Q-fonksiyonu - Q-function

Olarak istatistik , S-fonksiyonu olan kuyruk dağılım fonksiyonu arasında , standart normal dağılım . Başka bir deyişle, normal (Gauss) bir rastgele değişkenin standart sapmalardan daha büyük bir değer elde etme olasılığıdır . Eşdeğer olarak, standart bir normal rastgele değişkenin değerinden daha büyük bir değer alma olasılığıdır . ${\görüntüleme stili Q(x)}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili Q(x)}$${\görüntüleme stili x}$

Eğer ortalama bir Gauss rastgele değişkendir ve varyans , daha sonra ise , normal standart ve ${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}}$

${\displaystyle P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)}$

nerede . ${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{\sigma }}}$

Hepsi de normal kümülatif dağılım fonksiyonunun basit dönüşümleri olan Q fonksiyonunun diğer tanımları da zaman zaman kullanılmaktadır.

Normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu ile ilişkisi nedeniyle , Q fonksiyonu, uygulamalı matematik ve fizikte önemli bir fonksiyon olan hata fonksiyonu cinsinden de ifade edilebilir .

Tanım ve temel özellikler

Resmi olarak, Q işlevi şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2} }{2}}\sağ)\,du.}$

Böylece,

${\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,}$

burada bir standart normal Gauss dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu . ${\görüntüleme stili \Phi (x)}$

S taşımasının avantajlı cinsinden ifade edilebilir hata fonksiyonu olarak, ya da bunun tamamlayıcı bir hata fonksiyonuna

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{ \sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\sağ)\,dt\sağ)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\sağ)~~{\text{ -veya-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatöradı {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\sağ).\end{aligned}}}$

Q fonksiyonunun, keşfinden sonra Craig formülü olarak bilinen alternatif bir formu şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{ 2}}{2\sin ^{2}\teta }}\sağ)d\teta .}$

Bu ifade yalnızca x'in pozitif değerleri için geçerlidir , ancak negatif değerler için Q ( x ) elde etmek için Q ( x ) = 1 − Q (− x ) ile birlikte kullanılabilir . Bu form, entegrasyon aralığının sabit ve sonlu olması bakımından avantajlıdır.

Craig'in formülü daha sonra Behnad (2020) tarafından iki negatif olmayan değişkenin toplamının Q fonksiyonu için aşağıdaki gibi genişletilmiştir :

${\displaystyle Q(x+y)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x) ^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{2\cos ^{2}\theta }}\sağ)d\theta ,\quad x ,y\geqslant 0.}$

Sınırlar ve yaklaşımlar

• S taşımasının avantajlı bir değil temel işlevi . Ancak, standart normal dağılımın yoğunluk fonksiyonu olan Borjesson-Sundberg sınırları ,${\görüntüleme stili \phi (x)}$

${\displaystyle \sol({\frac {x}{1+x^{2}}}\sağ)\phi (x)<Q(x)<{\frac {\phi (x)}{x}} ,\qquad x>0,}$

büyük x için giderek daha sıkı hale gelir ve genellikle yararlıdır.

Kullanma ikame v = u ² aşağıdaki gibi / 2, üst türetilir sınırın:

${\displaystyle Q(x)=\int _{x}^{\infty }\phi (u)\,du<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\ phi (u)\,du=\int _{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{\frac {x^ {2}}{2}}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}$

Benzer şekilde, kullanarak ve bölüm kuralı ,${\displaystyle \phi '(u)=-u\phi (u)}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\sağ)Q(x)=\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac { 1}{x^{2}}}\right)\phi (u)\,du>\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{u^{2} }}\sağ)\phi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\phi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={ \frac {\phi (x)}{x}}.}$

Q ( x ) için çözmek alt sınırı sağlar.

Geometrik ortalama üst ve alt sınır için uygun bir yaklaşım sağlar :${\görüntüleme stili Q(x)}$

${\displaystyle Q(x)\yaklaşık {\frac {\phi (x)}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geq 0.}$

• Aşağıdaki ifade optimize edilerek daha sıkı sınırlar ve yaklaşımlar da elde edilebilir.${\görüntüleme stili Q(x)}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)={\frac {\phi (x)}{(1-a)x+a{\sqrt {x^{2}+b}}}}.}$

İçin , üst sınırı iyi ile verilir ve % 0.44 maksimum mutlak bağıl hata ile. Benzer şekilde, en iyi yaklaşım ile verilir ve % 0.27 maksimum mutlak bağıl hata ile. Son olarak, en alt sınır ile verilir ve % 1,17 maksimum mutlak bağıl hata ile.${\displaystyle x\geq 0}$${\görüntüleme stili a=0.344}$${\görüntüleme stili b=5.334}$${\görüntüleme stili a=0.339}$${\görüntüleme stili b=5.510}$${\görüntüleme stili a=1/\pi }$${\görüntüleme stili b=2\pi }$

• Bağlı Chernoff ait S taşımasının avantajlı olduğu

${\displaystyle Q(x)\leq e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

• Geliştirilmiş üstel sınırlar ve saf bir üstel yaklaşım

${\displaystyle Q(x)\leq {\tfrac {1}{4}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-{\frac {x^ {2}}{2}}}\leq {\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

${\displaystyle Q(x)\yaklaşık {\frac {1}{12}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+{\frac {1}{4}}e ^{-{\frac {2}{3}}x^{2}},\qquad x>0}$

• Yukarıdakiler Tanash ve Riihonen (2020) tarafından doğru bir şekilde tahmin edilebileceğini veya sınırlandırılabileceğini gösteren tarafından genelleştirildi .${\görüntüleme stili Q(x)}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$

Özellikle, bir minimaks yaklaşımı veya sınırı veren sayısal katsayıları çözmek için sistematik bir metodoloji sundular : , , veya için . Kağıtta tablo halinde verilen örnek katsayılar ile göreli ve mutlak yaklaşım hataları sırasıyla ve ' den küçüktür . Üstel yaklaşımların ve sınırların birçok varyasyonu için katsayılar , kapsamlı bir veri kümesi olarak açık erişime bırakılmıştır.${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$${\displaystyle Q(x)\yaklaşık {\tilde {Q}}(x)}$${\displaystyle Q(x)\leq {\tilde {Q}}(x)}$${\displaystyle Q(x)\geq {\tilde {Q}}(x)}$${\displaystyle x\geq 0}$${\görüntüleme stili N=20}$${\ Displaystyle 2.831\cdot 10^{-6}}$${\ Displaystyle 1.416\cdot 10^{-6}}$${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$${\görüntüleme stili N=25}$

• Bir başka yaklaşım için parametrelerin uygun seçimi için gösterdi Karagiannidis & Lioumpas (2007) tarafından verilen bu${\görüntüleme stili Q(x)}$${\displaystyle x\in [0,\infty )}$${\görüntüleme stili \{A,B\}}$

${\displaystyle f(x;A,B)={\frac {\sol(1-e^{-Ax}\sağ)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi } }x}}\yaklaşık \operatöradı {erfc} \sol(x\sağ).}$

Aralık arasındaki ve üzerindeki mutlak hata , değerlendirilerek en aza indirilir.${\görüntüleme stili f(x;A,B)}$${\displaystyle \operatöradı {erfc} (x)}$${\görüntüleme stili [0,R]}$

${\displaystyle \{A,B\}={\underset {\{A,B\}}{\arg \min }}{\frac {1}{R}}\int _{0}^{R} |f(x;A,B)-\operatöradı {erfc} (x)|dx.}$

Kullanarak ve sayısal olarak entegre ederek, iyi bir yaklaşım sağlayan minimum hatayı buldular.${\görüntüleme stili R=20}$${\displaystyle \{A,B\}=\{1.98,1.135\},}$${\displaystyle \forall x\geq 0.}$

Bu değerler ikame arasındaki ilişki kullanılarak ve verir yukarıdan${\görüntüleme stili Q(x)}$${\displaystyle \operatöradı {erfc} (x)}$

${\displaystyle Q(x)\yaklaşık {\frac {\sol(1-e^{-1.98x}\sağ)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{1.135 {\sqrt {2\pi }}x}},x\geq 0.}$

Doğruluğu belirli bir uygulamaya uyarlamak veya onu sıkı bir sınıra dönüştürmek için yukarıdaki 'Karagiannidis-Lioumpas yaklaşımı' için alternatif katsayılar da mevcuttur.

• López-Benítez & Casadevall (2011) tarafından, ikinci dereceden üstel bir fonksiyona dayalı olarak, pozitif argümanlar için daha sıkı ve daha izlenebilir bir yaklaşım verilmiştir:${\görüntüleme stili Q(x)}$${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

${\displaystyle Q(x)\yaklaşık e^{-ax^{2}-bx-c},\qquad x\geq 0.}$

Uydurma katsayıları , karesel hataların toplamını ( , , için ) en aza indirmek veya maksimum mutlak hatayı ( , , için ) en aza indirmek için istenen herhangi bir argüman aralığı üzerinde optimize edilebilir . Bu yaklaştırma, doğruluk ve analitik izlenebilirlik arasında iyi bir değiş tokuş gibi bazı faydalar sunar (örneğin, herhangi bir keyfi gücünün genişletilmesi önemsizdir ve yaklaşımın cebirsel biçimini değiştirmez).${\görüntüleme stili (a,b,c)}$${\görüntüleme stili a=0.3842}$${\görüntüleme stili b=0.7640}$${\görüntüleme stili c=0.6964}$${\displaystyle x\in [0,20]}$${\ Displaystyle a=0.4920}$${\görüntüleme stili b=0.2887}$${\görüntüleme stili c=1.1893}$${\displaystyle x\in [0,20]}$${\görüntüleme stili Q(x)}$

ters Q

Ters Q işlevi, ters hata işlevleriyle ilişkilendirilebilir :

${\displaystyle Q^{-1}(y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erf} ^{-1}(1-2y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erfc} ^{-1}(2y)}$

İşlev , dijital iletişimde uygulama bulur. Genellikle dB cinsinden ifade edilir ve genellikle Q faktörü olarak adlandırılır : ${\ Displaystyle Q^{-1}(y)}$

${\displaystyle \mathrm {Q{\text{-}}faktör} =20\log _{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm {dB} }$

burada y , analiz altındaki dijital olarak modüle edilmiş sinyalin bit-hata oranıdır (BER). Örneğin, eklemeli beyaz Gauss gürültüsündeki QPSK için , yukarıda tanımlanan Q faktörü , y'ye eşit bir bit hata oranı veren sinyal-gürültü oranının dB cinsinden değeriyle çakışır .

değerler

S taşımasının avantajlı de liste halinde verilmiş olup bu matematiksel yazılım paketleri arasında en direkt olarak hesaplanabilir R ve uygun olanlar Python , MATLAB ve Mathematica . Q fonksiyonunun bazı değerleri referans için aşağıda verilmiştir.

Yüksek boyutlara genelleme

S taşımasının avantajlı yüksek boyutlara genelleştirilebilir:

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \geq \mathbf {x} ),}$

burada kovaryanslı çok değişkenli normal dağılımı izler ve eşik, bazı pozitif vektör ve pozitif sabit için formdadır . Tek boyutlu durumda olduğu gibi, Q fonksiyonu için basit bir analitik formül yoktur . Bununla birlikte, S taşımasının avantajlı olabilir keyfi de yaklaşık olarak olarak daha büyük ve daha büyük bir hale gelir. ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\,\Sigma )}$${\görüntüleme stili \Sigma }$${\displaystyle \mathbf {x} =\gamma \Sigma \mathbf {l} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {l} ^{*}>\mathbf {0} }$${\görüntüleme stili \gama >0}$${\görüntüleme stili \gama }$

Referanslar