Sitten f: ää kutsutaan säännölliseksi , jos se on säännöllinen X : n kaikissa kohdissa .

• Huomautus: Ei ole heti selvää, että nämä kaksi määritelmää vastaavat toisiaan: jos X ja Y ovat affiinisia lajikkeita, kartta f : X → Y on säännöllinen ensimmäisessä merkityksessä silloin ja vain, jos se on toisessa mielessä. Ei myöskään ole heti selvää, riippuuko säännöllisyys affiinikarttojen valinnasta (ei.) Tällainen johdonmukaisuusongelma katoaa kuitenkin, jos omaksutaan muodollinen määritelmä. Muodollisesti (abstrakti) algebrallinen lajike määritellään tietyntyyppiseksi paikallisesti rengastetuksi tilaksi . Tätä määritelmää käytettäessä lajikkeiden morfismi on vain paikallisesti rengastettujen tilojen morfismi.

Säännöllisten karttojen koostumus on jälleen säännöllinen; näin ollen algebralliset lajikkeet muodostavat algebrallisten lajikkeiden luokan, jossa morfismit ovat säännöllisiä karttoja.

Säännölliset kartat affine-lajikkeiden välillä vastaavat yksitellen algebran homomorfismia koordinaattirenkaiden välillä: jos f : X → Y on affiinilajikkeiden morfismi, se määrittää algebran homomorfismin

${\ displaystyle f^{\#}: k [Y] \ - k [X], \, g \ mapsto g \ circ f}$

missä ovat X: n ja Y: n koordinaattirenkaat ; se on hyvin määritelty, koska se on polynomi elementteissä . Päinvastoin, jos on algebran homomorfismi, se aiheuttaa morfismin ${\ displaystyle k [X], k [Y]}$${\ displaystyle g \ circ f = g (f_ {1}, \ pisteitä, f_ {m})}$${\ displaystyle k [X]}$${\ displaystyle \ phi: k [Y] \ - k [X]}$

${\ displaystyle \ phi ^{a}: X \ Y: lle}$

antanut: kirjoittaminen ${\ displaystyle k [Y] = k [y_ {1}, \ pisteitä, y_ {m}]/J,}$

${\ displaystyle \ phi ^{a} = (\ phi ({\ overline {y_ {1}}}), \ pisteitä, \ phi ({\ overline {y_ {m}}}))}$

missä ovat kuvat . Huomaa samoin kuin Erityisesti f on affiinilajikkeiden isomorfismi silloin ja vain, jos f ^# on koordinaattirenkaiden isomorfismi. ${\ displaystyle {\ overline {y}} _ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle {\ phi ^{a}} ^{\#} = \ phi}$${\ displaystyle {f^{\#}}^{a} = f.}$

Esimerkiksi, jos X on suljettu subvariety affiini erilaisia Y ja f on osallisuutta, niin f ^# on rajoitus säännöllisesti toimintoja, Y ja X . Katso lisää esimerkkejä #esimerkit alta.

Säännölliset toiminnot

Siinä erityisessä tapauksessa, että Y on A ¹ , säännöllistä karttaa f : X → A ¹ kutsutaan säännölliseksi funktioksi ja ne ovat differentiaaligeometriassa tutkittujen sileiden funktioiden algebrallisia analogeja . Rengas säännöllisesti toimintoja (joka on koordinoida rengas tai abstraktimmassa rengas maailmanlaajuinen osien rakenne nippu) on perustavaa laatua oleva objekti affine algebrallinen geometria. Ainoa säännöllinen toiminta on projektiivisen eri on vakio (tämä voidaan nähdä algebrallinen analoginen Liouvillen lause on monimutkainen analyysi ).

Skalaarifunktio f : X → ¹ on säännöllinen pisteessä x , jos joissakin avoin Affiininen naapurustossa X , se on järkevä toiminta , joka on säännöllinen at x ; eli on säännöllisiä funktioita g , h lähellä x: tä niin, että f = g / h ja h eivät katoa kohdasta x . Varovaisuus: ehto on noin pari ( g , h ), ei kaikkien parien ( g , h ); katso esimerkkejä .

Jos X on lähes projektiivinen lajike ; eli avoin subvariety on projektiivisen erilaisia, niin funktio alalla k ( X ) on sama kuin sulkeminen ja X ja siten rationaalinen funktio X on muotoa g / h noin homogeeninen osia g , h ja samassa määrin homogeenisessa koordinoida rengas on (vrt projektiivinen lajike # monipuolisuus rakenne .) Sitten rationaalifunktio f on x on säännöllinen pisteessä x , jos ja vain jos on olemassa joitakin homogeeninen elementtejä g , h saman verran , kuten että f = g / h ja h ei katoa kohdasta x . Tätä luonnetta pidetään joskus säännöllisen funktion määritelmänä. ${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle k [{\ overline {X}}]}$${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle k [{\ overline {X}}]}$

Vertailu kaavojen morfismiin

Jos X = Spec A ja Y = Spec B ovat affiinisia kaavioita , niin jokainen renkaan homomorfismi φ: B → A määrittää morfismin

${\ displaystyle \ phi ^{a}: X \ Y: lle, \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ phi ^{-1} ({\ mathfrak {p}})}$

ottamalla ennalta kuvat on alkuideaali . Kaikki affiinijärjestelmien väliset morfismit ovat tämän tyyppisiä ja tällaisten morfismien liimaaminen antaa yleisen kaavojen morfismin .

Jos X , Y ovat affinisia lajikkeita; eli A , B ovat kiinteitä verkkotunnuksia , jotka luodaan äärellisesti algebrat algebrallisesti suljetun kentän k yli , ja sitten vain suljettujen pisteiden kanssa toimiminen yllä on sama kuin #Definition . (Todiste: Jos f  : X → Y on morfismi, kirjoittaminen on osoitettava ${\ displaystyle \ phi = f^{\#}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {f (x)} = \ phi ^{-1} ({\ mathfrak {m}} _ {x})}$

missä ovat pisteitä x ja f ( x ) vastaavat enimmäisideaalit ; eli , . Tämä on heti.) ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}, {\ mathfrak {m}} _ {f (x)}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} = \ {g \ in k [X] \ mid g (x) = 0 \}}$

Tämä tosiasia tarkoittaa, että luokka affiinia lajikkeet voidaan tunnistaa täyden alaluokka Affiininen järjestelmien yli k . Koska lajikkeiden morfismit saadaan liimaamalla affiinilajikkeiden morfismit samalla tavalla kuin kaavojen morfismit saadaan liimaamalla affiinijärjestelmien morfismit, tästä seuraa, että lajikkeiden luokka on koko k -luokkien koko alaluokka .

Katso lisätietoja [1] .

Esimerkkejä

• Säännöllisesti toimintoja ⁿ ovat täsmälleen polynomi n muuttujia ja säännöllisesti toimintoja P ⁿ ovat täsmälleen vakioita.
• Olkoon X affiinikäyrä . Sitten${\ displaystyle y = x^{2}}$
  $${\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {A} ^{1}, \, (x, y) \ mapsto x}$$

  
  on morfismi; se on bijektiivinen käänteisen kanssa . Koska g on myös morfismi, f on lajikkeiden isomorfismi.${\ displaystyle g (x) = (x, x^{2})}$
• Olkoon X affiinikäyrä . Sitten${\ displaystyle y^{2} = x^{3}+x^{2}}$
  $${\ displaystyle f: \ mathbf {A}^{1} \ to X, \, t \ mapsto (t^{2} -1, t^{3} -t)}$$

  
  on morfismi. Se vastaa rengashomomorfismia
  $${\ displaystyle f^{\#}: k [X] \ to k [t], \, g \ mapsto g (t^{2} -1, t^{3} -t),}$$

  
  joka nähdään injektiivisena (koska f on surjektiivinen).
• Jatkakaa edellistä esimerkkiä ja antakaa U = A ¹  - {1}. Koska U on hyperplanin t = 1 komplementti , U on affiini. Rajoitus on tavoite. Mutta vastaava rengashomomorfismi on inkluusio , joka ei ole isomorfismi ja siten rajoitus f | _U ei ole isomorfismi.${\ displaystyle f: U \ - X}$${\ displaystyle k [X] = k [t^{2} -1, t^{3} -t] \ hookrightarrow k [t, (t-1)^{-1}]}$
• Olkoon X affiinikäyrä x ² + y ² = 1 ja anna
  $${\ displaystyle f (x, y) = {1-y \ yli x}.}$$

  
  Sitten f on järkevä funktio X: ssä . Se on säännöllinen on (0, 1), vaikka ilmaisua, koska, kuten järkevä toiminta on X , f voidaan myös kirjoittaa .${\ displaystyle f (x, y) = {x \ yli 1+y}}$
• Olkoon X = A ² - (0, 0) . Sitten X on algebrallinen lajike, koska se on lajikkeen avoin osajoukko. Jos f on säännöllinen funktio X: llä , niin f on säännöllinen päällä ja niin on myös . Samoin se on sisällä . Voimme siis kirjoittaa:${\ displaystyle D _ {\ mathbf {A} ^{2}} (x) = \ mathbf {A} ^{2}-\ {x = 0 \}}$${\ displaystyle k [D _ {\ mathbf {A} ^{2}} (x)] = k [\ mathbf {A} ^{2}] [x ^{-1}] = k [x, x ^{ -1}, y]}$${\ displaystyle k [x, y, y^{-1}]}$
  $${\ displaystyle f = {g \ yli x^{n}} = {h \ yli y^{m}}}$$

  
  missä g , h ovat polynomeja k [ x , y ]. Mutta tämä merkitsee sitä, että g on jaollinen x ^{n: llä,} joten f on itse asiassa polynomi. Näin ollen X: n säännöllisten funktioiden rengas on vain k [ x , y ]. (Tämä osoittaa myös, että X ei voi olla affiini, koska jos olisi, X määritetään sen koordinaattirenkaan perusteella ja siten X = A ^2. )
• Oletetaan, että tunnistamalla pisteet ( x  : 1) pisteillä x kohdassa A ¹ ja ∞ = (1: 0). On olemassa P ^1: n automorfismi σ, jonka antaa σ (x: y) = (y: x); erityisesti σ vaihtaa 0 ja ∞. Jos f on järkevä funktio P ^{1: llä} , niin${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1} = \ mathbf {A} ^{1} \ cup \ {\ infty \}}$
  $${\ displaystyle \ sigma ^{\#} (f) = f (1/z)}$$

  
  ja f on säännöllinen kohdassa ∞ vain ja vain, jos f (1/ z ) on säännöllinen nollassa.
• Kun otetaan huomioon pelkistymättömän algebrallisen käyrän V funktiokenttä k ( V ) , funktiokentän toiminnot F voidaan toteuttaa morfismeina V: stä k: n yli olevaan projektiiviseen linjaan . (vrt. #Properties ) Kuva on joko yksittäinen piste tai koko projektiviiva (tämä on seurausta projektiivisten lajikkeiden täydellisyydestä ). Toisin sanoen, ellei F ole itse asiassa vakio, meidän on laskettava F: lle arvo ∞ joissakin V: n kohdissa .
• Kaikille algebrallisille lajikkeille X , Y , projektio
  $${\ displaystyle p: X \ kertaa Y \ - X, \, (x, y) \ mapsto x}$$

  
  on lajikkeiden morfismi. Jos X ja Y ovat affiinisia, niin vastaava rengashomomorfismi on
  $${\ displaystyle p^{\#}: k [X] \ - k [X \ kertaa Y] = k [X] \ otimes _ {k} k [Y], \, f \ mapsto f \ otimes 1}$$

  
  missä .${\ displaystyle (f \ otimes 1) (x, y) = f (p (x, y)) = f (x)}$

Ominaisuudet

Morfismi lajikkeiden välillä on jatkuvaa suhteessa lähteen ja kohteen Zariski -topologioihin.

Lajikkeiden morfismin kuvan ei tarvitse olla avoin eikä suljettu (esimerkiksi kuva ei ole avoin eikä suljettu). Voidaan kuitenkin edelleen sanoa: jos f on morfismi lajikkeiden välillä, f -kuva sisältää avoimen tiheän osajoukon sen sulkemisesta. (vrt. rakennettava sarja .) ${\ displaystyle \ mathbf {A} ^{2} \ to \ mathbf {A} ^{2}, \, (x, y) \ mapsto (x, xy)}$

Algebrallisten lajikkeiden morfismin f : X → Y sanotaan olevan hallitseva, jos sillä on tiheä kuva. Tällaisessa f , jos V on ei-tyhjä avoin Affiininen osajoukko Y , niin on ei-tyhjä avoin Affiininen osajoukko U on X siten, että f ( U ) ⊂ V ja sitten on injektio. Näin ollen hallitseva kartta f indusoi injektion toimintakenttien tasolle: ${\ displaystyle f^{\#}: k [V] \ - k [U]}$

${\ displaystyle k (Y) = \ varinjlim k [V] \ hookrightarrow k (X), \, g \ mapsto g \ circ f}$

jossa raja ylittää kaikki Y: n tyhjät avoimet affiiniosajoukot . (Abstraktimmassa, tämä on indusoitu kartan jäännös alalla on yleinen kohta on Y kuin X .) Kääntäen, joka sisällyttäminen kenttien indusoidaan määräävän järkevä kartta kohteesta X ja Y . Näin ollen yllä oleva rakenne määrittää vastakkaissuuntaisen ekvivalenssin algebrallisten lajikkeiden luokan välillä kentässä k ja hallitsevien rationaalikarttojen välillä niiden välillä ja lopullisesti muodostetun kenttälaajennuksen luokan k välillä . ${\ displaystyle k (Y) \ hookrightarrow k (X)}$

Jos X on tasainen täydellinen käyrä (esimerkiksi P ¹ ) ja jos f on järkevä kartta X: stä projektiiviseen tilaan P ^m , niin f on säännöllinen kartta X → P ^m . Erityisesti, kun X on tasainen täydellinen käyrä, mitä tahansa X: n rationaalifunktiota voidaan pitää morfismina X → P ¹ ja päinvastoin sellaista morfismia rationaalisena funktiona X: ssä .

On normaalia lajikkeen (Erityisesti sileä lajike ), rationaalifunktio on säännöllinen, jos ja vain jos sillä ei ole napojen codimension yksi. Tämä on Hartogsin laajennuslauseen algebrallinen analogi . Tästä tosiasiasta on myös suhteellinen versio; katso [2] .

Morfismi välinen algebrallinen lajikkeita, jotka on homeomorfismi välissä olevat topologinen avaruus ei tarvitse olla isomorfismi (counterexample sitä antavat Frobenius morfismi .) Toisaalta, jos f on bijektio birational ja tavoite tilaa f on normaali lajike , silloin f on kaksisuuntainen. (vrt. Zariskin päälause .) ${\ displaystyle t \ mapsto t^{p}}$

Säännöllinen kartta monimutkaisten algebrallisten lajikkeiden välillä on holomorfinen kartta . (Itse asiassa on pieni tekninen ero: tavallinen kartta on meromorfinen kartta, jonka yksikköpisteet ovat irrotettavia , mutta ero jätetään yleensä huomiotta käytännössä.) Erityisesti säännöllinen kartta kompleksilukuihin on vain tavallinen holomorfinen funktio (monimutkainen -analyyttinen toiminto).

Morfismit projektiiviseen tilaan

Antaa

${\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {P} ^{m}}$

olla morfismi projektiivisesta lajikkeesta projektiiviseen tilaan. Olkoon x on kohta X . Sitten jotkut i : nnen homogeeninen koordinaatti f ( x ) ei ole nolla; Sano, että i = 0 yksinkertaisuuden vuoksi. Sitten, jatkuvuus, on avoin Affiininen naapurustossa U on x siten, että

${\ displaystyle f: U \ to \ mathbf {P} ^{m}-\ {y_ {0} = 0 \}}$

on morfismi, jossa y _i ovat homogeeniset koordinaatit. Huomaa, että kohdetila on affininen tila A ^m tunnistamisen kautta . Siten rajoitus f | _U on annettu ${\ displaystyle (a_ {0}: \ pisteitä: a_ {m}) = (1: a_ {1}/a_ {0}: \ pisteitä: a_ {m}/a_ {0}) \ sim (a_ {1 }/a_ {0}, \ pisteitä, a_ {m}/a_ {0})}$

${\ displaystyle f | _ {U} (x) = (g_ {1} (x), \ pisteitä, g_ {m} (x))}$

jossa g _i : t ovat U: n säännöllisiä toimintoja . Koska X on projektiivinen, kukin g _i on murto-osa homogeeninen osia samassa määrin homogeenisessa koordinoida rengas k [ X ] on X . Voimme järjestää murtoluvut niin, että niillä kaikilla on sama homogeeninen nimittäjä, esimerkiksi f ₀ . Sitten voimme kirjoittaa g _i = f _i / f ₀ joillekin homogeenisille elementeille f _i 's k [ X ]. Palataan siis homogeenisiin koordinaatteihin,

${\ displaystyle f (x) = (f_ {0} (x): f_ {1} (x): \ pisteet: f_ {m} (x))}$

kaikille x on U ja jatkuvuus kaikille x on X: niin kauan kuin f _i : n ei häviä ajan x samanaikaisesti. Jos ne katoavat samanaikaisesti X : n pisteessä x , edellä mainitulla menettelyllä voidaan valita eri joukko f _i : itä, jotka eivät katoa kohdassa x samanaikaisesti (katso huomautus osan lopussa.)

Itse asiassa yllä oleva kuvaus pätee mihin tahansa lähes projektiiviseen lajikkeeseen X , joka on projektiivisen lajikkeen avoin osa-alue ; ero on siinä, että f _i : t ovat homogeenisessa koordinaattirenkaassa . ${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle {\ overline {X}}}$

Huomautus : Yllä oleva ei sano, että morfismi projektiivisesta lajikkeesta projektiiviseen tilaan annetaan yhdellä polynomijoukolla (toisin kuin affiinitapaus). Oletetaan esimerkiksi, X on kartiomainen in P- ² . Sitten kaksi karttaa ja sopimaan avoimesta osajoukko on x (vuodesta ) ja niin määrittelee morfismi . ${\ displaystyle y^{2} = xz}$${\ displaystyle (x: y: z) \ mapsto (x: y)}$${\ displaystyle (x: y: z) \ mapsto (y: z)}$${\ displaystyle \ {(x: y: z) \ in X \ mid x \ neq 0, z \ neq 0 \}}$${\ displaystyle (x: y) = (xy: y^{2}) = (xy: xz) = (y: z)}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {P} ^{1}}$

Morfismin kuidut

Tärkeä tosiasia on:

Mumfordin punaisessa kirjassa lause todistetaan Noetherin normalisointielman avulla . Algebrallisesta lähestymistavasta, jossa yleinen vapaus on pääroolissa ja käsite " yleiskatsausrengas " on avain todistukseen, katso Eisenbud, Ch. 14 "Kommutatiivinen algebra näkymällä algebralliseen geometriaan". Itse asiassa todisteet osoittavat, että jos f on tasainen , niin lauseen 2. ulottuvuuden tasa -arvo pätee yleensä (ei vain yleisesti).

Lopullisen morfismin aste

Olkoon f : X → Y on äärellinen surjective morfismi välillä algebrallinen lajikkeiden kentän yli k . Sitten määritelmän mukaan aste f on funktiokentän k ( X ) äärellisen kentän laajennuksen aste f ^* k ( Y ): n yli. Mukaan yleinen freeness , on jonkin verran ei-tyhjä avoin osajoukko U on Y siten, että rajoitus rakenteen nippu O _X on f ^-1 ( U ) on vapaa kuin O _Y | _U -moduuli . Aste f on tällöin myös tämän ilmaisen moduulin arvo.

Jos f on etale ja jos X , Y ovat täydellisiä , minkä tahansa johdonmukaisen nipun F kohdalla Y , kirjoittaen χ Euler -ominaisuudelle,

${\ displaystyle \ chi (f^{*} F) = \ deg (f) \ chi (F).}$

( Riemannin - Hurwitzin kaava haarautuneelle peitteelle osoittaa, että "étale" ei voi jättää pois.)

Yleensä, jos f on äärellinen surjektiivinen morfismi, jos X , Y ovat täydellisiä ja F on koherenssihihna Y: llä , niin Leray -spektrisekvenssistä saadaan: ${\ displaystyle \ operaattorinimi {H}^{p} (Y, R^{q} f _ {*} f^{*} F) \ Oikea nuoli \ operaattorinimi {H}^{p+q} (X, f^{ *} F)}$

${\ displaystyle \ chi (f^{*} F) = \ sum _ {q = 0}^{\ infty} (-1)^{q} \ chi (R^{q} f _ {*} f^{ *} F).}$

Erityisesti, jos F on linjakimppun tensoriteho , niin ja koska tuella on positiivinen kodimitta, jos q on positiivinen, johtavia termejä verrattaessa on: ${\ displaystyle L^{\ otimes n}}$${\ displaystyle R^{q} f _ {*} (f^{*} F) = R^{q} f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes L^{\ otimes n} }$${\ displaystyle R^{q} f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {deg} (f^{*} L) = \ operaattorinimi {deg} (f) \ operaattorinimi {deg} (L)}$

(koska yleinen sijoitus on on aste f .) ${\ displaystyle f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Jos f on etale ja k on algebrallisesti suljettu, niin jokainen geometrinen kuitu f ⁻¹ ( y ) koostuu täsmälleen deg ( f ) -pisteistä.

Katso myös

• Algebrallinen funktio
• Tasainen morfismi
• Etale -morfismit - Paikallisten diffeomorfismien algebrallinen analogi .
• Singulaarisuuksien ratkaiseminen
• supistumisen morfismi

Huomautuksia

Lainaukset

Viitteet