Numero triangolare quadrato - Squared triangular number

Un quadrato la cui lunghezza del lato è un numero triangolare può essere suddiviso in quadrati e mezzi quadrati le cui aree si sommano ai cubi. Da Gulley (2010) .

In teoria dei numeri , la somma dei primi $n$ cubi è il quadrato del $n$ esimo numero triangolare . Questo è,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\sinistra(1+2+3+\cdots +n\destra)^{2} .

La stessa equazione può essere scritta in modo più compatto usando la notazione matematica per la sommatoria :

\sum _{k=1}^{n}k^{3}={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.

Questa identità è talvolta chiamata teorema di Nicomaco , da Nicomaco di Gerasa (c. 60 - c. 120 dC).

Storia

Nicomaco, alla fine del capitolo 20 della sua Introduzione all'aritmetica , ha sottolineato che se si scrive una lista dei numeri dispari, il primo è il cubo di 1, la somma dei due successivi è il cubo di 2, la somma di i successivi tre sono il cubo di 3, e così via. Non va oltre, ma da questo ne consegue che la somma dei primi $n$ cubi è uguale alla somma dei primi numeri dispari, cioè i numeri dispari da 1 a . La media di questi numeri è ovviamente , e ce ne sono , quindi la loro somma è $n(n+1)/2$ $n(n+1)-1$ $n(n+1)/2$ $n(n+1)/2$ ${\bigl (}n(n+1)/2{\bigr )}^{2}.$

Molti dei primi matematici hanno studiato e fornito prove del teorema di Nicomaco. Stroeker (1995) afferma che "ogni studente di teoria dei numeri deve sicuramente essersi meravigliato di questo fatto miracoloso". Pengelley (2002) trova riferimenti all'identità non solo nelle opere di Nicomaco in quella che oggi è la Giordania nel I secolo d.C., ma anche in quelle di Aryabhata in India nel V secolo, e in quelle di Al-Karaji intorno al 1000 in Persia . Bressoud (2004) cita diversi altri primi lavori matematici su questa formula, di Al-Qabisi (X secolo Arabia), Gersonide (circa 1300 Francia) e Nilakantha Somayaji (circa 1500 India); riproduce la prova visiva di Nilakantha.

Valori numerici; interpretazione geometrica e probabilistica

Tutti i 36 rettangoli [ (1 + 2 + 3) ² = 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ ], inclusi 14 [ 1 ² + 2 ² + 3 ² ] quadrati (rossi), in un quadrato 3×3 (4×4 vertice) griglia

La sequenza dei numeri triangolari quadrati è

0, 1, 9, 36, 100, 225,

441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281,

... .

Questi numeri possono essere visti come numeri figurati , una generalizzazione iperpiramidale quadridimensionale dei numeri triangolari e dei numeri piramidali quadrati .

Come osserva Stein (1971) , questi numeri contano anche il numero di rettangoli con lati orizzontali e verticali formati in una griglia $n \times n$ . Ad esempio, i punti di una griglia $4\times4$ (o un quadrato composto da tre quadrati più piccoli per lato) possono formare 36 rettangoli diversi. Il numero di quadrati in una griglia quadrata è contato in modo simile dai numeri piramidali quadrati.

L'identità ammette anche una naturale interpretazione probabilistica come segue. Siano $X, Y, Z, W$ quattro numeri interi scelti indipendentemente e uniformemente a caso tra $1$ e $n$ . Allora, la probabilità che $W$ sia il più grande dei quattro numeri è uguale alla probabilità che $Y$ sia grande almeno quanto $X$ e che $W$ sia grande almeno quanto $Z$ . Cioè, . Per ogni particolare valore di $W$ , le combinazioni di $X$ , $Y$ e $Z$ che rendono $W il$ più grande formano un cubo $1 \leq$ $X$ $,$ $Y$ $,$ $Z$ $\leq$ $n$ quindi (sommando la dimensione di questo cubo su tutte le scelte di $W$ ) il numero di combinazioni di $X$ $,$ $Y$ $,$ $Z$ $,$ $W$ per cui $W$ è il più grande è una somma di cubi, il lato sinistro dell'identità di Nicomaco. Gli insiemi di coppie $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ con $X$ $\leq$ $Y$ e di coppie $($ $Z$ $,$ $W$ $)$ con $Z$ $\leq$ $W$ formano triangoli rettangoli isosceli, e l'insieme contato dal membro destro dell'equazione delle probabilità è il prodotto cartesiano di questi due triangoli, quindi la sua dimensione è il quadrato di un numero triangolare sul lato destro dell'identità di Nicomaco. Le probabilità stesse sono rispettivamente i lati sinistro e destro dell'identità di Nicomaco, normalizzati per creare probabilità dividendo entrambi i lati per $n$ $4$ . $P[\max(X,Y,Z)\leq W]=P[X\leq Y\cuneo Z\leq W]$

prove

Charles Wheatstone ( 1854 ) dà una derivazione particolarmente semplice, espandendo ogni cubo della somma in un insieme di numeri dispari consecutivi. Comincia dando l'identità

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n ^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ numeri dispari consecutivi}}}.

Tale identità è correlata ai numeri triangolari nel modo seguente:

T_{n}

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

e quindi le somme che si formano iniziano subito dopo quelle che formano tutti i valori precedenti fino a . Applicando questa proprietà, insieme a un'altra identità ben nota:

n^{3}

1^{3}

(n-1)^{3}

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

produce la seguente derivazione:

{\begin{allineato}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\sottobretella {3+5} _{2^{3}}+\sottobrace {7+9+11} _{3^{3}}+\sottobrace {13 +15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+ n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2 }}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n} {2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n }k{\bigg )}^{2}.\end{allineato}}

Row (1893) ottiene un'altra dimostrazione sommando i numeri in una tabellina quadrata in due modi diversi. La somma della esima riga è per un numero triangolare, da cui segue che la somma di tutte le righe è il quadrato di un numero triangolare. In alternativa, si può scomporre la tabella in una sequenza di gnomoni nidificati , ciascuno costituito dai prodotti in cui il maggiore dei due termini è un valore fisso. La somma all'interno di ogni gmonon è un cubo, quindi la somma dell'intera tabella è una somma di cubi. $i$ $i$

Dimostrazione visiva che il quadrato di un numero triangolare è uguale a una somma di cubi.

Nella letteratura matematica più recente, Edmonds (1957) fornisce una dimostrazione utilizzando la sommatoria per parti . Stein (1971) usa l'interpretazione del conteggio dei rettangoli di questi numeri per formare una prova geometrica dell'identità (vedi anche Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); osserva che può anche essere dimostrato facilmente (ma in modo non informativo) per induzione, e afferma che Toeplitz (1963) fornisce "un'interessante vecchia prova araba". Kanim (2004) fornisce una prova puramente visiva, Benjamin & Orrison (2002) forniscono due prove aggiuntive e Nelsen (1993) fornisce sette prove geometriche.

generalizzazioni

Un risultato simile al teorema di Nicomaco vale per tutte le somme di potenza , vale a dire che le somme di potenze dispari (somme di potenze dispari) sono un polinomio in numeri triangolari. Questi sono chiamati polinomi di Faulhaber , di cui la somma dei cubi è l'esempio più semplice ed elegante. Tuttavia, in nessun altro caso una somma di potenza è un quadrato di un'altra.

Stroeker (1995) studia condizioni più generali in cui la somma di una sequenza consecutiva di cubi forma un quadrato. Garrett & Hummel (2004) e Warnaar (2004) studiano analoghi polinomiali della formula del numero quadrato triangolare, in cui serie di polinomi si sommano al quadrato di un altro polinomio.

Appunti

Riferimenti

Benjamin, Arthur T. ; Orrison, ME (2002), "Due prove combinatorie rapide di " $\textstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}$ (PDF) , College Mathematics Journal , 33 (5): 406–408, doi : 10.2307/1559017 , JSTOR 1559017.
Benjamin, Arthur T. ; Quinn, Jennifer J. ; Wurtz, Calyssa (2006), "Sommare i cubi contando i rettangoli" (PDF) , College Mathematics Journal , 37 (5): 387–389, doi : 10.2307/27646391 , JSTOR 27646391.
Bressoud, David (2004), Calcolo prima di Newton e Leibniz, Parte III (PDF) , AP Central.
Edmonds, Sheila M. (1957), "Somme di potenze dei numeri naturali", The Mathematical Gazette , 41 : 187-188, doi : 10.2307/3609189 , JSTOR 3609189 , MR 0096615
Garrett, Kristina C.; Hummel, Kristen (2004), "Una dimostrazione combinatoria della somma di $q-$ cubi" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (1), Research Paper 9, doi : 10.37236/1762 , MR 2034423.
Gulley, Ned (4 marzo 2010), Shure, Loren (a cura di), Teorema di Nicomaco , Matlab Central.
Kanim, Katherine (2004), "Prove senza parole: La somma dei cubi-Un'estensione della somma dei quadrati di Archimede", Mathematics Magazine , 77 (4): 298-299, doi : 10.2307/3219288 , JSTOR 3219288.
Nelsen, Roger B. (1993), Prove senza parole , Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7.
Pengelley, David (2002), "Il ponte tra continuo e discreto tramite fonti originali", Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF) , National Center for Mathematics Education, Univ. di Göteborg, Svezia.
Row, T. Sundara (1893), Esercizi geometrici nella piegatura della carta , Madras: Addison, pp. 47-48.
Stein, Robert G. (1971), "Una prova combinatoria che ", Mathematics Magazine , 44 (3): 161-162, doi : 10.2307/2688231 , JSTOR 2688231 $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$ .
Stroeker, RJ (1995), "Sulla somma dei cubi consecutivi essendo un quadrato perfetto" , Compositio Mathematica , 97 (1-2): 295-307, MR 1355130.
Toeplitz, Otto (1963), Il calcolo, un approccio genetico , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9.
Warnaar, S. Ole (2004), "On the $q-$ analogue of the sum of cubes" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (1), Note 13, doi : 10.37236/1854 , MR 2114194.
Wheatstone, C. (1854), "Sulla formazione di poteri da progressioni aritmetiche" (PDF) , Atti della Royal Society di Londra , 7 : 145-151, doi : 10.1098/rspl.1854.0036.

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