Firkantet trekantet tal - Squared triangular number

En firkant, hvis sidelængde er et trekantet tal, kan opdeles i firkanter og halve firkanter, hvis arealer føjes til terninger. Fra Gulley (2010) .

I talteori , summen af de første $n$ terninger er kvadratet af $n$ th trekanttal . Det er,

{\ displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ cdots+n^{3} = \ venstre (1+2+3+\ cdots+n \ højre)^{2} .}

Den samme ligning kan skrives mere kompakt ved hjælp af den matematiske notation til summering :

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} k^{3} = {\ bigg (} \ sum _ {k = 1}^{n} k {\ bigg)}^{2}.}

Denne identitet kaldes undertiden Nicomachus sætning efter Nicomachus fra Gerasa (ca. 60 - ca. 120 e.Kr.).

Historie

I slutningen af kapitel 20 i sin introduktion til aritmetik påpegede Nicomachus, at hvis man skriver en liste med de ulige tal, er den første terning 1, summen af de to næste er terningen 2, summen af de næste tre er terningen på 3, og så videre. Han går ikke længere end dette, men heraf følger det, at summen af de første $n$ terninger er lig med summen af de første ulige tal, det vil sige de ulige tal fra 1 til . Gennemsnittet af disse tal er naturligvis , og der er af dem, så deres sum er ${\ displaystyle n (n+1)/2}$ ${\ displaystyle n (n+1) -1}$ ${\ displaystyle n (n+1)/2}$ ${\ displaystyle n (n+1)/2}$ ${\ displaystyle {\ bigl (} n (n+1)/2 {\ bigr)}^{2}.}$

Mange tidlige matematikere har studeret og fremlagt beviser for Nicomachus sætning. Stroeker (1995) hævder, at "enhver studerende i talteori sikkert må have undret sig over denne mirakuløse kendsgerning". Pengelley (2002) finder referencer til identiteten ikke kun i Nicomachos værker i det, der nu er Jordan i det første århundrede CE, men også i Aryabhata i Indien i det femte århundrede og i Al-Karaji omkring 1000 i Persien . Bressoud (2004) nævner flere ekstra tidlige matematiske værker om denne formel af Al-Qabisi (Arabia i det tiende århundrede), Gersonides (ca. 1300 Frankrig) og Nilakantha Somayaji (ca. 1500 Indien); han gengiver Nilakanthas visuelle bevis.

Numeriske værdier; geometrisk og probabilistisk fortolkning

Alle 36 [ (1 + 2 + 3) ² = 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ ] rektangler, inklusive 14 [ 1 ² + 2 ² + 3 ² ] firkanter (rød), i en 3 × 3 firkant (4 × 4 toppunkt) gitter

Sekvensen af kvadratiske trekantede tal er

0, 1, 9, 36, 100, 225,

441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281,

....

Disse tal kan ses som figurerede tal , en fire-dimensionel hyperpyramidal generalisering af de trekantede tal og firkantede pyramidetal .

Som Stein (1971) bemærker, tæller disse tal også antallet af rektangler med vandrette og lodrette sider dannet i et $n \times n$ gitter . For eksempel kan punkterne på et $4 \times 4$ gitter (eller en firkant bestående af tre mindre firkanter på en side) danne 36 forskellige rektangler. Antallet af firkanter i et firkantet gitter tælles på samme måde af de firkantede pyramidetal.

Identiteten indrømmer også en naturlig sandsynlighedstolkning som følger. Lad $X, Y, Z, W$ være fire heltal uafhængigt og ensartet valgt tilfældigt mellem $1$ og $n$ . Så er sandsynligheden for at $W$ er den største af de fire tal er lig med sandsynligheden for, at $Y$ er mindst lige så stor som $X$ , og at $W$ er mindst lige så stor som $Z$ . Det vil sige ,. For en bestemt værdi af $W$ danner kombinationerne af $X$ , $Y$ og $Z,$ der gør $W$ største til en terning $1 \leq$ $X$ $,$ $Y$ $,$ $Z$ $\leq$ $n$ så (tilføjer størrelsen af denne terning over alle valg af $W$ ) antallet af kombinationer af $X$ $,$ $Y$ $,$ $Z$ $,$ $W,$ for hvilket $W$ er størst, er en sum af terninger, venstre side af Nichomachus -identiteten. Sættene med par $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ med $X$ $\leq$ $Y$ og af par $($ $Z$ $,$ $W$ $)$ med $Z$ $\leq$ $W$ danner ensartede rigtige trekanter, og sættet talt med højre side af sandsynlighedsligningen er det kartesiske produkt af disse to trekanter, så dens størrelse er firkanten af et trekantet tal på højre side af Nichomachus -identiteten. Selve sandsynlighederne er henholdsvis venstre og højre side af Nichomachus -identiteten, normaliseret til at lave sandsynligheder ved at dividere begge sider med $n$ $4$ . ${\ displaystyle P [\ max (X, Y, Z) \ leq W] = P [X \ leq Y \ kil Z \ leq W]}$

Beviser

Charles Wheatstone ( 1854 ) giver en særlig enkel afledning ved at udvide hver terning i summen til et sæt på hinanden følgende ulige tal. Han begynder med at give identiteten

{\ displaystyle n^{3} = \ underbrace {\ left (n^{2} -n+1 \ right)+\ left (n^{2} -n+1+2 \ right)+\ left (n ^{2} -n+1+4 \ højre)+\ cdots+\ venstre (n^{2}+n-1 \ højre)} _ {n {\ tekst {på hinanden følgende ulige tal}}}.}

Denne identitet er relateret til trekantede tal på følgende måde:

{\ displaystyle T_ {n}}

{\ displaystyle n^{3} = \ sum _ {k = T_ {n-1} +1}^{T_ {n}} (2k-1),}

og dermed starter sumningsdannelsen lige efter dem, der danner alle tidligere værdier op til . Anvendelse af denne ejendom sammen med en anden kendt identitet:

{\ displaystyle n^{3}}

{\ displaystyle 1^{3}}

{\ displaystyle (n-1)^{3}}

{\ displaystyle n^{2} = \ sum _ {k = 1}^{n} (2k-1),}

producerer følgende afledning:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1}^{n} k^{3} & = 1+8+27+64+\ cdots+n^{3} \\ & = \ underbrace {1} _ {1^{3}}+\ underbrace {3+5} _ {2^{3}}+\ underbrace {7+9+11} _ {3^{3}}+\ underbrace {13 +15+17+19} _ {4^{3}}+\ cdots+\ underbrace {\ left (n^{2} -n+1 \ right)+\ cdots+\ left (n^{2}+ n-1 \ højre)} _ {n^{3}} \\ & = \ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {1} _ {1^{2}}+3} _ {2^{2 }}+5} _ {3^{2}}+\ cdots+\ venstre (n^{2}+n-1 \ højre)} _ {\ venstre ({\ frac {n^{2}+n} {2}} \ højre)^{2}} \\ & = (1+2+\ cdots+n)^{2} \\ & = {\ bigg (} \ sum _ {k = 1}^{n } k {\ bigg)}^{2}. \ end {justeret}}}

Række (1893) opnår endnu et bevis ved at summere tallene i en firkantet multiplikationstabel på to forskellige måder. Summen af den tredje række er gange et trekantet tal, hvoraf det følger, at summen af alle rækker er kvadratet af et trekantet tal. Alternativt kan man dekomponere tabellen til en sekvens af indlejrede gnomoner , der hver består af de produkter, hvor det største af de to udtryk er en vis fast værdi. Summen i hver gmonon er en terning, så summen af hele tabellen er en sum af terninger. ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle i}$

Visuel demonstration af, at firkanten af et trekantet tal er lig med en sum af terninger.

I den nyere matematiske litteratur giver Edmonds (1957) et bevis ved hjælp af summering efter dele . Stein (1971) bruger den rektangeltællende fortolkning af disse tal til at danne et geometrisk bevis på identiteten (se også Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); han bemærker, at det også let kan bevises (men uinformativt) ved induktion, og fastslår, at Toeplitz (1963) leverer "et interessant gammelt arabisk bevis". Kanim (2004) giver et rent visuelt bevis, Benjamin & Orrison (2002) leverer to yderligere beviser, og Nelsen (1993) giver syv geometriske beviser.

Generaliseringer

Et lignende resultat til Nicomachus sætning gælder for alle effektsummer , nemlig at ulige effektsummer (summer af ulige kræfter) er et polynom i trekantede tal. Disse kaldes Faulhaber -polynomer , hvor summen af terninger er det enkleste og mest elegante eksempel. Men i intet andet tilfælde er en effekt sum en kvadrat af en anden.

Stroeker (1995) studerer mere generelle betingelser, hvorunder summen af en på hinanden følgende sekvens af terninger danner en firkant. Garrett & Hummel (2004) og Warnaar (2004) studerer polynomiske analoger af den firkantede trekantede talformel , hvor en række polynom tilføjer til kvadratet af et andet polynom.

Noter

Referencer

Benjamin, Arthur T .; Orrison, ME (2002), "To hurtige kombinatoriske beviser for " ${\ displaystyle \ textstyle \ sum k^{3} = {n+1 \ vælg 2}^{2}}$ (PDF) , College Mathematics Journal , 33 (5): 406–408, doi : 10.2307/1559017 , JSTOR 1559017.
Benjamin, Arthur T .; Quinn, Jennifer J .; Wurtz, Calyssa (2006), "Summing cubes by counting rectangles" (PDF) , College Mathematics Journal , 37 (5): 387–389, doi : 10.2307/27646391 , JSTOR 27646391.
Bressoud, David (2004), Calculus før Newton og Leibniz, del III (PDF) , AP Central.
Edmonds, Sheila M. (1957), "Summer of powers of the natural numbers", The Mathematical Gazette , 41 : 187–188, doi : 10.2307/3609189 , JSTOR 3609189 , MR 0096615
Garrett, Kristina C .; Hummel, Kristen (2004), "A combinatorial proof of the sum of $q$ -cubes" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (1), Research Paper 9, doi : 10.37236/1762 , MR 2034423.
Gulley, Ned (4. marts 2010), Shure, Loren (red.), Nicomachus sætning , Matlab Central.
Kanim, Katherine (2004), "Beviser uden ord: summen af terninger - en forlængelse af Archimedes 'sum af firkanter", Mathematics Magazine , 77 (4): 298–299, doi : 10.2307/3219288 , JSTOR 3219288.
Nelsen, Roger B. (1993), Beviser uden ord , Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7.
Pengelley, David (2002), "Broen mellem kontinuerlig og diskret via originale kilder", Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF) , National Center for Mathematics Education, Univ. i Göteborg, Sverige.
Row, T. Sundara (1893), Geometriske øvelser i papirfoldning , Madras: Addison, s. 47–48.
Stein, Robert G. (1971), "A combinatorial proof that ", Mathematics Magazine , 44 (3): 161–162, doi : 10.2307/2688231 , JSTOR 2688231 ${\ displaystyle \ textstyle \ sum k^{3} = (\ sum k)^{2}}$ .
Stroeker, RJ (1995), "På summen af på hinanden følgende terninger er en perfekt firkant" , Compositio Mathematica , 97 (1-2): 295-307, MR 1355130.
Toeplitz, Otto (1963), The Calculus, a Genetic Approach , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9.
Warnaar, S. Ole (2004), "On the $q$ -analogue of the sum of cubes" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (1), note 13, doi : 10.37236/1854 , MR 2114194.
Wheatstone, C. (1854), "On the formation of powers from arithmetical progressions" (PDF) , Proceedings of the Royal Society of London , 7 : 145–151, doi : 10.1098/rspl.1854.0036.

Languages

In other projects