Q -funktion - Q-function

I statistikker , den Q-funktionen er den hale fordelingsfunktionen af standardnormalfordelingen . Med andre ord er sandsynligheden for, at en normal (gaussisk) tilfældig variabel vil opnå en værdi, der er større end standardafvigelser. Tilsvarende er sandsynligheden for, at en standard normal tilfældig variabel tager en værdi større end . ${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle x}$

Hvis er en gaussisk tilfældig variabel med middel og varians , så er standard normal og ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^{2}}$${\ displaystyle X = {\ frac {Y- \ mu} {\ sigma}}}$

${\ displaystyle P (Y> y) = P (X> x) = Q (x)}$

hvor . ${\ displaystyle x = {\ frac {y- \ mu} {\ sigma}}}$

Andre definitioner af Q -funktionen, som alle er simple transformationer af den normale kumulative fordelingsfunktion , bruges også lejlighedsvis.

På grund af dets relation til den kumulative fordelingsfunktion ved normalfordelingen kan Q -funktionen også udtrykkes i form af fejlfunktionen , som er en vigtig funktion i anvendt matematik og fysik.

Definition og grundlæggende egenskaber

Formelt defineres Q -funktionen som

${\ displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {x}^{\ infty} \ exp \ left (-{\ frac {u^{2} } {2}} \ højre) \, du.}$

Dermed,

${\ displaystyle Q (x) = 1-Q (-x) = 1- \ Phi (x) \, \ !,}$

hvor er den kumulative fordelingsfunktion for den normale normale gaussiske fordeling . ${\ displaystyle \ Phi (x)}$

Den Q -funktion kan udtrykkes i form af fejlfunktionen , eller den komplementære fejlfunktion, som

${\ displaystyle {\ begin {align} Q (x) & = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {x/{ \ sqrt {2}}}^{\ infty} \ exp \ left (-t^{2} \ right) \, dt \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}}-{\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right) ~~ {\ text {-or -}} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right). \ End {align}}}$

En alternativ form for Q -funktionen kendt som Craigs formel, efter dens opdagelse, udtrykkes som:

${\ displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} \ exp \ left (-{\ frac {x^{ 2}} {2 \ sin ^{2} \ theta}} \ right) d \ theta.}$

Dette udtryk er kun gyldigt for positive værdier af x , men det kan bruges sammen med Q ( x ) = 1 - Q ( - x ) for at opnå Q ( x ) for negative værdier. Denne form er fordelagtig, idet integrationsområdet er fast og begrænset.

Craigs formel blev senere udvidet af Behnad (2020) for Q -funktionen af ​​summen af ​​to ikke -negative variabler som følger:

${\ displaystyle Q (x+y) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} \ exp \ left (-{\ frac {x ^{2}} {2 \ sin ^{2} \ theta}}-{\ frac {y ^{2}} {2 \ cos ^{2} \ theta}} \ right) d \ theta, \ quad x , y \ geqslant 0.}$

Grænser og tilnærmelser

• Den Q -funktionen er ikke en elementær funktion . Borjesson-Sundberg grænser, hvor er densitetsfunktionen for standard normalfordelingen,${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {1+x^{2}}} \ right) \ phi (x) <Q (x) <{\ frac {\ phi (x)} {x}} , \ qquad x> 0,}$

bliver stadig strammere for store x , og er ofte nyttige.

Ved hjælp af substitutionen v = u ² /2 er den øvre grænse afledt som følger:

${\ displaystyle Q (x) = \ int _ {x}^{\ infty} \ phi (u) \, du <\ int _ {x}^{\ infty} {\ frac {u} {x}} \ phi (u) \, du = \ int _ {\ frac {x^{2}} {2}}^{\ infty} {\ frac {e^{-v}} {x {\ sqrt {2 \ pi }}}} \, dv =-{\ biggl.} {\ frac {e^{-v}} {x {\ sqrt {2 \ pi}}}} {\ biggr |} _ {\ frac {x^ {2}} {2}}^{\ infty} = {\ frac {\ phi (x)} {x}}.}$

Tilsvarende brug og kvotientreglen ,${\ displaystyle \ phi '(u) =-u \ phi (u)}$

${\ displaystyle \ left (1+{\ frac {1} {x^{2}}} \ right) Q (x) = \ int _ {x}^{\ infty} \ left (1+{\ frac { 1} {x^{2}}} \ højre) \ phi (u) \, du> \ int _ {x}^{\ infty} \ venstre (1+{\ frac {1} {u^{2} }} \ right) \ phi (u) \, du =-{\ biggl.} {\ frac {\ phi (u)} {u}} {\ biggr |} _ {x}^{\ infty} = { \ frac {\ phi (x)} {x}}.}$

Løsning for Q ( x ) giver den nedre grænse.

Det geometriske middelværdi for den øvre og nedre grænse giver en passende tilnærmelse til :${\ displaystyle Q (x)}$

${\ displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {\ phi (x)} {\ sqrt {1+x^{2}}}}, \ qquad x \ geq 0.}$

• Strammere grænser og tilnærmelser til kan også opnås ved at optimere følgende udtryk${\ displaystyle Q (x)}$

${\ displaystyle {\ tilde {Q}} (x) = {\ frac {\ phi (x)} {(1-a) x+a {\ sqrt {x^{2}+b}}}}.}$

For er den bedste øvre grænse givet ved og med maksimal absolut relativ fejl på 0,44%. Ligeledes er den bedste tilnærmelse givet ved og med maksimal absolut relativ fejl på 0,27%. Endelig er den bedste nedre grænse givet med og med maksimal absolut relativ fejl på 1,17%.${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle a = 0.344}$${\ displaystyle b = 5.334}$${\ displaystyle a = 0.339}$${\ displaystyle b = 5.510}$${\ displaystyle a = 1/\ pi}$${\ displaystyle b = 2 \ pi}$

• Den Chernoff bundet af Q -funktionen er

${\ displaystyle Q (x) \ leq e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}, \ qquad x> 0}$

• Forbedrede eksponentielle grænser og en ren eksponentiel tilnærmelse er

${\ displaystyle Q (x) \ leq {\ tfrac {1} {4}} e^{-x^{2}}+{\ tfrac {1} {4}} e^{-{\ frac {x^ {2}} {2}}} \ leq {\ tfrac {1} {2}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}, \ qquad x> 0}$

${\ displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {1} {12}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}+{\ frac {1} {4}} e ^{-{\ frac {2} {3}} x^{2}}, \ qquad x> 0}$

• Ovenstående blev generaliseret af Tanash & Riihonen (2020), som viste, at det nøjagtigt kan tilnærmes eller afgrænses af${\ displaystyle Q (x)}$

${\ displaystyle {\ tilde {Q}} (x) = \ sum _ {n = 1}^{N} a_ {n} e^{-b_ {n} x^{2}}.}$

Især de præsenterede en systematisk metode til at løse de numeriske koefficienter , der giver en minimax tilnærmelse eller bundet: , , eller til . Med eksempel coef fi cienter tabuleret i papir til de relative og absolutte tilnærmelse fejl er mindre end og hhv. Koefficienterne for mange variationer af de eksponentielle tilnærmelser og grænser op til er blevet frigivet til åben adgang som et omfattende datasæt.${\ displaystyle \ {(a_ {n}, b_ {n}) \} _ {n = 1}^{N}}$${\ displaystyle Q (x) \ approx {\ tilde {Q}} (x)}$${\ displaystyle Q (x) \ leq {\ tilde {Q}} (x)}$${\ displaystyle Q (x) \ geq {\ tilde {Q}} (x)}$${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle N = 20}$${\ displaystyle 2.831 \ cdot 10^{-6}}$${\ displaystyle 1.416 \ cdot 10^{-6}}$${\ displaystyle \ {(a_ {n}, b_ {n}) \} _ {n = 1}^{N}}$${\ displaystyle N = 25}$

• En anden tilnærmelse til for er givet af Karagiannidis & Lioumpas (2007), der viste for det passende valg af parametre, der${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ {A, B \}}$

${\ displaystyle f (x; A, B) = {\ frac {\ left (1-e^{-Ax} \ right) e^{-x^{2}}} {B {\ sqrt {\ pi} } x}} \ approx \ operatorname {erfc} \ venstre (x \ højre).}$

Den absolutte fejl mellem og over området minimeres ved at evaluere${\ displaystyle f (x; A, B)}$${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}$${\ displaystyle [0, R]}$

${\ displaystyle \ {A, B \} = {\ undersæt {\ {A, B \}} {\ arg \ min}} {\ frac {1} {R}} \ int _ {0}^{R} | f (x; A, B)-\ operatorname {erfc} (x) | dx.}$

Ved hjælp af og numerisk integrering fandt de, at den mindste fejl opstod, da hvilket gav en god tilnærmelse til${\ displaystyle R = 20}$${\ displaystyle \ {A, B \} = \ {1.98,1.135 \},}$${\ displaystyle \ forall x \ geq 0.}$

Udskiftning af disse værdier og brug af forholdet mellem og ovenfra giver${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}$

${\ displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {\ left (1-e^{-1.98x} \ right) e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}} {1.135 {\ sqrt {2 \ pi}} x}}, x \ geq 0.}$

Alternative koefficienter er også tilgængelige for ovenstående 'Karagiannidis – Lioumpas -tilnærmelse' for at skræddersy nøjagtighed til en bestemt applikation eller omdanne den til en stram bund.

• En strammere og mere håndterbar tilnærmelse til for positive argumenter er givet af López-Benítez & Casadevall (2011) baseret på en andenordens eksponentiel funktion:${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$

${\ displaystyle Q (x) \ approx e^{-ax^{2} -bx-c}, \ qquad x \ geq 0.}$

Beslaget koefficienter kan optimeres over et ønsket område af argumenter for at minimere summen af kvadratiske fejl ( , , for ) eller minimere den maksimale absolutte fejl ( , , for ). Denne tilnærmelse giver nogle fordele, såsom en god afvejning mellem nøjagtighed og analytisk bearbejdbarhed (for eksempel er udvidelsen til enhver vilkårlig magt triviel og ændrer ikke den tilnærmelses algebraiske form).${\ displaystyle (a, b, c)}$${\ displaystyle a = 0.3842}$${\ displaystyle b = 0.7640}$${\ displaystyle c = 0.6964}$${\ displaystyle x \ i [0,20]}$${\ displaystyle a = 0.4920}$${\ displaystyle b = 0.2887}$${\ displaystyle c = 1.1893}$${\ displaystyle x \ i [0,20]}$${\ displaystyle Q (x)}$

Omvendt Q

Den inverse Q -funktion kan relateres til de inverse fejlfunktioner :

${\ displaystyle Q ^{-1} (y) = {\ sqrt {2}} \ \ mathrm {erf} ^{-1} (1-2y) = {\ sqrt {2}} \ \ mathrm {erfc} ^{-1} (2y)}$

Funktionen finder anvendelse i digital kommunikation. Det udtrykkes normalt i dB og kaldes generelt Q-faktor : ${\ displaystyle Q^{-1} (y)}$

${\ displaystyle \ mathrm {Q {\ text {-}} faktor} = 20 \ log _ {10} \! \ venstre (Q^{-1} (y) \ højre) \! ~ \ mathrm {dB}}$

hvor y er bitfejlhastigheden (BER) for det digitalt modulerede signal under analyse. For eksempel for QPSK i additiv hvid gaussisk støj falder den ovenfor definerede Q-faktor sammen med værdien i dB af signal / støjforholdet, der giver en bitfejlrate svarende til y .

Værdier

Den Q -funktionen er godt tabelform og kan beregnes direkte i de fleste af de matematiske softwarepakker såsom R og dem, der findes i Python , Matlab og Mathematica . Nogle værdier for Q -funktionen er angivet nedenfor som reference.

Generalisering til høje dimensioner

Den Q -funktion kan generaliseres til højere dimensioner:

${\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ mathbb {P} (\ mathbf {X} \ geq \ mathbf {x}),}$

hvor følger den multivariate normalfordeling med kovarians, og tærsklen er af formen for en eller anden positiv vektor og positiv konstant . Som i det endimensionelle tilfælde er der ingen enkel analytisk formel for Q -funktionen. Ikke desto mindre kan Q -funktionen tilnærmes vilkårligt godt og blive større og større. ${\ displaystyle \ mathbf {X} \ sim {\ mathcal {N}} (\ mathbf {0}, \, \ Sigma)}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ gamma \ Sigma \ mathbf {l} ^{*}}$${\ displaystyle \ mathbf {l} ^{*}> \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ gamma> 0}$${\ displaystyle \ gamma}$

Referencer