Parakompakti tila - Paracompact space

Vuonna matematiikka , joka on paracompact avaruus on topologinen avaruus , jossa jokainen avaa kansi on avoin hienostuneisuus joka on paikallisesti äärellinen . Nämä tilat otti käyttöön Dieudonné (1944) . Jokainen kompakti tila on parakompakti. Jokainen parakompakti Hausdorff-tila on normaali , ja Hausdorff-tila on parakompakti vain ja vain, jos se sallii yhtenäisyyden osiot, jotka ovat alemman avoimen kannen alaisia. Joskus parakompaktit tilat määritellään siten, että ne ovat aina Hausdorff.

Jokainen suljetun aliavaruus on paracompact tila on paracompact. Vaikka Hausdorff-tilojen kompaktit osajoukot ovat aina suljettuja, tämä ei päde parakompaktien osajoukkojen kanssa. Sellaista tilaa, että sen jokainen alatila on parakompakti tila, kutsutaan perinnöllisesti parakompaktiksi . Tämä vastaa vaatimusta, että jokaisen avoimen alatilan on oltava parakompakti.

Tychonoffin lause (jossa todetaan, että minkä tahansa kompaktin topologisen tilan kokoelman tuote on kompakti) ei yleisty parakompaktiksi tilaksi, koska parakompaktin tilan tuloksen ei tarvitse olla parakompakti. Parakompaktin tilan ja kompaktin tilan tulo on kuitenkin aina parakompakti.

Jokainen metrinen tila on parakompakti. Topologinen tila on mitattavissa vain ja vain, jos se on parakompakti ja paikallisesti mitattavissa oleva Hausdorff-tila .

Määritelmä

Kansi on joukko on kokoelma osajoukkoja of jonka unionin sisällä . Symboleissa, jos on indeksoitu alaryhmä , on kansi if ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U = \ {U _ {\ alpha}: \ alfa \ sisään A \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle X \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ A} U _ {\ alpha}.}

Topologisen tilan kansi on avoin, jos kaikki sen jäsenet ovat avoimia joukkoja . Tarkentaminen on cover tila on uusi kansi samaan tilaan siten, että jokainen sarja uudessa kannessa on osajoukko joidenkin asetettu vanha kansi. Symboleihin, kansi on paranneltu kannen jos ja vain jos, mille tahansa kaupungissa , on olemassa joitakin sisään siten, että . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle V = \ {V _ {\ beta}: \ beta \ in B \}}$ ${\ displaystyle U = \ {U _ {\ alpha}: \ alfa \ sisään A \}}$ ${\ displaystyle V _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V _ {\ beta} \ subseteq U _ {\ alpha}}$

Avaruuden avoin kansi on paikallisesti rajallinen, jos avaruuden jokaisessa pisteessä on naapurusto, joka leikkaa vain äärimmäisen monta joukkoa kannessa. Symboleihin, on paikallisesti rajallinen, jos ja vain jos jostain on , on olemassa joitakin -osassa on sellainen, että joukko ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U = \ {U _ {\ alpha}: \ alfa \ sisään A \}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle V (x)}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle \ left \ {\ alpha \ in A: U _ {\ alpha} \ cap V (x) \ neq \ varnothing \ right \}}

on rajallinen. Topologisen tilan sanotaan nyt olevan parakompakti, jos jokaisella avoimella kannella on paikallisesti rajallinen avoin hienosäätö. ${\ displaystyle X}$

Esimerkkejä

Jokainen kompakti tila on parakompakti.
Jokainen tavallinen Lindelöf-tila on parakompakti. Jokainen paikallisesti kompakti Hausdorffin toinen laskettava tila on parakompakti.
Sorgenfrey linja on paracompact, vaikka se ei ole tiivis, paikallisesti kompakti, toinen laskettavissa, eikä metrizable.
Jokainen CW-kompleksi on parakompakti
( AH-kiven lause ) Jokainen metrinen tila on parakompakti. Aikaisin todisteet olivat jonkin verran mukana, mutta elementaarisen yksi havaittiin M. E. Rudin . Olemassa olevat todisteet tästä edellyttävät valinta-aksiooma varten ei- erotettavissa tapaus. On osoitettu, että ZF- teoria ei riitä sen todistamiseen, vaikka riippuvan valinnan heikompi aksioma lisätään.

Joitakin esimerkkejä tiloista, jotka eivät ole parakompakteja, ovat:

Tunnetuin vasta-esimerkki on pitkä viiva , joka on ei-kompakti topologinen jakotukki . (Pitkä viiva on paikallisesti kompakti, mutta ei toinen laskettavissa.)
Toinen vastaesimerkki on tuote on uncountably monia kopioita äärettömän erillisen avaruuspohjaisen . Ääretön joukko, joka sisältää tietyn pistetopologian, ei ole parakompakti; Itse asiassa se ei ole edes metakompakti .
Prüfer jakotukki on ei-paracompact pinta.
Bagpipe teoreema osoittaa, että on olemassa 2 ^{ℵ ₁} isomorphism luokat ei-paracompact pinnoille.
Sorgenfrey kone ei paracompact huolimatta tuotetta kahden paracompact tiloja.

Ominaisuudet

Parakompakti on heikosti perinnöllinen, ts. Jokainen suljettu alitila on parakompakti. Tämä voidaan laajentaa myös F-sigma- alatiloihin.

Säännöllinen tila on paracompact jos jokainen avaa kansi myöntää paikallisesti äärellinen tarkentamiseen. (Tässä tarkennuksen ei tarvitse olla auki.) Erityisesti jokainen säännöllinen Lindelöf-tila on parakompakti.
( Smirnov-metrointilause ) Topologinen tila on mitattavissa vain ja vain, jos se on parakompakti, Hausdorff ja paikallisesti metroituva.
Michaelin valintalauseessa todetaan, että alemmat puoli jatkuvat monitoiminnot X : stä Banach-tilojen ei-tyhjiin suljettuihin kuperiin osajoukoihin myöntävät jatkuvan valinnan, jos X on parakompakti.

Vaikka parakompaktien tilojen tuloksen ei tarvitse olla parakompaktia, seuraavat ovat totta:

Parakompaktin tilan ja kompaktin tilan tulo on parakompakti.
Tuote on metacompact tilaa ja kompakti tila on metacompact.

Molemmat tulokset voidaan osoittaa putkilemalla, jota käytetään todisteena siitä, että lopullisen monien kompaktien tilojen tulo on kompakti.

Paracompact Hausdorff -tilat

Parakompaktien tilojen vaaditaan joskus myös olevan Hausdorff niiden ominaisuuksien laajentamiseksi.

( Jean Dieudonnén lause ) Jokainen parakompakti Hausdorff-tila on normaali .
Jokainen parakompakti Hausdorff-tila on kutistuva tila , toisin sanoen jokaisella parakompaktin Hausdorff-tilan avoimella kannella on kutistuminen: toinen avoin kansi, joka on indeksoitu samalla joukolla siten, että jokaisen uuden kannen sarjan suljin on vastaavan sarjan sisällä vanha kansi.
Käytössä paracompact Hausdorffin tilat, sheaf Kohomologia ja Čech Kohomologia ovat yhtä suuret.

Yhtenäisyyden osiot

Parakompaktien Hausdorff-tilojen tärkein piirre on, että ne ovat normaaleja ja sallivat yhtenäisyyden osiot, jotka ovat minkä tahansa avoimen kannen alaisia. Tämä tarkoittaa seuraavaa: jos X on parakompakti Hausdorff-tila, jolla on annettu avoin kansi, X: llä on joukko jatkuvia toimintoja, joiden arvot ovat yksikön aikavälillä [0, 1] siten, että:

joka funktio f : X → R keräämisestä, on avoin joukko U kannesta siten, että tuki on f sisältyy U ;
jokaisesta pisteestä x on X , on naapurustossa V on x siten, että kaikki mutta äärellinen määrä toimintoja kokoelman ovat identtisesti 0 V ja summa nollasta poikkeava toiminnot on identtisesti 1 V .

Itse asiassa, T ₁ tila on Hausdorff ja paracompact jos ja vain jos se myöntää osioita yhtenäisyyden alisteisia kaikki avoimet kansi (katso alla ). Tätä ominaisuutta käytetään joskus määrittelemään parakompaktit tilat (ainakin Hausdorffin tapauksessa).

Ykseyden osiot ovat hyödyllisiä, koska ne antavat usein mahdollisuuden laajentaa paikallisia rakenteita koko tilaan. Esimerkiksi parakompaktien jakotukkien differentiaalimuotojen integraali määritetään ensin paikallisesti (missä jakotukki näyttää euklidiselta avaruudelta ja integraali on hyvin tiedossa), ja tämä määritelmä laajennetaan sitten koko avaruuteen yhtenäisyyden osion kautta.

Todiste siitä, että parakompaktit Hausdorff-tilat sallivat yhtenäisyyden osiot

(Napsauta "Näytä" oikealla nähdäksesi todisteet tai "piilota" piilottaaksesi sen.)

Hausdorff-tila on parakompakti vain ja vain, jos jokainen avoin kansi sallii ykseyden alemman osion. Jos suunta on yksinkertaista. Nyt vain, jos suunta, teemme tämän muutamassa vaiheessa. ${\ displaystyle X \,}$

Lemma 1: Jos on paikallisesti rajallinen avoin kansi, niin kullekin on olemassa avoimia sarjoja , niin että kukin ja on paikallisesti rajallinen tarkennus.

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle W_ {U} \,}

{\ displaystyle U \ paikassa {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle {\ bar {W_ {U}}} \ subseteq U \,}

{\ displaystyle \ {W_ {U}: U \ muodossa {\ mathcal {O}} \} \,}

Lemma 2: Jos on paikallisesti rajallinen avoin kansi, niin on olemassa jatkuvia toimintoja , jotka ovat sellaisia , että jatkuva toiminto on aina nollasta poikkeava ja äärellinen.

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle f_ {U}: X \ - [0,1] \,}

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {supp} ~ f_ {U} \ subseteq U \,}

{\ displaystyle f: = \ summa _ {U \ muodossa {\ mathcal {O}}} f_ {U} \,}

Lause: Kun paracompact Hausdorff tilaa , jos on avoin kansi, niin on olemassa osion yhtenäisyyden sen alaisena.

{\ displaystyle X \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

Todiste (Lemma 1):

Antaa olla kokoelma avoimia sarjoja, jotka kokoavat vain äärimmäisen monta sarjaa ja joiden sulkeminen sisältyy sarjaan . Harjoituksena voidaan tarkistaa, että tämä tarjoaa avoimen viimeistelyn, koska parakompaktit Hausdorff-tilat ovat säännöllisiä ja koska ne ovat paikallisesti rajallisia. Korvaa nyt paikallisesti rajallisella avoimella tarkennuksella. Voidaan helposti tarkistaa, että jokaisella tässä hienostuneella sarjalla on sama ominaisuus kuin alkuperäiselle kannelle.

{\ displaystyle {\ mathcal {V}} \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {V}} \,}

Nyt määritämme . Omaisuus takaa, että jokainen sisältyy joihinkin . Siksi on avointa hienosäätöä . Koska meillä on , tämä kansi on välittömästi paikallisesti rajallinen.

{\ displaystyle W_ {U} = \ bigcup \ {A \ in {\ mathcal {V}}: {\ bar {A}} \ subseteq U \} \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {V}} \,}

{\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {V}}}

{\ displaystyle W_ {U}}

{\ displaystyle \ {W_ {U}: U \ muodossa {\ mathcal {O}} \} \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle W_ {U} \ subseteq U}

Nyt haluamme osoittaa, että jokainen . Jokaiselle me todistamme sen . Koska päätimme olla paikallisesti äärellinen, on naapurustossa on sellainen, että vain äärellisen monta settiä on ei-tyhjä leikkaa , ja toteamme ne määritelmään . Siksi voimme hajota kahteen osaan: jotka leikkaavat , ja loput, jotka eivät, mikä tarkoittaa, että ne sisältyvät suljettuun joukkoon . Meillä on nyt . Koska ja meillä on jokaiselle . Ja koska on täydennys naapuruston , ei myöskään ole . Siksi meillä on .

{\ displaystyle {\ bar {W_ {U}}} \ subseteq U \,}

{\ displaystyle x \ notin U}

{\ displaystyle x \ notin {\ bar {W_ {U}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}

{\ displaystyle V [x]}

{\ displaystyle x}

{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}

{\ displaystyle V [x]}

{\ displaystyle A_ {1}, ..., A_ {n}, ... \ sisään {\ mathcal {V}}}

{\ displaystyle W_ {U}}

{\ displaystyle W_ {U}}

{\ displaystyle A_ {1}, ..., A_ {n} \ in {\ mathcal {V}}}

{\ displaystyle V [x]}

{\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {V}}}

{\ displaystyle C: = X \ setminus V [x]}

{\ displaystyle {\ bar {W_ {U}}} \ subseteq {\ bar {A_ {1}}} \ cup ... \ cup {\ bar {A_ {n}}} \ cup C}

{\ displaystyle {\ bar {A_ {i}}} \ subseteq U}

{\ displaystyle x \ notin U}

{\ displaystyle x \ notin {\ bar {A_ {i}}}}

{\ displaystyle i}

{\ displaystyle C}

{\ displaystyle x}

{\ displaystyle x}

{\ displaystyle C}

{\ displaystyle x \ notin {\ bar {W_ {U}}}}

${\ displaystyle \ blacksquare \,}$ (Osa 1)

Todiste (Lemma 2):

Lemma 1 -sovelluksen avulla annetaan olla jatkuvia karttoja ja (Urysohnin lemman mukaan normaalitilojen disjointti suljetuille joukkoille, mikä on parakompakti Hausdorff-tila). Huomaa funktion tuella, että tässä tarkoitetaan pisteitä, jotka eivät ole nollassa (eikä tämän ryhmän sulkemista). Osoittaaksesi, että se on aina rajallista ja nollasta poikkeavaa, ota ja anna kokouksen naapuruston vain äärimmäisen monta joukkoa ; Näin kuuluu vain äärellisen monta settiä ; siis kaikille paitsi lopullisesti monille ; lisäksi joillekin siten ; niin on rajallinen ja . Jatkuvuuden luomiseksi ota kuten ennenkin ja anna , mikä on äärellistä; sitten , mikä on jatkuva toiminto; siten naapuruston aikaisempi kuva tulee olemaan .

{\ displaystyle f_ {U}: X \ - [0,1] \,}

{\ displaystyle f_ {U} \ ylharpoonright {\ bar {W}} _ {U} = 1 \,}

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {supp} ~ f_ {U} \ subseteq U \,}

{\ displaystyle f = \ summa _ {U \ muodossa {\ mathcal {O}}} f_ {U} \,}

{\ displaystyle x \ X: ssä \,}

{\ displaystyle N \,}

{\ displaystyle x \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle x \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle f_ {U} (x) = 0 \,}

{\ displaystyle U \,}

{\ displaystyle x \ sisään W_ {U} \,}

{\ displaystyle U \,}

{\ displaystyle f_ {U} (x) = 1 \,}

{\ displaystyle f (x) \,}

{\ displaystyle \ geq 1 \,}

{\ displaystyle x, N \,}

{\ displaystyle S = \ {U \ in {\ mathcal {O}}: N {\ text {tapaa}} U \} \,}

{\ displaystyle f \ upharpoonright N = \ sum _ {U \ in S} f_ {U} \ uppharpoonright N \,}

{\ displaystyle f \,}

{\ displaystyle f (x) \,}

{\ displaystyle x \,}

${\ displaystyle \ blacksquare \,}$ (Osa 2)

Todiste (lause):

Ottaa paikallisesti äärellinen subcover tarkennuslinkkiä kansi: . Lemma 2 -sovelluksen avulla saadaan jatkuvia funktioita seuraavilla tavoilla : (siten tavallinen suljettu versio tuesta sisältyy joihinkin , kullekin ; jolloin niiden summa muodostaa jatkuvan funktion, joka on aina äärellinen nollasta poikkeava (siten on jatkuva positiivinen, äärellisarvoinen) ). Joten korvaamalla kukin mennessä , olemme nyt - kaikki asiat pysyessä samana - että niiden summa on kaikkialla . Lopuksi varten , kerroit olla naapurustossa tavata vain äärellisen monta setit , olemme kaikki mutta äärellinen määrä , koska kukin . Näin voimme sinulla on yhtenäisyyden osio, joka on alkuperäisen avoimen kannen alainen.

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {*} \,}

{\ displaystyle \ {V {\ text {open}}: (\ on olemassa {U \ kohteessa {\ mathcal {O}}}) {\ bar {V}} \ subseteq U \} \,}

{\ displaystyle f_ {W}: X \ - [0,1] \,}

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {supp} ~ f_ {W} \ subseteq W \,}

{\ displaystyle U \ paikassa {\ mathcal {O}} \,}

{\ displaystyle W \ paikassa {\ mathcal {O}} ^ {*} \,}

{\ displaystyle 1 / f \,}

{\ displaystyle f_ {W} \,}

{\ displaystyle f_ {W} / f \,}

{\ displaystyle 1 \,}

{\ displaystyle x \ X: ssä \,}

{\ displaystyle N \,}

{\ displaystyle x \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {*} \,}

{\ displaystyle f_ {W} \ ylösalaisin N = 0 \,}

{\ displaystyle W \ paikassa {\ mathcal {O}} ^ {*} \,}

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {supp} ~ f_ {W} \ subseteq W \,}

${\ displaystyle \ blacksquare \,}$ (Thm)

Suhde pienikokoisuuteen

Tiiviyden ja parakompaktiuden määritelmien välillä on yhtäläisyyksiä : Parakompaktiuden kohdalla "alikansi" korvataan "avoimella tarkennuksella" ja "äärellinen" korvataan "paikallisesti rajallisella". Molemmat näistä muutoksista ovat merkittäviä: jos otamme parakompaktin määritelmän ja vaihdamme "avoimen tarkennuksen" takaisin "alikansioon" tai "paikallisesti rajallisen" takaisin "rajalliseksi", päädymme pieniin tiloihin molemmissa tapauksissa.

Parakompaktilla ei ole juurikaan tekemistä kompaktuuden käsitteen kanssa, vaan pikemminkin topologisten avaruusyksiköiden hajottamiseen hallittaviksi paloiksi.

Ominaisuuksien vertailu kompaktiin

Parakompakti on samanlainen kuin pienikokoinen seuraavilta osin:

Jokainen parakompaktin tilan suljettu osajoukko on parakompakti.
Jokainen parakompakti Hausdorff-tila on normaali .

Se on erilainen näiltä osin:

Hausdorff-tilan parakompaktia osajoukkoa ei tarvitse sulkea. Itse asiassa metristen tilojen osalta kaikki osajoukot ovat parakompakteja.
Parakompaktien tilojen tuloksen ei tarvitse olla kompakteja. Neliö reaaliakselilla R on alempi raja topologia on klassinen esimerkki tästä.

Muunnelmat

Parakompaktin käsitteellä on useita muunnelmia. Niiden määrittelemiseksi meidän on ensin laajennettava yllä olevaa termiluetteloa:

Topologinen tila on:

metakompakti, jos jokaisella avoimella kannella on avoin rajallinen tarkennus.
ortokompakti, jos jokaisella avoimella kannella on avoin hienosäätö siten, että kaikkien avoimien joukkojen leikkauspiste minkä tahansa tämän hienostuksen kohdan suhteen on avoin.
täysin normaali, jos jokaisella avoimella kannella on tähtihienosäätö , ja täysin T _4, jos se on täysin normaali ja T ₁ (katso erotusaksoomit ).

Adverbi " laskettavissa " voidaan lisätä mihin tahansa adjektiivista "parakompakti", "metakompakti" ja "täysin normaali", jotta vaatimus koskisi vain laskettavia avoimia kansia.

Jokainen parakompakti tila on metakompakti, ja jokainen metakompakti tila on ortokompakti.

Määritelmien asiaankuuluvien termien määrittely

Kun kansi ja piste on annettu, kannessa olevan pisteen tähti on kaikkien kannessa olevien sarjojen yhdistys, jotka sisältävät pisteen. Symboleissa x : n tähti kohdassa U = { U _α : α A: ssa on

{\ displaystyle \ mathbf {U} ^ {*} (x): = \ bigcup _ {U _ {\ alpha} \ ni x} U _ {\ alpha}.}

Tähtimerkintää ei ole standardoitu kirjallisuudessa, ja tämä on vain yksi mahdollisuus.

Tähti tarkentaminen on cover tilaa X on uusi kansi samaan tilaan siten, että kun otetaan tahansa tilaan, tähti pisteen uudessa kannessa on osajoukko joidenkin asetettu vanha kansi. Symboleihin, V on tähti tarkentaminen U = { U _α : α in }, jos ja vain jos, jostain x on X , on olemassa U _α on U , siten, että V ^* ( x ) sisältyy U _α .
Avaruuden X kansi on pistemäinen äärellinen, jos kaikki avaruuden pisteet kuuluvat vain äärimmäisen moniin joukkoihin kannessa. Symboleihin, U on pistemäinen rajallinen, jos ja vain jos, jostain x on X , laite on rajallinen. ${\ displaystyle \ left \ {\ alpha \ A: ssa: x U: ssa _ {\ alpha} \ oikea \}}$

Kuten nimestä voi päätellä, täysin normaali tila on normaali . Jokainen täysin T ₄ tila on paracompact. Itse asiassa Hausdorff-tiloissa parakompakti ja täysi normaalisuus ovat samanarvoisia. Siten täysin T _4- tila on sama asia kuin parakompakti Hausdorff-tila.

Ilman Hausdorff-ominaisuutta parakompaktit tilat eivät välttämättä ole täysin normaaleja. Kompakti tila, joka ei ole säännöllinen, on esimerkki.

Historiallinen huomautus: John W. Tukey määritteli täysin normaalit tilat ennen parakompakteja tiloja vuonna 1940. Todiste siitä, että kaikki mitattavat tilat ovat täysin normaaleja, on helppoa. Kun AH Stone osoitti, että Hausdorff-tilojen koko normaaliisuus ja parakompaktisuus ovat samanarvoisia, hän osoitti implisiittisesti, että kaikki mitattavat tilat ovat parakompaktteja. Myöhemmin Ernest Michael antoi suoran todistuksen jälkimmäisestä tosiasiasta ja ME Rudin antoi toisen, perustavanlaatuisen todistuksen.

Katso myös

Huomautuksia

^ Michael, Ernest (1953). "Huomautus parakompakteista tiloista" (PDF) . American Mathematical Societyn julkaisut . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090 / S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN 0002-9939 .
^ Hatcher, Allen , Vector-niput ja K-teoria , alustava versio saatavana tekijän kotisivulta
^ Stone, AH Paracompactness ja tuotetilat . Sonni. Amer. Matematiikka. Soc. 54 (1948), 977–982
^ Rudin, Mary Ellen. Uusi todiste metristen tilojen parakompaktista . Proceedings of the American Mathematical Society, voi. 20, nro 2. (helmikuu 1969), s. 603.
^ C.Hyvä, IJ Tree ja WS Watson. Stonein lauseesta ja valinnan aksiomasta . Proceedings of the American Mathematical Society, voi. 126, nro 4. (huhtikuu 1998), s. 1211–1218.
^ Brylinski, Jean-Luc (2007), Silmukatilat, Ominaisluokat ja geometrinen kvantisointi , Matematiikan edistyminen, 107 , Springer, s. 32, ISBN 9780817647308.
^ * Tukey, John W. (1940). Lähentyminen ja yhtenäisyys topologiassa . Matematiikan opintojen vuosikirjat. 2 . Princeton University Press, Princeton, NJ s. Ix + 90. MR 0002515 .

Viitteet

Dieudonné, Jean (1944), "Une généralisation des espaces compacts", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 23 : 65–76, ISSN 0021-7824 , MR 0013297
Lynn Arthur Steen ja J. Arthur Seebach, Jr. , Vasta-esimerkit topologiassa (2 painos) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7 . S.23.
Willard, Stephen (1970). Yleinen topologia . Lukeminen, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
Mathew, Akhil. "Topologia / parakompakti" .

Ulkoiset linkit

"Parakompakti tila" , Matematiikan tietosanakirja , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Michael, Ernest (1953). "Huomautus parakompakteista tiloista" (PDF) . American Mathematical Societyn julkaisut . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090 / S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN 0002-9939 .

[2] Hatcher, Allen , Vector-niput ja K-teoria , alustava versio saatavana tekijän kotisivulta

[3] Stone, AH Paracompactness ja tuotetilat . Sonni. Amer. Matematiikka. Soc. 54 (1948), 977–982

[4] Rudin, Mary Ellen. Uusi todiste metristen tilojen parakompaktista . Proceedings of the American Mathematical Society, voi. 20, nro 2. (helmikuu 1969), s. 603.

[5] C.Hyvä, IJ Tree ja WS Watson. Stonein lauseesta ja valinnan aksiomasta . Proceedings of the American Mathematical Society, voi. 126, nro 4. (huhtikuu 1998), s. 1211–1218.

[6] Brylinski, Jean-Luc (2007), Silmukatilat, Ominaisluokat ja geometrinen kvantisointi , Matematiikan edistyminen, 107 , Springer, s. 32, ISBN 9780817647308.

[7] * Tukey, John W. (1940). Lähentyminen ja yhtenäisyys topologiassa . Matematiikan opintojen vuosikirjat. 2 . Princeton University Press, Princeton, NJ s. Ix + 90. MR 0002515 .

Languages

In other projects