Función Q - Q-function

Un gráfico de la función Q.

En estadística , la función Q es la función de distribución de cola de la distribución normal estándar . En otras palabras, es la probabilidad de que una variable aleatoria normal (gaussiana) obtenga un valor mayor que las desviaciones estándar. De manera equivalente, es la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome un valor mayor que . ${\ Displaystyle Q (x)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle Q (x)}$${\ Displaystyle x}$

Si es una variable aleatoria gaussiana con media y varianza , entonces es normal estándar y ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ Displaystyle X = {\ frac {Y- \ mu} {\ sigma}}}$

${\ Displaystyle P (Y> y) = P (X> x) = Q (x)}$

donde . ${\ Displaystyle x = {\ frac {y- \ mu} {\ sigma}}}$

Otras definiciones de la función Q , todas las cuales son transformaciones simples de la función de distribución acumulativa normal , también se utilizan ocasionalmente.

Debido a su relación con la función de distribución acumulativa de la distribución normal, la función Q también se puede expresar en términos de la función de error , que es una función importante en matemáticas y física aplicadas.

Definición y propiedades básicas

Formalmente, la función Q se define como

${\ Displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} \ exp \ left (- {\ frac {u ^ {2} } {2}} \ right) \, du.}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle Q (x) = 1-Q (-x) = 1- \ Phi (x) \, \ !,}$

donde es la función de distribución acumulativa de la distribución gaussiana normal estándar . ${\ Displaystyle \ Phi (x)}$

La función Q se puede expresar en términos de la función de error , o la función de error complementaria, como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} Q (x) & = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {x / { \ sqrt {2}}} ^ {\ infty} \ exp \ left (-t ^ {2} \ right) \, dt \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right) ~~ {\ text {-o -}} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right). \ End {alineado}}}$

Una forma alternativa de la función Q conocida como fórmula de Craig, en honor a su descubridor, se expresa como:

${\ Displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ { 2}} {2 \ sin ^ {2} \ theta}} \ right) d \ theta.}$

Esta expresión es válida solo para valores positivos de x , pero se puede usar junto con Q ( x ) = 1 - Q (- x ) para obtener Q ( x ) para valores negativos. Esta forma es ventajosa porque el rango de integración es fijo y finito.

Behnad (2020) amplió posteriormente la fórmula de Craig para la función Q de la suma de dos variables no negativas, de la siguiente manera:

${\ Displaystyle Q (x + y) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ sin ^ {2} \ theta}} - {\ frac {y ^ {2}} {2 \ cos ^ {2} \ theta}} \ right) d \ theta, \ quad x , y \ geqslant 0.}$

Límites y aproximaciones

• La función Q no es una función elemental . Sin embargo, los límites de Borjesson-Sundberg, donde es la función de densidad de la distribución normal estándar,${\ Displaystyle \ phi (x)}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {1 + x ^ {2}}} \ right) \ phi (x) <Q (x) <{\ frac {\ phi (x)} {x}} , \ qquad x> 0,}$

se vuelven cada vez más ajustados para x grandes y, a menudo, son útiles.

Usando la sustitución v = u ^2/2 , el límite superior se deriva de la siguiente manera:

${\ Displaystyle Q (x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} \ phi (u) \, du <\ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {u} {x}} \ phi (u) \, du = \ int _ {\ frac {x ^ {2}} {2}} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- v}} {x {\ sqrt {2 \ pi }}}} \, dv = - {\ biggl.} {\ frac {e ^ {- v}} {x {\ sqrt {2 \ pi}}}} {\ biggr |} _ {\ frac {x ^ {2}} {2}} ^ {\ infty} = {\ frac {\ phi (x)} {x}}.}$

De manera similar, usando y la regla del cociente ,${\ Displaystyle \ phi '(u) = - u \ phi (u)}$

${\ Displaystyle \ left (1 + {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) Q (x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac { 1} {x ^ {2}}} \ right) \ phi (u) \, du> \ int _ {x} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {u ^ {2} }} \ derecha) \ phi (u) \, du = - {\ biggl.} {\ frac {\ phi (u)} {u}} {\ biggr |} _ {x} ^ {\ infty} = { \ frac {\ phi (x)} {x}}.}$

Resolver para Q ( x ) proporciona el límite inferior.

La media geométrica del límite superior e inferior proporciona una aproximación adecuada para :${\ Displaystyle Q (x)}$

${\ Displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {\ phi (x)} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}, \ qquad x \ geq 0.}$

• También se pueden obtener límites más estrechos y aproximaciones de optimizando la siguiente expresión${\ Displaystyle Q (x)}$

${\ Displaystyle {\ tilde {Q}} (x) = {\ frac {\ phi (x)} {(1-a) x + a {\ sqrt {x ^ {2} + b}}}}.}$

Para , el mejor límite superior viene dado por y con un error relativo absoluto máximo de 0.44%. Asimismo, la mejor aproximación viene dada por y con un error relativo absoluto máximo de 0,27%. Finalmente, el mejor límite inferior viene dado por y con un error relativo absoluto máximo de 1,17%.${\ Displaystyle x \ geq 0}$${\ Displaystyle a = 0.344}$${\ Displaystyle b = 5.334}$${\ Displaystyle a = 0.339}$${\ Displaystyle b = 5.510}$${\ Displaystyle a = 1 / \ pi}$${\ Displaystyle b = 2 \ pi}$

• El límite de Chernoff de la función Q es

${\ Displaystyle Q (x) \ leq e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}, \ qquad x> 0}$

• Los límites exponenciales mejorados y una aproximación exponencial pura son

${\ Displaystyle Q (x) \ leq {\ tfrac {1} {4}} e ^ {- x ^ {2}} + {\ tfrac {1} {4}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ leq {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}, \ qquad x> 0}$

${\ Displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {1} {12}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} + {\ frac {1} {4}} e ^ {- {\ frac {2} {3}} x ^ {2}}, \ qquad x> 0}$

• Lo anterior fue generalizado por Tanash & Riihonen (2020), quienes demostraron que se puede aproximar o acotar con precisión por${\ Displaystyle Q (x)}$

${\ Displaystyle {\ tilde {Q}} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {- b_ {n} x ^ {2}}.}$

En particular, presentaron una metodología sistemática para resolver los coeficientes numéricos que producen un Minimax aproximación o unida: , o para . Con los coeficientes de ejemplo tabulados en el documento para , los errores de aproximación relativos y absolutos son menores que y , respectivamente. Los coeficientes para muchas variaciones de las aproximaciones exponenciales y los límites se han publicado para acceso abierto como un conjunto de datos completo.${\ Displaystyle \ {(a_ {n}, b_ {n}) \} _ {n = 1} ^ {N}}$${\ Displaystyle Q (x) \ approx {\ tilde {Q}} (x)}$${\ Displaystyle Q (x) \ leq {\ tilde {Q}} (x)}$${\ Displaystyle Q (x) \ geq {\ tilde {Q}} (x)}$${\ Displaystyle x \ geq 0}$${\ Displaystyle N = 20}$${\ Displaystyle 2.831 \ cdot 10 ^ {- 6}}$${\ Displaystyle 1.416 \ cdot 10 ^ {- 6}}$${\ Displaystyle \ {(a_ {n}, b_ {n}) \} _ {n = 1} ^ {N}}$${\ Displaystyle N = 25}$

• Otra aproximación de para la dan Karagiannidis y Lioumpas (2007) quienes mostraron para la elección apropiada de parámetros que${\ Displaystyle Q (x)}$${\ Displaystyle x \ in [0, \ infty)}$${\ Displaystyle \ {A, B \}}$

${\ Displaystyle f (x; A, B) = {\ frac {\ left (1-e ^ {- Ax} \ right) e ^ {- x ^ {2}}} {B {\ sqrt {\ pi} } x}} \ approx \ operatorname {erfc} \ left (x \ right).}$

El error absoluto entre y sobre el rango se minimiza evaluando${\ Displaystyle f (x; A, B)}$${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}$${\ Displaystyle [0, R]}$

${\ Displaystyle \ {A, B \} = {\ underset {\ {A, B \}} {\ arg \ min}} {\ frac {1} {R}} \ int _ {0} ^ {R} | f (x; A, B) - \ operatorname {erfc} (x) | dx.}$

Utilizando e integrando numéricamente, encontraron que ocurría el error mínimo cuando, lo que daba una buena aproximación para${\ Displaystyle R = 20}$${\ Displaystyle \ {A, B \} = \ {1.98,1.135 \},}$${\ Displaystyle \ forall x \ geq 0.}$

Sustituyendo estos valores y usando la relación entre y desde arriba da${\ Displaystyle Q (x)}$${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}$

${\ Displaystyle Q (x) \ approx {\ frac {\ left (1-e ^ {- 1,98x} \ right) e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}} {1,135 {\ sqrt {2 \ pi}} x}}, x \ geq 0.}$

También se encuentran disponibles coeficientes alternativos para la 'aproximación Karagiannidis-Lioumpas' anterior para adaptar la precisión a una aplicación específica o transformarla en un límite estrecho.

• López-Benítez & Casadevall (2011) dan una aproximación más estricta y manejable de para argumentos positivos basada en una función exponencial de segundo orden:${\ Displaystyle Q (x)}$${\ Displaystyle x \ in [0, \ infty)}$

${\ Displaystyle Q (x) \ approx e ^ {- ax ^ {2} -bx-c}, \ qquad x \ geq 0.}$

Los coeficientes ajustados pueden ser optimizados sobre cualquier intervalo deseado de argumentos con el fin de minimizar la suma de los errores cuadrados ( , , para ) o minimizar el error máximo absoluto ( , , para ). Esta aproximación ofrece algunos beneficios, como una buena compensación entre precisión y manejabilidad analítica (por ejemplo, la extensión a cualquier poder arbitrario de es trivial y no altera la forma algebraica de la aproximación).${\ Displaystyle (a, b, c)}$${\ Displaystyle a = 0.3842}$${\ Displaystyle b = 0,7640}$${\ Displaystyle c = 0,6964}$${\ Displaystyle x \ in [0,20]}$${\ Displaystyle a = 0.4920}$${\ Displaystyle b = 0.2887}$${\ Displaystyle c = 1,1893}$${\ Displaystyle x \ in [0,20]}$${\ Displaystyle Q (x)}$

Q inversa

La función Q inversa se puede relacionar con las funciones de error inverso :

${\ Displaystyle Q ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {2}} \ \ mathrm {erf} ^ {- 1} (1-2y) = {\ sqrt {2}} \ \ mathrm {erfc} ^ {- 1} (2 años)}$

La función encuentra aplicación en las comunicaciones digitales. Por lo general, se expresa en dB y generalmente se denomina factor Q : ${\ Displaystyle Q ^ {- 1} (y)}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Q {\ text {-}} factor} = 20 \ log _ {10} \! \ left (Q ^ {- 1} (y) \ right) \! ~ \ mathrm {dB}}$

donde y es la tasa de error de bit (BER) de la señal modulada digitalmente bajo análisis. Por ejemplo, para QPSK en ruido gaussiano blanco aditivo, el factor Q definido anteriormente coincide con el valor en dB de la relación señal / ruido que produce una tasa de error de bit igual ay .

Factor Q vs. tasa de error de bit (BER).

Valores

La función Q está bien tabulada y se puede calcular directamente en la mayoría de los paquetes de software matemático como R y los disponibles en Python , MATLAB y Mathematica . Algunos valores de la función Q se dan a continuación como referencia.

Generalización a altas dimensiones

La función Q se puede generalizar a dimensiones superiores:

${\ Displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ mathbb {P} (\ mathbf {X} \ geq \ mathbf {x}),}$

donde sigue la distribución normal multivariante con covarianza y el umbral es de la forma de algún vector positivo y constante positiva . Como en el caso unidimensional, no existe una fórmula analítica simple para el Q -Función. Sin embargo, la Q -función se puede aproximar de forma arbitraria, así como se vuelve más y más grande. ${\ Displaystyle \ mathbf {X} \ sim {\ mathcal {N}} (\ mathbf {0}, \, \ Sigma)}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ gamma \ Sigma \ mathbf {l} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbf {l} ^ {*}> \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle \ gamma> 0}$${\ Displaystyle \ gamma}$

Referencias