Quadratische Dreieckszahl - Squared triangular number

Ein Quadrat, dessen Seitenlänge eine Dreieckszahl ist, kann in Quadrate und Halbquadrate unterteilt werden, deren Flächen sich zu Würfeln addieren. Aus Gully (2010) .

In der Zahlentheorie ist die Summe der ersten $n$ Würfel das Quadrat der $n-$ ten Dreieckszahl . Das ist,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2} .

Dieselbe Gleichung kann mit der mathematischen Notation für die Summation kompakter geschrieben werden :

\sum_{k=1}^{n}k^{3}={\bigg(}\sum_{k=1}^{n}k{\bigg)}^{2}.

Diese Identität wird manchmal als Satz von Nikomachus bezeichnet , nach Nikomachus von Gerasa (ca. 60 – ca. 120 n. Chr.).

Geschichte

Nikomachus wies am Ende von Kapitel 20 seiner Einführung in die Arithmetik darauf hin, dass, wenn man eine Liste der ungeraden Zahlen schreibt, die erste der Würfel von 1 ist, die Summe der nächsten beiden der Würfel von 2, die Summe von die nächsten drei sind der Würfel von 3 und so weiter. Weiter geht er nicht, aber daraus folgt, dass die Summe der ersten $n$ Würfel gleich der Summe der ersten ungeraden Zahlen ist, also der ungeraden Zahlen von 1 bis . Der Durchschnitt dieser Zahlen ist offensichtlich , und es gibt von ihnen, also ist ihre Summe $n(n+1)/2$ $n(n+1)-1$ $n(n+1)/2$ $n(n+1)/2$ ${\bigl(}n(n+1)/2{\bigr)}^{2}.$

Viele frühe Mathematiker haben den Satz von Nikomachus studiert und bewiesen. Stroeker (1995) behauptet, dass "jeder Student der Zahlentheorie sicherlich über diese wundersame Tatsache gestaunt haben muss". Pengelley (2002) findet Hinweise auf die Identität nicht nur in den Werken von Nikomacho im heutigen Jordanien im ersten Jahrhundert CE, sondern auch in denen von Aryabhata in Indien im fünften Jahrhundert, und in denen von Muhammad al-Karadschi circa 1000 Persien . Bressoud (2004) erwähnt mehrere zusätzliche frühe mathematische Arbeiten zu dieser Formel von Al-Qabisi (Arabien des 10. Jahrhunderts), Gersonides (um 1300 Frankreich) und Nilakantha Somayaji (um 1500 Indien); er reproduziert den visuellen Beweis von Nilakantha.

Numerische Werte; geometrische und probabilistische Interpretation

Alle 36 [ (1 + 2 + 3) ² = 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ ] Rechtecke, einschließlich 14 [ 1 ² + 2 ² + 3 ² ] Quadrate (rot), in einem 3×3-Quadrat (4×4 .) Scheitelpunkt) Gitter

Die Folge der quadrierten Dreieckszahlen ist

0, 1, 9, 36, 100, 225,

441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281,

... .

Diese Zahlen können als figurative Zahlen angesehen werden , eine vierdimensionale hyperpyramidale Verallgemeinerung der Dreieckszahlen und quadratischen Pyramidenzahlen .

Wie Stein (1971) feststellt, zählen diese Zahlen auch die Anzahl der Rechtecke mit horizontalen und vertikalen Seiten, die in einem $n \times n-$ Gitter gebildet werden . Zum Beispiel können die Punkte eines $4\times4-$ Gitters (oder eines Quadrats, das aus drei kleineren Quadraten auf einer Seite besteht) 36 verschiedene Rechtecke bilden. Die Anzahl der Quadrate in einem quadratischen Gitter wird ähnlich durch die quadratischen Pyramidenzahlen gezählt.

Die Identität lässt auch eine natürliche probabilistische Interpretation wie folgt zu. Seien $X, Y, Z, W$ vier ganze Zahlen, die unabhängig und gleichmäßig zufällig zwischen $1$ und $n gewählt werden$ . Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass $W$ die größte der vier Zahlen ist, gleich der Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ mindestens so groß wie $X ist$ und dass $W$ mindestens so groß wie $Z ist$ . Das heißt, . Für jeden bestimmten Wert von $W$ bilden die Kombinationen von $X$ , $Y$ und $Z$ , die $W zum$ größten machen, einen Würfel $1 \leq$ $X$ $,$ $Y$ $,$ $Z$ $\leq$ $n,$ also (addiert man die Größe dieses Würfels über alle Auswahlmöglichkeiten von $W$ ) die Anzahl der Kombinationen von $X$ $,$ $Y$ $,$ $Z$ $,$ $W,$ für die $W$ am größten ist, ist eine Summe von Würfeln, die linke Seite der Nichomachus-Identität. Die Mengen von Paaren $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ mit $X$ $\leq$ $Y$ und von Paaren $($ $Z$ $,$ $W$ $)$ mit $Z$ $\leq$ $W$ bilden gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke, und die von der rechten Seite der Wahrscheinlichkeitsgleichung gezählte Menge ist das kartesische Produkt dieser zwei Dreiecke, also ist seine Größe das Quadrat einer Dreieckszahl auf der rechten Seite der Nichomachus-Identität. Die Wahrscheinlichkeiten selbst sind jeweils die linke und rechte Seite der Nichomachus-Identität, normalisiert, um Wahrscheinlichkeiten zu bilden, indem beide Seiten durch $n$ $4 geteilt werden$ . $P[\max(X,Y,Z)\leq W]=P[X\leq Y\keil Z\leq W]$

Beweise

Charles Wheatstone ( 1854 ) liefert eine besonders einfache Herleitung, indem er jeden Würfel der Summe in eine Menge aufeinanderfolgender ungerader Zahlen erweitert. Er beginnt mit der Angabe der Identität

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n ^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{aufeinanderfolgende ungerade Zahlen}}}.

Diese Identität hängt wie folgt mit Dreieckszahlen zusammen :

T_{n}

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

und damit beginnen die Summandenbildungen direkt nach denen, die alle vorherigen Werte bis bilden . Anwenden dieser Eigenschaft zusammen mit einer anderen bekannten Identität:

n^{3}

1^{3}

(n-1)^{3}

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

ergibt folgende Ableitung:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13 +15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+ n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2 }}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n} {2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n }k{\bigg)}^{2}.\end{ausgerichtet}}

Row (1893) erhält einen weiteren Beweis, indem er die Zahlen in einer quadratischen Multiplikationstabelle auf zwei verschiedene Arten summiert . Die Summe der th Reihe ist mal eine Dreieckszahl, woraus folgt, dass die Summe aller Reihen das Quadrat einer Dreieckszahl ist. Alternativ kann man die Tabelle in eine Folge verschachtelter Gnomons zerlegen , die jeweils aus den Produkten bestehen, bei denen der größere der beiden Terme ein fester Wert ist. Die Summe in jedem Gmonon ist ein Würfel, also ist die Summe der gesamten Tabelle eine Summe von Würfeln. $i$ $i$

Visuelle Demonstration, dass das Quadrat einer Dreieckszahl einer Summe von Würfeln entspricht.

In der neueren mathematischen Literatur liefert Edmonds (1957) einen Beweis durch Summation nach Teilen . Stein (1971) verwendet die rechteckzählende Interpretation dieser Zahlen, um einen geometrischen Identitätsbeweis zu bilden (siehe auch Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); er bemerkt, dass es auch leicht (aber nicht informativ) durch Induktion bewiesen werden kann, und stellt fest, dass Toeplitz (1963) "einen interessanten alten arabischen Beweis" liefert. Kanim (2004) liefert einen rein visuellen Beweis, Benjamin & Orrison (2002) liefern zwei zusätzliche Beweise und Nelsen (1993) liefert sieben geometrische Beweise.

Verallgemeinerungen

Ein ähnliches Ergebnis wie der Satz von Nikomachus gilt für alle Potenzsummen , nämlich dass ungerade Potenzsummen (Summen ungerader Potenzen) ein Polynom in Dreieckszahlen sind. Diese werden Faulhaber-Polynome genannt , von denen die Summe der Würfel das einfachste und eleganteste Beispiel ist. In keinem anderen Fall ist jedoch eine Potenzsumme ein Quadrat einer anderen.

Ströker (1995) untersucht allgemeinere Bedingungen, unter denen die Summe einer aufeinanderfolgenden Folge von Würfeln ein Quadrat bildet. Garrett & Hummel (2004) und Warnaar (2004) untersuchen polynomiale Analoga der quadratischen Dreieckszahlenformel, bei denen eine Reihe von Polynomen zum Quadrat eines anderen Polynoms addiert wird.

Anmerkungen

Verweise

Benjamin, Arthur T. ; Orrison, ME (2002), "Two quick combinatorial proofs of " $\textstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}$ (PDF) , College Mathematics Journal , 33 (5): 406–408, doi : 10.2307/1559017 , JSTOR 1559017.
Benjamin, Arthur T. ; Quinn, Jennifer J .; Wurtz, Calyssa (2006), "Summing Cubes by counting Rechtecke" (PDF) , College Mathematics Journal , 37 (5): 387–389, doi : 10.2307/27646391 , JSTOR 27646391.
Bressoud, David (2004), Infinitesimalrechnung vor Newton und Leibniz, Teil III (PDF) , AP Central.
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Nelsen, Roger B. (1993), Beweise ohne Worte , Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-700-7.
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Toeplitz, Otto (1963), The Calculus, a Genetic Approach , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-80667-9.
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Wheatstone, C. (1854), "On the formation of powers from arithmetical progressions" (PDF) , Proceedings of the Royal Society of London , 7 : 145–151, doi : 10.1098/rspl.1854.0036.

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