Firkantet trekantet tall - Squared triangular number

En firkant hvis sidelengde er et trekantet tall kan deles i firkanter og halve firkanter hvis arealer legger til terninger. Fra Gulley (2010) .

I tallteori , idet summen av de første $n$ kuber er kvadratet av den $n-$ te trekantede nummer . Det er,

{\ displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ cdots+n^{3} = \ venstre (1+2+3+\ cdots+n \ høyre)^{2} .}

Den samme ligningen kan skrives mer kompakt ved hjelp av den matematiske notasjonen for summering :

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} k^{3} = {\ bigg (} \ sum _ {k = 1}^{n} k {\ bigg)}^{2}.}

Denne identiteten kalles noen ganger Nicomachos teorem , etter Nicomachus fra Gerasa (ca. 60 - ca. 120 e.Kr.).

Historie

Nicomachus, på slutten av kapittel 20 i sin introduksjon til aritmetikk , påpekte at hvis man skriver en liste med oddetall, er den første terningen til 1, summen av de to neste er terningen av 2, summen av de tre neste er terningen på 3, og så videre. Han går ikke lenger enn dette, men av dette følger det at summen av de første $n$ kuber er lik summen av de første oddetallene, det vil si oddetallene fra 1 til . Gjennomsnittet av disse tallene er åpenbart , og det er av dem, så summen deres er ${\ displaystyle n (n+1)/2}$ ${\ displaystyle n (n+1) -1}$ ${\ displaystyle n (n+1)/2}$ ${\ displaystyle n (n+1)/2}$ ${\ displaystyle {\ bigl (} n (n+1)/2 {\ bigr)}^{2}.}$

Mange tidlige matematikere har studert og levert bevis på Nicomachos teorem. Stroeker (1995) hevder at "hver student i tallteori må sikkert ha undret seg over dette mirakuløse faktum". Pengelley (2002) finner referanser til identiteten ikke bare i verkene til Nicomachus i det som nå er Jordan i det første århundre e.Kr., men også i Aryabhata i India på 500- tallet, og i Al-Karaji rundt 1000 i Persia . Bressoud (2004) nevner flere ekstra tidlige matematiske verk om denne formelen, av Al-Qabisi (Arabia på 900- tallet), Gersonides (ca. 1300 Frankrike) og Nilakantha Somayaji (ca. 1500 India); han gjengir Nilakanthas visuelle bevis.

Numeriske verdier; geometrisk og sannsynlig tolkning

Alle 36 [ (1 + 2 + 3) ² = 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ ] rektangler, inkludert 14 [ 1 ² + 2 ² + 3 ² ] firkanter (rød), i en 3 × 3 firkant (4 × 4 toppunkt) rutenett

Sekvensen av kvadratiske trekantede tall er

0, 1, 9, 36, 100, 225,

441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281,

....

Disse tallene kan sees på som figurerte tall , en fire-dimensjonal hyperpyramidal generalisering av de trekantede tallene og firkantede pyramidetall .

Som Stein (1971) observerer, teller disse tallene også antallet rektangler med horisontale og vertikale sider dannet i et $n \times n$ rutenett . For eksempel kan punktene i et $4 \times 4$ -rutenett (eller en firkant som består av tre mindre firkanter på en side) danne 36 forskjellige rektangler. Antall firkanter i et firkantet rutenett telles på samme måte av de firkantede pyramidetallene.

Identiteten innrømmer også en naturlig sannsynlighetstolkning som følger. La $X, Y, Z, W$ være fire heltall tall uavhengig og jevnt valgt tilfeldig mellom $1$ og $n$ . Deretter, sannsynligheten for at $W$ er den største av de fire tall er lik sannsynligheten for at $Y$ er minst like stor som $X$ , og at $W$ er minst like stor som $Z$ . Det vil si ,. For en bestemt verdi av $W$ danner kombinasjonene av $X$ , $Y$ og $Z$ som gjør $W$ størst en kube $1 \leq$ $X$ $,$ $Y$ $,$ $Z$ $\leq$ $n$ så (legger størrelsen på denne kuben over alle valg av $W$ ) antall kombinasjoner av $X$ $,$ $Y$ $,$ $Z$ $,$ $W$ som $W$ er størst for er en sum av terninger, venstre side av Nichomachus -identiteten. Settene med par $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ med $X$ $\leq$ $Y$ og med par $($ $Z$ $,$ $W$ $)$ med $Z$ $\leq$ $W$ danner likebenede trekanter, og settet som telles på høyre side av sannsynlighetsligningen er det kartesiske produktet av disse to trekanter, så størrelsen er kvadratet til et trekantet tall på høyre side av Nichomachus -identiteten. Sannsynlighetene i seg selv er henholdsvis venstre og høyre side av Nichomachus -identiteten, normalisert for å gjøre sannsynligheter ved å dele begge sider med $n$ $4$ . ${\ displaystyle P [\ max (X, Y, Z) \ leq W] = P [X \ leq Y \ kile Z \ leq W]}$

Bevis

Charles Wheatstone ( 1854 ) gir en spesielt enkel avledning, ved å utvide hver terning i summen til et sett med påfølgende oddetall. Han begynner med å oppgi identiteten

{\ displaystyle n^{3} = \ underbrace {\ left (n^{2} -n+1 \ right)+\ left (n^{2} -n+1+2 \ right)+\ left (n ^{2} -n+1+4 \ høyre)+\ cdots+\ venstre (n^{2}+n-1 \ høyre)} _ {n {\ tekst {påfølgende oddetall}}}}.}

Den identiteten er relatert til trekantede tall på følgende måte:

{\ displaystyle T_ {n}}

{\ displaystyle n^{3} = \ sum _ {k = T_ {n-1} +1}^{T_ {n}} (2k-1),}

og dermed starter sumningsdannelsen like etter de som danner alle tidligere verdier opp til . Bruk av denne eiendommen, sammen med en annen kjent identitet:

{\ displaystyle n^{3}}

{\ displaystyle 1^{3}}

{\ displaystyle (n-1)^{3}}

{\ displaystyle n^{2} = \ sum _ {k = 1}^{n} (2k-1),}

produserer følgende avledning:

{\ displaystyle {\ begynne {justert} \ sum _ {k = 1}^{n} k^{3} & = 1+8+27+64+\ cdots+n^{3} \\ & = \ underbrace {1} _ {1^{3}}+\ underbrace {3+5} _ {2^{3}}+\ underbrace {7+9+11} _ {3^{3}}+\ underbrace {13 +15+17+19} _ {4^{3}}+\ cdots+\ underbrace {\ left (n^{2} -n+1 \ right)+\ cdots+\ left (n^{2}+ n-1 \ høyre)} _ {n^{3}} \\ & = \ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {\ underbrace {1} _ {1^{2}}+3} _ {2^{2 }}+5} _ {3^{2}}+\ cdots+\ venstre (n^{2}+n-1 \ høyre)} _ {\ venstre ({\ frac {n^{2}+n} {2}} \ høyre)^{2}} \\ & = (1+2+\ cdots+n)^{2} \\ & = {\ bigg (} \ sum _ {k = 1}^{n } k {\ bigg)}^{2}. \ end {justert}}}

Row (1893) får et annet bevis ved å summere tallene i en kvadratisk multiplikasjonstabell på to forskjellige måter. Summen av den tredje raden er ganger et trekantet tall, hvorav det følger at summen av alle radene er kvadratet til et trekantet tall. Alternativt kan man dekomponere tabellen til en sekvens av nestede gnomoner , som hver består av produktene der den største av de to termene har en fast verdi. Summen i hver gmonon er en terning, så summen av hele tabellen er en sum av terninger. ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle i}$

Visuell demonstrasjon av at kvadratet til et trekantet tall er lik summen av terninger.

I den nyere matematiske litteraturen gir Edmonds (1957) et bevis ved å bruke summering av deler . Stein (1971) bruker tolkningen av rektangeltellingen av disse tallene for å danne et geometrisk bevis på identiteten (se også Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); han bemerker at det også lett kan bevises (men uinformativt) ved induksjon, og uttaler at Toeplitz (1963) gir "et interessant gammelt arabisk bevis". Kanim (2004) gir et rent visuelt bevis, Benjamin & Orrison (2002) gir ytterligere to bevis, og Nelsen (1993) gir syv geometriske bevis.

Generaliseringer

Et lignende resultat som Nicomachos teorem gjelder for alle effektsummer , nemlig at oddetallssummer (summer av oddetall) er et polynom i trekantede tall. Disse kalles Faulhaber -polynomer , hvor summen av terninger er det enkleste og mest elegante eksemplet. Imidlertid er ikke i noe annet tilfelle en effektsum en kvadrat av en annen.

Stroeker (1995) studerer mer generelle forhold der summen av en påfølgende sekvens av terninger danner en firkant. Garrett & Hummel (2004) og Warnaar (2004) studerer polynome analoger av den firkantede trekantede tallformelen, der en rekke polynomer legger til kvadratet til et annet polynom.

Merknader

Referanser

Benjamin, Arthur T .; Orrison, ME (2002), "Two quick combinatorial proofs of " ${\ displaystyle \ textstyle \ sum k^{3} = {n+1 \ velg 2}^{2}}$ (PDF) , College Mathematics Journal , 33 (5): 406–408, doi : 10.2307/1559017 , JSTOR 1559017.
Benjamin, Arthur T .; Quinn, Jennifer J .; Wurtz, Calyssa (2006), "Summing cubes by counting rectangles" (PDF) , College Mathematics Journal , 37 (5): 387–389, doi : 10.2307/27646391 , JSTOR 27646391.
Bressoud, David (2004), Calculus before Newton og Leibniz, del III (PDF) , AP Central.
Edmonds, Sheila M. (1957), "Sums of powers of the natural numbers", The Mathematical Gazette , 41 : 187–188, doi : 10.2307/3609189 , JSTOR 3609189 , MR 0096615
Garrett, Kristina C .; Hummel, Kristen (2004), "A combinatorial proof of the sum of $q$ -cubes" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (1), Research Paper 9, doi : 10.37236/1762 , MR 2034423.
Gulley, Ned (4. mars 2010), Shure, Loren (red.), Nicomachus's Theorem , Matlab Central.
Kanim, Katherine (2004), "Bevis uten ord: Summen av kuber - En forlengelse av Archimedes summe av firkanter", Mathematics Magazine , 77 (4): 298–299, doi : 10.2307/3219288 , JSTOR 3219288.
Nelsen, Roger B. (1993), Proofs without Words , Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7.
Pengelley, David (2002), "Broen mellom kontinuerlig og diskret via originale kilder", Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference (PDF) , National Center for Mathematics Education, Univ. fra Göteborg, Sverige.
Row, T. Sundara (1893), Geometric Exercises in Paper Folding , Madras: Addison, s. 47–48.
Stein, Robert G. (1971), "A combinatorial proof that ", Mathematics Magazine , 44 (3): 161–162, doi : 10.2307/2688231 , JSTOR 2688231 ${\ displaystyle \ textstyle \ sum k^{3} = (\ sum k)^{2}}$ .
Stroeker, RJ (1995), "På summen av påfølgende kuber er et perfekt kvadrat" , Compositio Mathematica , 97 (1–2): 295–307, MR 1355130.
Toeplitz, Otto (1963), The Calculus, a Genetic Approach , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9.
Warnaar, S. Ole (2004), "On the $q$ -analogue of the sum of cubes" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (1), Note 13, doi : 10.37236/1854 , MR 2114194.
Wheatstone, C. (1854), "On the formation of powers from arithmetical progressions" (PDF) , Proceedings of the Royal Society of London , 7 : 145–151, doi : 10.1098/rspl.1854.0036.

Languages

In other projects