Firkantet trekantet tal - Square triangular number

Firkantet trekantet nummer 36 afbildet som et trekantet tal og som et firkantet tal.

I matematik , et firkantet trekanttal (eller trekantet firkantet tal ) er et tal, som er både et trekanttal og en perfekt kvadrat . Der er uendeligt mange firkantede trekantede tal; de første få er:

0, 1, 36, 1225 ,41 616 ,1 413 721 ,48 024 900 ,1 631 432 881 ,55 420 693 056 ,1 882 672 131 025 (sekvens A001110 i OEIS )

Eksplicitte formler

Skriv $N k$ for det $k$ th firkantede trekantede tal, og skriv $s k$ og $t k$ for siderne af den tilsvarende firkant og trekant, så

{\ displaystyle N_ {k} = s_ {k} ^ {2} = {\ frac {t_ {k} (t_ {k} +1)} {2}}.}

Definer den trekantede rod af et trekantet tal $N =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} n ( n + 1)/2$ at være $n$ . Fra denne definition og den kvadratiske formel

{\ displaystyle n = {\ frac {{\ sqrt {8N + 1}} - 1} {2}}.}

Derfor er $N$ trekantet ( $n$ er et heltal), hvis og kun hvis $8 N + 1$ er kvadratisk. Følgelig et kvadrat nummer $M 2$ er også trekantet hvis og kun hvis $8 M 2 + 1$ er kvadratisk, dvs. der er tal $x$ og $y$ , således at $x 2 - 8 y 2 = 1$ . Dette er en forekomst af Pell-ligningen med $n = 8$ . Alle Pell-ligninger har den trivielle løsning $x = 1, y = 0$ for enhver $n$ ; dette kaldes nul-løsning og indekseres som $(x 0, y 0) = (1,0)$ . Hvis $(x k, y k)$ betegner den $k$ th ikke-private løsning til en hvilken som helst Pell-ligning for en bestemt $n$ , kan den vises ved hjælp af nedstigningsmetoden,

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {k + 1} & = 2x_ {k} x_ {1} -x_ {k-1}, \\ y_ {k + 1} & = 2y_ {k} x_ {1 } -y_ {k-1}. \ end {justeret}}}

Derfor er der en uendelig række løsninger til enhver Pell-ligning, for hvilken der er en ikke-triviel, som holder, når $n$ ikke er en firkant. Den første ikke-trivielle løsning, når $n = 8$ er let at finde: den er (3,1). En opløsning $(x k, y k)$ til Pell-ligningen for $n = 8$ giver et firkantet trekantet tal og dets firkantede og trekantede rødder som følger:

{\ displaystyle s_ {k} = y_ {k}, \ quad t_ {k} = {\ frac {x_ {k} -1} {2}}, \ quad N_ {k} = y_ {k} ^ {2 }.}

Derfor er det første firkantede trekantede tal, afledt af (3,1), 1, og det næste, afledt af 6 × (3,1) - (1,0) = (17,6) , er 36.

Sekvenserne $N k$ , $s k$ og $t k$ er OEIS sekvenserne OEIS : A001110 , OEIS : A001109 , og OEIS : A001108 hhv.

I 1778 bestemte Leonhard Euler den eksplicitte formel

{\ displaystyle N_ {k} = \ left ({\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} - \ left (3-2 {\ sqrt {2}} \ højre) ^ {k}} {4 {\ sqrt {2}}}} \ højre) ^ {2}.}

Andre ækvivalente formler (opnået ved at udvide denne formel), der kan være praktiske, inkluderer

{\ displaystyle {\ begin {align} N_ {k} & = {\ tfrac {1} {32}} \ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} - \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} \ right) ^ {2} \\ & = {\ tfrac {1} {32}} \ left (\ left (1 + {\ sqrt { 2}} \ højre) ^ {4k} -2+ \ venstre (1 - {\ sqrt {2}} \ højre) ^ {4k} \ højre) \\ & = {\ tfrac {1} {32}} \ venstre (\ venstre (17 + 12 {\ sqrt {2}} \ højre) ^ {k} -2+ \ venstre (17-12 {\ sqrt {2}} \ højre) ^ {k} \ højre). \ slutning {justeret}}}

De tilsvarende eksplicitte formler for $s k$ og $t k$ er:

{\ displaystyle {\ begin {align} s_ {k} & = {\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} - \ left (3-2 {\ sqrt { 2}} \ right) ^ {k}} {4 {\ sqrt {2}}}}, \\ t_ {k} & = {\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right ) ^ {k} + \ left (3-2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} -2} {4}}. \ end {justeret}}}

Pells ligning

Problemet med at finde firkantede trekantede tal reduceres til Pells ligning på følgende måde.

Hvert trekantet tal er af formen $t (t + 1) / 2$ . Derfor søger vi heltal $t$ , $s$ sådan at

{\ displaystyle {\ frac {t (t + 1)} {2}} = s ^ {2}.}

Omarrangere bliver dette

{\ displaystyle \ left (2t + 1 \ right) ^ {2} = 8s ^ {2} +1,}

og derefter lade $x = 2 t + 1$ og $y = 2 s$ , får vi den diofantiske ligning

{\ displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = 1,}

som er en forekomst af Pells ligning . Denne særlige ligning løses ved den Pell numre $P k$ som

{\ displaystyle x = P_ {2k} + P_ {2k-1}, \ quad y = P_ {2k};}

og derfor er alle løsninger givet af

{\ displaystyle s_ {k} = {\ frac {P_ {2k}} {2}}, \ quad t_ {k} = {\ frac {P_ {2k} + P_ {2k-1} -1} {2} }, \ quad N_ {k} = \ left ({\ frac {P_ {2k}} {2}} \ right) ^ {2}.}

Der er mange identiteter om Pell-numrene, og disse oversættes til identiteter om de firkantede trekantede tal.

Gentagelsesforhold

Der er gentagelsesrelationer for de firkantede trekantede tal såvel som for siderne af den involverede firkant og trekant. Vi har

{\ displaystyle {\ begin {align} N_ {k} & = 34N_ {k-1} -N_ {k-2} +2, & {\ text {with}} N_ {0} & = 0 {\ text { og}} N_ {1} = 1; \\ N_ {k} & = \ venstre (6 {\ sqrt {N_ {k-1}}} - {\ sqrt {N_ {k-2}}} til højre) ^ {2}, og {\ tekst {med}} N_ {0} & = 0 {\ tekst {og}} N_ {1} = 1. \ Slut {justeret}}}

Vi har

{\ displaystyle {\ begin {align} s_ {k} & = 6s_ {k-1} -s_ {k-2}, & {\ text {with}} s_ {0} & = 0 {\ text {and} } s_ {1} = 1; \\ t_ {k} & = 6t_ {k-1} -t_ {k-2} +2, & {\ text {with}} t_ {0} & = 0 {\ text {and}} t_ {1} = 1. \ end {justeret}}}

Andre karakteriseringer

Alle firkantede trekantede tal har form $b 2 c 2$ , hvor $b / c$ er en konvergent til den fortsatte fraktionsudvidelse af √ 2 .

AV Sylwester gav en kort bevis på, at der er en uendelighed af firkantede trekanttal: Hvis $n$ th trekanttal $n (n + 1) / 2$ er kvadratisk, så er det større $4 n (n + 1)$ th trekantet tal, da:

{\ displaystyle {\ frac {{\ bigl (} 4n (n + 1) {\ bigr)} {\ bigl (} 4n (n + 1) +1 {\ bigr)}} {2}} = 4 \, {\ frac {n (n + 1)} {2}} \, \ left (2n + 1 \ right) ^ {2}.}

Som produktet af tre firkanter er højre side firkantet. De trekantede rødder $t k$ er skiftevis samtidig en mindre end en firkantet og to gange et kvadrat hvis $k$ er selv, og samtidig en firkant og en mindre end to gange en firkant, hvis $k$ er ulige. Dermed,

49 = 7 ² = 2 × 5 ² - 1,

288 = 17 ² - 1 = 2 × 12 ² , og

1681 = 41 ² = 2 × 29 ² - 1.

I begge tilfælde multipliceres de to involverede kvadratrødder for at give $s k$ : 5 × 7 = 35 , 12 × 17 = 204 og 29 × 41 = 1189 .

Derudover:

{\ displaystyle N_ {k} -N_ {k-1} = s_ {2k-1};}

36 - 1 = 35 , 1225 - 36 = 1189 og 41616 - 1225 = 40391 . Med andre ord er forskellen mellem to på hinanden følgende firkantede trekantede tal kvadratroden af et andet firkantet trekantet tal.

Den genererende funktion for de firkantede trekantede tal er:

{\ displaystyle {\ frac {1 + z} {(1-z) \ left (z ^ {2} -34z + 1 \ right)}} = 1 + 36z + 1225z ^ {2} + \ cdots}

Numeriske data

Når $k$ bliver større, er forholdet $t k / s k$ nærmer sig √ 2 ≈ 1.414 213 56 , og forholdet mellem successive firkantede trekantede tal nærmer sig (1 + √ 2 ) ⁴ = 17 + 12 √ 2 ≈ 33,970 562 748 . Tabellen nedenfor viser værdier på $k$ mellem 0 og 11, som omfatter alle firkantede trekantede tal op til10 ¹⁶ .

$k$	$N k$	$s k$	$t k$	$t k / s k$	$N k / N k - 1$
0	0	0	0	$t k / s k$
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.333 333 33	36
3	1 225	35	49	1.4	34,027 777 778
4	41 616	204	288	1.411 764 71	33,972 244 898
5	1 413 721	1 189	1 681	1.413 793 10	33,970 612 265
6	48 024 900	6 930	9 800	1.414 141 41	33,970 564 206
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1.414 201 18	33,970 562 791
8	55 420 693 056	235 416	332 928	1.414 211 44	33,970 562 750
9	1 882 672 131 025	1 372 105	1 940 449	1.414 213 20	33,970 562 749
10	63 955 431 761 796	7 997 214	11 309 768	1.414 213 50	33,970 562 748
11	2 172 602 007 770 041	46 611 179	65 918 161	1.414 213 55	33,970 562 748

Se også

Kanonkugleproblem på tal, der samtidig er firkantede og firkantede pyramideformede
Sjette magt , tal, der er samtidigt kvadratiske og kubiske

Languages

In other projects